Wiskunde semester 2
, 1.1 Bepaalde en onbepaalde integralen
2.1Partities, boven- en ondersommen
Herhaling: definities toegepast op een deelverzameling V van R , en de orderelatie “≤ ”
- Een element v ∈V is een maximaal element van V als, x ≤ v voor alle x ∈ V .
Een element v ∈V is een minimaal element van V als, v ≤ x voor alle x ∈ V .
- Een element a ∈ R is een bovengrens van V als, x ≤ a voor alle x ∈ V .
Een element a ∈ R is een ondergrens van V als, a ≤ x voor alle x ∈ V .
Beschouw nu de deelverzameling C van R die bestaat uit alle bovengrenzen van V.
- We noemen s ∈ R het supremum van V indien s het minimale element is van C.
Analoog, beschouw de deelverzameling D van R die bestaat uit alle ondergrenzen van V.
- We noemen i∈ R het infimum van V indien i het maximale element is van D.
Stelling: Als een deelverzameling V van R naar boven begrensd is, dan heeft V een supremum. Als V
naar beneden begrens is, dan heeft V een infimum.
Definitie: Een partitie P v/e gesloten interval [ a , b ] is een verzameling getallen { x 0 , x 1 , … , x n } met
x 0=a< x1 < …< x n=b .
De unie v/d deelintervallen ¿ en [ x n−1 , x n ] vormt dan het volledige interval [ a , b ].
Beschouw een functie f die begrensd is op [ a , b ]. Stel dat er een partitie P gegeven is op [ a , b ] en
beschouw in elk deelinterval het infimum en het supremum v/d functiewaarden,
¿
m k =inf ¿, Mk= ¿
Er geldt dan m k ≤ M k .
We beschouwen een functie met f ( x ) >0 op [ a , b ].
Beschouw rechthoeken vertrekkende uit de X-as met hoogte m k en breedte ∆ x k =x k −x k−1.
De som v/d oppervlaktes van al deze rechthoeken zal de “oppervlakte” onder de functie f op het
interval [ a , b ] benaderen.
Aangezien de oppervlakte van één dergelijke rechthoek gelijk is aan m k ∆ x k , is die benadering
n
OP ,f =∑ mk ∆ x k Deze som wordt de ondersom voor de Partitie P genoemd.
k=1
n
Analoog is BP ,f =∑ M k ∆ x k de bovensom voor de partitie P.
k=1
Het is duidelijk dat O P ,f ≤ oppervlakte f(x) ≤ B P , f .
Dit kan herhaald worden voor functies waarvan de beeldwaarde niet noodzakelijke strikt positief is.
2.2Bepaalde integralen
De definities hangen af v/d keuze v/d partitie.
Wanneer we aan P meer punten toevoegen krijgen we een nieuwe partitie P’. Er zal dan gelden:
OP ,f ≤ OP ' , f en BP ,f ≥ B P ' , f .
Voor 2 willekeurige partities P1 en P2 van hetzelfde interval steeds:
OP ,f ≤ B P , f
1 2
en OP ,f ≤ B P , f .
2 1
De allereenvoudigste (of ruwste) partitie is die waarbij P2={a , b }.
, 1.1 Bepaalde en onbepaalde integralen
2.1Partities, boven- en ondersommen
Herhaling: definities toegepast op een deelverzameling V van R , en de orderelatie “≤ ”
- Een element v ∈V is een maximaal element van V als, x ≤ v voor alle x ∈ V .
Een element v ∈V is een minimaal element van V als, v ≤ x voor alle x ∈ V .
- Een element a ∈ R is een bovengrens van V als, x ≤ a voor alle x ∈ V .
Een element a ∈ R is een ondergrens van V als, a ≤ x voor alle x ∈ V .
Beschouw nu de deelverzameling C van R die bestaat uit alle bovengrenzen van V.
- We noemen s ∈ R het supremum van V indien s het minimale element is van C.
Analoog, beschouw de deelverzameling D van R die bestaat uit alle ondergrenzen van V.
- We noemen i∈ R het infimum van V indien i het maximale element is van D.
Stelling: Als een deelverzameling V van R naar boven begrensd is, dan heeft V een supremum. Als V
naar beneden begrens is, dan heeft V een infimum.
Definitie: Een partitie P v/e gesloten interval [ a , b ] is een verzameling getallen { x 0 , x 1 , … , x n } met
x 0=a< x1 < …< x n=b .
De unie v/d deelintervallen ¿ en [ x n−1 , x n ] vormt dan het volledige interval [ a , b ].
Beschouw een functie f die begrensd is op [ a , b ]. Stel dat er een partitie P gegeven is op [ a , b ] en
beschouw in elk deelinterval het infimum en het supremum v/d functiewaarden,
¿
m k =inf ¿, Mk= ¿
Er geldt dan m k ≤ M k .
We beschouwen een functie met f ( x ) >0 op [ a , b ].
Beschouw rechthoeken vertrekkende uit de X-as met hoogte m k en breedte ∆ x k =x k −x k−1.
De som v/d oppervlaktes van al deze rechthoeken zal de “oppervlakte” onder de functie f op het
interval [ a , b ] benaderen.
Aangezien de oppervlakte van één dergelijke rechthoek gelijk is aan m k ∆ x k , is die benadering
n
OP ,f =∑ mk ∆ x k Deze som wordt de ondersom voor de Partitie P genoemd.
k=1
n
Analoog is BP ,f =∑ M k ∆ x k de bovensom voor de partitie P.
k=1
Het is duidelijk dat O P ,f ≤ oppervlakte f(x) ≤ B P , f .
Dit kan herhaald worden voor functies waarvan de beeldwaarde niet noodzakelijke strikt positief is.
2.2Bepaalde integralen
De definities hangen af v/d keuze v/d partitie.
Wanneer we aan P meer punten toevoegen krijgen we een nieuwe partitie P’. Er zal dan gelden:
OP ,f ≤ OP ' , f en BP ,f ≥ B P ' , f .
Voor 2 willekeurige partities P1 en P2 van hetzelfde interval steeds:
OP ,f ≤ B P , f
1 2
en OP ,f ≤ B P , f .
2 1
De allereenvoudigste (of ruwste) partitie is die waarbij P2={a , b }.
