Samenvatting Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen 1e semester voor hi(b)

1. Verzamelingen en functies
1.1 Verzamelingen

Verzameling = het geheel v/e aantal objecten, een zak met elementen.
Elk object uit een verz = element v/d verz.
een verz kan een eindig of een oneindig aantal elementen bevatten.
lege verz = ∅
Er zijn 2 mogelijke notaties:
- Als een beschrijving: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 𝑖𝑠 … }
- Als een opsomming: 𝐴 = {𝑒𝑙1, 𝑒𝑙2, 𝑒𝑙2, … }

2 verz zijn gelijk als ze exact dezelfde elementen bevatten.
- 𝑥 behoort tot A: 𝑥 ∈ 𝐴
- 𝑥 behoort niet tot A: 𝑥 ∉ 𝐴

Deelverzameling = een verz B is een deelverzameling v/e verz A indien elk el van B ook tot A behoort.
=𝐵 ⊆𝐴
Strikte deelverz = als we zeker zijn dat er een el bestaat dat tot A behoort maar niet tot B.
=𝐵 ⊂𝐴

Bewerkingen voor 2 gegeven verz A en B:
- Doorsnede: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑥 ∈ 𝐵} (alles wat in A en B zit)
- Unie: 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑓 𝑥 ∈ 𝐵} (alles in B, alles in A en alles in de doorsnede)
- Verschil: 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑥 ∉ 𝐵} (alles in A, maar niet in B)
- Productverzameling: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑒𝑛 𝑦 ∈ 𝐵} (koppels met 1e el uit A en 2e uit B)

1.2 Relaties

!Relatie = een relatie v/e verz A naar een verz B is een deelverz P v/d productverzameling 𝐴 × 𝐵, het
verband tussen A en B.
Men kan een relatie aanschouwelijk maken d.m.v. een grafische voorstelling aan de hand van pijlen.
Notaties: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 of 𝑥 𝑅 𝑦 (x staat in relatie met y)

Definitieverzameling of domein van R = de deelverz van A met als elementen alle 𝑥 ∈ 𝐴 waarvoor er
een 𝑦 ∈ 𝐵 bestaat waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦.
Beeld of bereik van R = de deelverz van B die alle elementen y bevat waarvoor er een 𝑥 ∈ 𝐴 bestaat
met 𝑥 𝑅 𝑦.

Eigenschappen bij een verz die in relatie staat met zichzelf 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐴:
- Reflexief: indien voor alle 𝑥 ∈ 𝐴 geldt dat 𝑥 𝑅 𝑥, (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅, of een pijl naar zichzelf.
- Symmetrisch: indien voor elke 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦, ook 𝑦 𝑅 𝑥, een pijl in beide richtingen.
- Transitief: indien voor elke 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 waarvoor zowel 𝑥 𝑅 𝑦 als 𝑦 𝑅 𝑧, ook 𝑥 𝑅 𝑧, een pijl van x
naar y en een pijl van y naar z, betekent ook een pijl van x naar z.
- Antisymmetrisch: indien voor elke 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 met 𝑥 ≠ 𝑦 waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦, dan is (𝑦, 𝑥) ∉ 𝑅, als x in
relatie staat met y, staat y niet in relatie met x, er komt nooit een pijl terug.
- Equivalentierelatie: indien de relatie reflexief, symmetrisch en transitief is.
- Orderelatie: indien de relatie reflexief, antisymmetrisch en transitief is.
- Totaal geordend: een orderelatie met de eigenschap dat elke 2 el (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ofwel 𝑥 𝑅 𝑦, ofwel
𝑦 𝑅 𝑥. Elke el staat i/e relatie met elk ander el uit de verz.

Equivalentieklasse van x = een deelverz van alle el die in relatie staan met x.

,Beschouw een verz A, waarvoor we een orderelatie 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐴 kennen. Veronderstel dat B een
deelverz is van A:
- Maximaal element b = 𝑥 𝑅 𝑏, voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl komt van alle andere.
- Minimaal element b = 𝑏 𝑅 𝑥, voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl naar alle andere.
- Bovengrens van B is a = 𝑎 ∈ 𝐴 en 𝑥 𝑅 𝑎 voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Een pijl uit alle elementen naar a.
- Ondergrens van B is a = 𝑎 ∈ 𝐴 en 𝑎 𝑅 𝑥 voor alle 𝑥 ∈ 𝐵. Er komt een pijl uit naar alle elementen.
Beschouw nu de deelverz C van A die bestaat uit alle bovengrenzen van B. Analoog beschouw de
deelverz D van A die bestaat uit alle ondergrenzen van B:
- Supremum s van B = s is minimum element van C. Het minimum el v/d bovenste deelverz. De
kleinste bovengrens.
- Infimum i van B = maximum element van D of v/d onderste deelverz. De grootste ondergrens.

Hasse-diagram = een pijlenvoorstelling, rekening houdend met de reflexiviteit en de transiviteit.

1.3 Functies

!Functie = een relatie 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 is een functie indien voor elke 𝑥 ∈ 𝐴 er ten hoogste één el 𝑦 ∈ 𝐵
bestaat waarvoor 𝑥 𝑅 𝑦.
Notatie: 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑓(𝑥) of 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥)
x is hier de onafhankelijke variabele of het argument v/d functie.
y is hier de afhankelijke variabele of de functiewaarde of het beeld van x onder f.

!Samenstelling = de samenstelling van 2 functies 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 en 𝑔 ∶ 𝐵 ⟶ 𝐶 is de functie “g na f”,
gegeven door 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐶 ∶ 𝑥 ↦ 𝑔(𝑓(𝑥)).

!Afbeelding = een functie 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is een afbeelding indien er voor elke 𝑥 ∈ 𝐴 juist één el y uit B
bestaat waarvoor 𝑦 = 𝑓(𝑥). Elk el heeft een beeld.
Elke functie is een afbeelding als we haar beperken tot haar domein.

Een afbeelding 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is
- Een !injectie = indien voor alle verschillende x1 en x2 uit A geldt dat ook f(x1) verschilt van f(x2), bij
elk beeld komt ten hoogste één pijl aan.
- Een !surjectie = indien er voor elk el y uit B een corresponderend el x uit A bestaat waarvoor
f(x)=y, in elk beeld komt een pijl aan.
- Een !bijectie = als f zowel injectief als surjectief is, in elk beeld komt net 1 pijl aan.

!Stelling: een afbeelding 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 is bijectief als en slechts als er een afbeelding 𝑔 ∶ 𝐵 → 𝐴 bestaat
die voldoet aan (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐴 en (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑦) = 𝑦, ∀𝑦 ∈ 𝐵.
Bewijs 1.1.

Onder de voorwaarden v/h bewijs noemt men g daarom de inverse afbeelding van f, en men noteert
𝑔 = 𝑓 −1.

,2. Groepen en velden
2.1 Getallenverzamelingen

Verzamelingen van getallen:
- ℕ = Natuurlijke getallen = alle positieve getallen.
- ℤ = Gehele getallen = alle ronde getallen, zowel positief als negatief.
- ℚ = Rationale getallen = elk getal dat als breuk geschreven kan worden, alle kommagetallen met
een eindig aantal cijfers na de komma. Voor deze getallen bestaat er een onvereenvoudigbare
vorm.
- ℝ = Reële getallen = de irrartionale getallen, p11.

Interval = de verz van alle getallen tussen 2 waarden.

Het optellen en het vermenigvuldigen kunnen ook als functies gezien worden.
Groepsstructuur = zowel de optelling als de vermenigvuldiging voorzien de verz ℝ van een
groepsstructuur.

2.2 Groepen en velden

!Groep = een verz V met een afbeelding ∗∶ 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 wordt een groep 𝑉,∗ genoemd indien er aan
de volgende voorwaarden voldaan is:
1) ∗ is inwendig: ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 is 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝑉.
2) ∗ is associatief: ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉 is (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 = 𝑥 ∗ (𝑦 ∗ 𝑧).
We mogen voor beide leden dus gewoon 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 schrijven.
3) Er bestaat een neutraal el = 𝑛 ∈ 𝑉, dat voldoet aan 𝑥 ∗ 𝑛 = 𝑥 = 𝑛 ∗ 𝑥 voor alle 𝑥 ∈ 𝑉.
4) Elk el 𝑥 ∈ 𝑉 heeft een symmetrisch el = 𝑥̅ ∈ 𝑉, dat voldoet aan 𝑥 ∗ 𝑥̅ = 𝑛 = 𝑥̅ ∗ 𝑥.

De vermenigvuldiging is geen groep, enkel zonder 0.

Commutatieve groep = een groep die ook commutatief (∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 ∶ 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑦 ∗ 𝑥) is.

Veldstructuur = zowel de optelling als de vermenigvuldiging geven aanleiding tot een
groepsstructuur, de abstracte interpretatie van dit gegeven noemt men een veldstructuur.

!Veld = een verz is een veld 𝑉,∗,∘ als:
1) 𝑉,∗ is een commutatieve groep (met neutraal el n).
2) 𝑉 ∖ {𝑛},∘ is een commutatieve groep (met n het neutrale element v/d bewerking ∗).
3) ∘ is distributief t.o.v. ∗: Voor elke 𝑣, 𝑤, 𝑢 ∈ 𝑉 geldt er 𝑣 ∘ (𝑤 ∗ 𝑢) = (𝑣 ∘ 𝑤) ∗ (𝑣 ∘ 𝑢).

2.3 Complexe getallen
2.3.1 Constructie

Beschouw koppel (a,b) uit de productverz ℝ2 = ℝ × ℝ:
- De verz kan voorzien w v/d bewerking + : (𝑎1 , 𝑏1 ) + (𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 + 𝑎2 , 𝑏1 + 𝑏2 ).
- De verz kan voorzien w v/d scalaire vermenigvuldiging: 𝜆(𝑎, 𝑏) = (𝜆𝑎, 𝜆𝑏).
- Om een veldstructuur op ℝ2 te definiëren kan de verz voorzien w v/d bewerking ℝ2 × ℝ2 → ℝ2 :
((𝑎1 , 𝑏1 ), (𝑎2 , 𝑏2 )) ⟼ (𝑎1 , 𝑏1 ) ⋅ (𝑎2 , 𝑏2 ) = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 , 𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 ).
➔ De bewerking voldoet aan alle eigenschappen:
• Neutraal el is (1,0).
• Symmetrisch el is (zie p15)
• Er w voldaan aan de distributiviteitswet (p16).

, ➔ De verz met de 2 bewerkingen is dus een veld.
➔ Dit veld is het complexe vlak ℂ met el genaamd complexe getallen.
➔ De verz van reële getallen is een deelverz van het complexe vlak.

Notatie:
- Reële getallen zijn een deelverz: {(𝑎, 0) |𝑎 ∈ ℝ}
- (0,1) = i
- (a,b) = a+bi
- i.i = -1 → 𝑖 2 = −1
- (0,b) = bi

a+bi = imaginair
{𝑏𝑖 = (0, 𝑏)|𝑏 ∈ ℝ} = de verz v/d zuiver imaginaire getallen → bi = zuiver imaginair
→ a is het reële deel en bi is het imaginaire deel v/h complex getal.

Gebruikelijke rekenregels w ook gebruikt voor complexe getallen:
- (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 + 𝑎2 ) + (𝑏1 + 𝑏2 )𝑖
- (𝑎1 + 𝑏1 𝑖) ⋅ (𝑎2 + 𝑏2 𝑖) = (𝑎1 𝑎2 − 𝑏1 𝑏2 ) + (𝑎1 𝑏2 + 𝑎2 𝑏1 )𝑖
1
Invers getal v/e complex getal = (𝑎 + 𝑏𝑖)−1 = 𝑎2 +𝑏2 (𝑎 − 𝑏𝑖)

➔ Het !toegevoegd complex getal van a+bi = ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖.
= het koppel dat symmetrisch ligt t.o.v. de X-as.

!!Wanneer we een complex getal met haar complex toegevoegde vermenigvuldigen is het resultaat
steeds een positief reëel getal: (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏 2 ≥ 0.

2.3.2 Polaire vorm

De getallen (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 v/e punt i/h vlak w de cartesische coördinaten v/h punt genoemd.
Een andere voorstelling hiervoor zijn de poolcoördinaten (𝑟, 𝜑) v/h punt.
𝑎 = 𝑟 cos(𝜑)
→ Worden bepaald door {
𝑏 = 𝑟 sin(𝜑)
met 𝑟 ≥ 0 = de modulus en 0 ≤ 𝜑 < 2 = de poolhoek of het argument
→ 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑟(cos( 𝜑) + sin(𝜑) 𝑖) = de goniometrische / polaire vorm
𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
Handige uitdrukking:{ 𝑏
tan(𝜑) = 𝑎
Deze uitkomst zal 2 hoeken geven: zoek het kwadrant waarin de hoek ligt i/d goniometrische cirkel.

Meetkundige interpretatie v/d vermenigvuldiging:
𝑧1 𝑧2 = (𝑟1 (cos(𝜃1 ) + sin(𝜃1 ) 𝑖))(𝑟2 (cos(𝜃2 ) + 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 )𝑖)) = 𝑟1 𝑟2 (cos(𝜃1 + 𝜃2 ) + sin (𝜃1 + 𝜃2 )𝑖)
!Formule van De Moivre =
Voor elke 𝑛 ∈ ℤ geldt: 〈𝑟(cos(𝜑) + sin (𝜑)𝑖)〉𝑛 = 𝑟 𝑛 (cos(𝑛𝜑) + sin(𝑛𝜑) 𝑖)
Bewijs 2.1.

2.4 ℝ𝑛 als verzameling van vectoren
Met ℝ𝑛 bedoelen we de verz van koppels {(𝑥1 , 𝑥2,⋯ , 𝑥𝑛 )|𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑛}.
De elementen worden vaak vectoren genoemd en genoteerd als 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑒𝑡𝑐 en ze zullen geïdentificeerd
worden met kolommatrices.
ℝ𝑛 , +is een groep, maar ℝ𝑛 × ℝ𝑛 → ℝ𝑛 is geen veld: er ontbreekt een 2e inwendige bewerking.
Een veel gebruikte grafische voorstelling is die waarbij de vectoren getekend w met pijlen.(p 22-24)

,3. Lineaire vergelijkingen en matrices
3.1 Lineaire vergelijkingen

Een lineaire vergelijking in n onbekende 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 is v/d vorm 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2, 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 .
→ de reële getallen a = de coëfficiënten.
→ b = de constante term.

Stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden = gegeven door lineaire vergelijkingen i/e {

Hypervlak in ℝ𝑛 = de verz van alle oplossingen v/e lineaire vergelijking in n onbekenden.

Stelsels van lineaire vergelijkingen worden vaak voorgesteld a.d.h.v. matrices.
Matrix = een rechthoekig schema van symbolen (de componenten v/d matrix). Een m × n matrix
bestaat uit m rijen en n kolommen.
De componenten kunnen getallen zijn uit elke verzameling.

Notatie: de verzameling van matrices met m rijen en n kolommen (en met reële componenten)
wordt genoteerd met ℝ𝑚×𝑛 :
- De orde v/d matrix = het koppel (m,n).
- Vierkante matrix = wanneer m = n.
- Rijmatrix = een matrix met m = 1.
- Kolommatrix = een matrix met n = 1, wordt ook vaak n-dimensionale vector genoemd.
- Een matrix met m = n = 1 kunnen we identificeren met haar enige component, dus met een reëel
getal.

Met een stelsel kunnen 2 matrices geconstrueerd worden:
𝑎11 … 𝑎1𝑛 𝑏1
𝐴=[ … … … ⃗⃗
] 𝑒𝑛 𝑏 = [ … ]
𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
3.2 Matrices optellen, vermenigvuldigen en transporteren

Bijzondere matrices:
- Nulmatrices = matrices waarin alle componenten 0 zijn.
- Diagonaalmatrix = matrices waarin alle niet-diagonaalelementen 0 zijn.
- Eenheidsmatrix = de vierkante matrix met enkel 1-en op de diagonaalelementen en 0-en op de
niet-diagonaalelementen.

Optelling:
- Enkel gedefinieerd voor 2 matrices met hetzelfde #rijen en hetzelfde #kolommen.
- De som v/d matrices is dan de mxn-matrix met als componenten de componenten v/d 2 matrices
opgeteld.
- De optelling is een groep.

Scalaire vermenigvuldiging:
Heel de matrix wordt vermenigvuldigt met λ.

Vermenigvuldiging:
- Enkel gedefinieerd als het # kolommen v/d 1e matrix gelijk is aan het # rijen v/d 2e .
- Het product is dan een matrix met evenveel rijen als de 1e matrix en evenveel kolommen als de
2e. De componenten zijn de paarsgewijze vermenigvuldigingen optellen v/d rij en de kolom v/h
component dat je zoekt.

,- De matrixvermenigvuldiging maakt het mogelijk om een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n
onbekenden als matrix te noteren: 𝐴. 𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗.
- !Stelling: voor alle matrices A, B en C waarvoor de bewerkingen goed gedefinieerd zijn geldt:
1) 𝐴. 𝐼𝑛 = 𝐴 𝑒𝑛 𝐼𝑚 . 𝐴 = 𝐴 (met I de eenheidsmatrix)
2) 𝐴. (𝐵 + 𝐶) = 𝐴. 𝐵 + 𝐴. 𝐶 en (𝐴 + 𝐵). 𝐶 = 𝐴. 𝐶 + 𝐵. 𝐶
3) 𝐴(𝐵 ⋅ 𝐶) = (𝐴𝐵) ⋅ 𝐶
4) (𝑎 ⋅ 𝐴) ⋅ 𝐵 = 𝑎(𝐴 ⋅ 𝐵)
5) In het algemeen geldt echter 𝐴 ⋅ 𝐵 ≠ 𝐵 ⋅ 𝐴
➔ Bewijs 3.1

Blokvermenigvuldigingen:
- Matrices kunnen we vaak in blokken verdelen, met in elk blok een deelmatrix van mogelijke
verschillende orde.
- 2 matrices kunnen dan blok per blok vermenigvuldigt worden als de verdelingen overeenkomen.

Transponeren:
- Als A een m bij n matrix is, dan is de getransponeerde matrix At een n bij m matrix waarvan de
elementen v/d kolommen van At de elementen v/d rijen van A zijn.
- Een (vierkante) matrix is symmetrisch als A = At.
- !Stelling: Voor alle matrices A en B waarvoor de bewerkingen goed gedefinieerd zijn geldt:
1) (𝐴𝑡 )𝑡 = 𝐴
2) (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
3) (𝑎𝐴)𝑡 = 𝑎𝐴𝑡 , ∀𝑎 ∈ ℝ
4) (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡 ⋅ 𝐴𝑡 (de volgorde verandert)
➔ Bewijs 3.2

3.3 Informatie verwerken met matrices

De matrixvermenigvuldiging is goed gedefinieerd via de rij-kolomregel → vben p 31-34.

3.4 Inverse matrix

Een inverse matrix verwijst naar een mogelijke groepsstructuur, geassocieerd aan de
matrixvermenigvuldiging. Hier moet het wel gaan over een inwendige bewerking, we beperken ons
dus tot de vierkante matrices.

!inverteerbaar = een vierkante 𝑛 × 𝑛 matrix A noemen we inverteerbaar indien er een 𝑛 × 𝑛 matrix
B bestaat zodat 𝐵 ⋅ 𝐴 = 𝐼𝑛 en 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐼𝑛 .

→ Als A inverteerbaar is dan is de matrix B met bovenstaande eigenschappen uniek.
 Bewijs 3.3

→ Voor alle inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrices A en B geldt:
 (𝐴 ⋅ 𝐵)−1 = 𝐵−1 ⋅ 𝐴−1
 (𝐴𝑡 )−1 = (𝐴−1 )𝑡
 Bewijs: volgt uit het feit dat de matrices 𝐵−1 ⋅ 𝐴−1 en (𝐴−1 )𝑡 aan de voorwaarden v/e
inverse voor A.B en At voldoen, en uit het feit dat de inverse uniek is.
 (𝐴−1 )𝑡 ⋅ 𝐴𝑡 = (𝐴 ⋅ 𝐴−1 )𝑡 = 𝑖 𝑡 = 𝑖
 Bewijs 3.4

,3.5 Determinant

Een matrix kan ook geschreven worden als een kolommatrix v/d rijen genoteerd door R.

!(k,l)-minor = is de (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) matrix Akl die men bekomt door uit de A de k-de rij en de l-de
kolom te schrappen.

!De determinant =
- Det(A) v/e 1 × 1 matrix A = (a) is a zelf.
- Det(A) v/e 𝑛 × 𝑛 matrix A is de som v/d ontwikkeling naar de eerste kolom: det(𝐴) =
𝑛
𝑎11 det(𝐴11 ) − 𝑎21 det(𝐴21 ) + ⋯ + (−1)1+𝑛 𝑎𝑛1 det(𝐴𝑛1 ) = ∑𝑖=1(−1)1+𝑖 𝑎𝑖1 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑖1 ).

Voor kleine waarde van n kan men makkelijk nagaan dat:
𝑎 𝑏 𝑐
𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑓 ] = (𝑎𝑐𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐 𝑑 h) −(𝑐𝑒𝑔 + 𝑓ℎ𝑎 + 𝑏 𝑑𝑖)
det [ ] = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 en det [
𝑐 𝑑
𝑔 ℎ 𝑖
De determinant v/e diagonaalmatrix is het product v/d diagonaalelementen.
De determinant v/d eenheidsmatrix is 1.

!Stelling: de determinant heeft meerdere eigenschappen:
1) Multi-lineair en alternerend:
𝑅1 𝑅1
 det [𝜆𝑅𝑘 ] = 𝜆 det [𝑅𝑘 ]
𝑅𝑛 𝑅𝑛
𝑅1 𝑅1 𝑅1
 det [ 𝑘 𝑅 + 𝑆 𝑅
] = det [ 𝑘 ] + det [ 𝑠 ]
𝑅𝑛 𝑅𝑛 𝑅𝑛
𝑅1 𝑅1
𝑅 𝑅
 det | 𝐿 | = det [ 𝑘 ] → 2 gelijke rijen → det = 0.
𝑅𝑘 𝑅𝐿
𝑅𝑛 𝑅𝑛
2) Voor elke vierkante matrix A geldt det(At) = det(A). → Alle eigenschappen van rijen gelden dus
ook voor kolommen.
3) Laplaceontwikkeling naar de k-de kolom: gegeven een 𝑛 × 𝑛 matrix A = (aij). Kies een
willekeurige kolom k. Dan geldt det(𝐴) = (−1)𝑘+1 𝑎1𝑘 det(𝐴1𝑘 ) + (−1)𝑘+2 𝑎2𝑘 det(𝐴2𝑘 ) + ⋯ +
𝑛
(−1)𝑘+𝑛 𝑎𝑛𝑘 det(𝐴𝑛𝑘 ) = ∑𝑖=1(−1)𝑘+𝑖 𝑎𝑖𝑘 det(𝐴𝑖𝑘 ).

Voor een bovendriehoeksmatrix is of benedendriehoeksmatrix is de determinant gelijk aan het
product v/d diagonaalelementen.

3.6 De regel van Cramer

Determinanten zijn ook nuttig om de oplossing v/e lineair stelsel van n vergelijkingen in n
onbekenden te bepalen.

Regel van Cramer:
Zij A een vierkante matrix met det (A) ≠ 0. Laat Ai de matrix zijn waarvan de i-de kolom 𝑎⃗𝑖 van A
vervangen is door 𝑏⃗⃗. de unieke oplossing 𝑥⃗ = [𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ]𝑡 v/h stelsel 𝐴 ⋅ 𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗ wordt gegeven door
det(𝐴𝑖 )
𝑥𝑖 = det(𝐴)
, ∀𝑖 = 1, … , 𝑛.

We kunnen de regel van Cramer en de Laplaceontwikkeling combineren om een expliciete
beschrijving te geven v/d inverse matrix.

,!Stelling:
Als A een inverteerbare 𝑛 × 𝑛 matrix is, dan wordt het element bij op rij i en kolom j v/d inverse
𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑗𝑖 )
matrix A-1 gegeven door 𝑏𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑑𝑒𝑡(𝐴)
,
met i/h rechterlid de minor Aij die men bekomt door uit A de i-de kolom en de j-de rij te schrappen.

𝑎 𝑏 −1 1 𝑑 −𝑏
[ ] = 𝑎𝑑−𝑏𝑐 [ ]
𝑐 𝑑 −𝑐 𝑎
!Stelling:
Voor 2 𝑛 × 𝑛 matrices A en B geldt: det(A ⋅ B) = det(A) ⋅ det(B).

GL(n, ℝ) = {n × n matrices A met det A ≠ 0} is de enige verzameling die een groep vormt onder
matrixverzameling.
= de algemene lineaire groep van orde n.

,4. Functies van één variabele
4.1 Bewerkingen met functies

Functie = een reële functie f van 1 variabele is een voorschrift dat aan elk element v/e
deelverzameling dom𝑓 van ℝ precies 1 element v/e deelverzameling bld𝑓 van ℝ toekent.
not: 𝑓: ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) of 𝑦 = 𝑓(𝑥).
→ x = de onafhankelijke variabele op de horizontale as.
→ y = de afhankelijke variabele op de verticale as.

Even = een functie is even, indien voor elke 𝑥 ∈ domf geldt dat -𝑥 ∈ domf en bovendien
𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) → symmetrisch t.o.v. de Y-as.
Oneven = een functie is oneven, indien 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) → symmetrisch t.o.v. de oorsprong.
Periodiek = een functie is periodiek met periode p als p ∈ ℝ+ de kleinste waarde is waarvoor, voor
elke waarde x uit het domein, geldt: 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥).

Bewerkingen met functies:
- Samenstellen : 𝑓 ∘ 𝑔 𝑒𝑛 𝑔 ∘ 𝑓
- Optellen : 𝑓 + 𝑔
𝑓
- Vermenigvuldigen : 𝑓 ⋅ 𝑔 en delen :
𝑔
- Vermenigvuldigen met een constante : 𝑎 ⋅ 𝑓
- De inverse functie: 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑦) → de grafiek w gespiegeld t.o.v. de 1e bissectrice. (vb p46-47)

Een functie kan ook stuksgewijs gedefinieerd worden: indien het voorschrift verschilt voor
verschillende delen v/h domein. Vb:
0→𝑥<0
𝑓(𝑥) = { is een stuksgewijs gedefinieerde functie.
𝑥→0≤𝑥
4.2 Enkele elementaire functies
4.2.1 Veeltermfuncties

Een lineaire functie heeft voorschrift 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑞.
→ wordt grafisch voorgesteld door een rechte met m als richtingscoëfficiënt of helling en q het
snijpunt v/d beeldlijn v/d functie met de Y-as.

Een veeltermfunctie v/d graad n = een functie die x afbeeld op een veelterm van x.
→ 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 .
𝑏 𝐷
→ de kwadratische functie: beschrijft een parabool met top in (𝑥0 = − 2𝑎 , 𝑦0 = − 4𝑎), met
discriminant 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Bij 𝑎 > 0 hebben we een dalparabool, bij 𝑎 < 0 een bergparabool.

4.2.2 Rationale en irrationale functies

Een rationale functie = een functie met een veeltermbreuk.
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 +⋯+𝑎0
→ 𝑓: ℝ → ℝ: 𝑥 ↦ 𝑓(𝑥) = 𝑚 .
𝑏𝑚𝑥 +⋯ +𝑏0
→ Opletten bij de punten met 0 in de noemer: het domein is R, verminderd met de waarden
waarvoor de noemer 0 wordt.

Een irrationale functie = een functie met wortelbreuken.
→ Het domein is beperkt tot dat deel v/d reële as waarvoor het argument onder de wortel niet
positief is.

, 4.2.3 Goniometrische en cyclometrische functies

Goniometrische functies:

1) Sinusfunctie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
 Domein ℝ en bereik [−1,1]
 Oneven en periodiek met periode 2𝜋
2) Cosinusfunctie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 Domein ℝ en bereik [−1,1]
 Even en periodiek met periode 2𝜋
3) Tangens functie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
 𝑡𝑎𝑛(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝜋
 Domein ℝ ∖ {(2𝑛 + 1) 2 : 𝑛 ∈ ℤ} en bereik ℝ
 Oneven en periodiek met 𝜋
4) Cotangensfunctie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
 Domein ℝ ∖ {(𝑛𝜋): 𝑛 ∈ ℤ} en be reik ℝ
 Oneven en periodiek met 𝜋
5) Secansfunctie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
1
 𝑠𝑒𝑐(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝜋
 Domein ℝ ∖ {(2𝑛 + 1) 2 : 𝑛 ∈ ℤ} en bereik ℝ
 Even en periodiek met 𝜋
6) Cosecansfunctie
 ℝ → ℝ, 𝑥 ↦ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)
1
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
 Domein ℝ ∖ {(𝑛𝜋): 𝑛 ∈ ℤ} en bereik ℝ
 Oneven en periodiek met 𝜋

→ Zijn GEEN bijecties, enkel wanneer ze beschouwd worden op een restrictie op
een goedgekozen interval.