Statistiek II – samenvatting
INLEIDENDE LES
Zie samenvatting van vorig jaar + slides.
7 BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN GEBASEERD OP ÉÉN ENKELE
STEEKPROEF
7.1 SCHATTEN VAN EEN PARAMETER
(Punt)schatter voor de populatieparameter = een regel/formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef één getal moeten berekenen om de populatieparameter te schatten, het is dus een
steekproefgrootheid.
Voorbeeld: 𝑥̅ is een puntschatter voor µ
Schatting = uitkomst van een schatter
Om een indicatie te krijgen over de nauwkeurigheid van de schatting gebruiken we de kansverdeling
van de steekproefgrootheid.
Intervalschatter = Betrouwbaarheidsinterval = een regel/formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef een interval moeten berekenen dat de waarde van de parameter met een bepaalde
(hoge) waarschijnlijkheid bevat.
Betrouwbaarheidscoëfficiënt = de kans dat een willekeurig gekozen BBI de populatieparameter
bevat. = (1 − 𝛼)
Betrouwbaarheid = de betrouwbaarheidscoëfficiënt uitgedrukt als een percentage.
7.2 BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN VERWACHTING BIJ EEN GROTE STEEKPROEF
Wat is groot? Een steekproefomvang van minstens 30.
Het getal 30 is geen scherpe grens, als de kansverdeling van de populatieheuvelvormig is, kan een
kleinere n ook al voldoende zijn.
Hoe de steekproefinformatie gebruiken om de verwachting in de populatie te schatten en de
betrouwbaarheid van de schatting te bepalen?
Volgens de centrale limietstelling is de kansverdeling van het steekproefgemiddelde 𝑥̅ bij benadering
𝝈
normaal voor grote steekproeven, met verwachting 𝝁𝒙̅ = 𝝁 en de standaardafwijking 𝝈𝒙̅ =
√𝒏
𝜎
𝑥̅ ~𝑁(µ, )
√𝑛
𝑥−µ
Na de standaardisatie vinden we: 𝑧 (0,1) ∼ 𝜎
√𝑛
1
, De betrouwbaarheidscoëfficiënt is gelijk aan (1 – α )
De betrouwbaarheid is dan 100 ∗ (1 − 𝛼)%
In de figuur van de normale verdeling bakenen we
twee staarten af met gelijke kans α/2. Deze
staarten liggen links van -zα/2 en rechts van zα/2 .
Na de redenering van bladzijde 1 die leidt tot
verwisseling van µ en 𝑥̅ , krijgen we het BBI:
𝜎
𝐵𝐵𝐼(1−𝛼)∗100% = [𝑥
̅ ± 𝑧𝛼/2 ∗ ]
√𝑛
Voorbeeld
Gegeven:
- BBI95%
- Een voedingsdeskundige wenst na te gaan hoe
vaak jongeren wekelijks vlees eten bij de
hoofdmaaltijd. Hij verzamelt hiertoe gegevens
over 220 jongeren en vindt in de steekproef een
gemiddelde (𝑥̅ ) van 5,65 en een
standaardafwijking (s) van 1,63.
Berekeningen:
- Bij een BBI95% is de betrouwbaarheidscoëfficiënt
(1-α) = 0,95. Waaruit volgt dat α = 0,05
- Het gele gearceerde gedeelte op de grafiek geeft 0,95 weer.
- Beide helften links en rechts van µ zijn 0,5
- α/2 = 0,025
0,5 – 0,025 = 0,4750
- Het getal, 0,4750, kunnen we opzoeken in de tabel. Hiervoor krijgen we 1,96. Dit zijn de
grenzen 𝑧𝛼/2 en − 𝑧𝛼/2
- Als we de gevonden waarden invullen in het interval dan krijgen we de intervalschatter
𝑠 1,63
𝐵𝐵𝐼95% = [𝑥̅ ± 𝑧𝛼/2 ∙ ] = [5,65 ± 1,96 ∙ ] = [5,43 ; 5,87]
√𝑛 √220
Betekenis interval:
- We kunnen met 95% zekerheid zeggen dat het gemiddelde aantal wekelijkse
hoofdmaaltijden met vlees bij jongeren tussen 5,43 en 5,87 ligt.
2
INLEIDENDE LES
Zie samenvatting van vorig jaar + slides.
7 BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN GEBASEERD OP ÉÉN ENKELE
STEEKPROEF
7.1 SCHATTEN VAN EEN PARAMETER
(Punt)schatter voor de populatieparameter = een regel/formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef één getal moeten berekenen om de populatieparameter te schatten, het is dus een
steekproefgrootheid.
Voorbeeld: 𝑥̅ is een puntschatter voor µ
Schatting = uitkomst van een schatter
Om een indicatie te krijgen over de nauwkeurigheid van de schatting gebruiken we de kansverdeling
van de steekproefgrootheid.
Intervalschatter = Betrouwbaarheidsinterval = een regel/formule die ons zegt hoe we uit de
steekproef een interval moeten berekenen dat de waarde van de parameter met een bepaalde
(hoge) waarschijnlijkheid bevat.
Betrouwbaarheidscoëfficiënt = de kans dat een willekeurig gekozen BBI de populatieparameter
bevat. = (1 − 𝛼)
Betrouwbaarheid = de betrouwbaarheidscoëfficiënt uitgedrukt als een percentage.
7.2 BETROUWBAARHEIDSINTERVAL VOOR EEN VERWACHTING BIJ EEN GROTE STEEKPROEF
Wat is groot? Een steekproefomvang van minstens 30.
Het getal 30 is geen scherpe grens, als de kansverdeling van de populatieheuvelvormig is, kan een
kleinere n ook al voldoende zijn.
Hoe de steekproefinformatie gebruiken om de verwachting in de populatie te schatten en de
betrouwbaarheid van de schatting te bepalen?
Volgens de centrale limietstelling is de kansverdeling van het steekproefgemiddelde 𝑥̅ bij benadering
𝝈
normaal voor grote steekproeven, met verwachting 𝝁𝒙̅ = 𝝁 en de standaardafwijking 𝝈𝒙̅ =
√𝒏
𝜎
𝑥̅ ~𝑁(µ, )
√𝑛
𝑥−µ
Na de standaardisatie vinden we: 𝑧 (0,1) ∼ 𝜎
√𝑛
1
, De betrouwbaarheidscoëfficiënt is gelijk aan (1 – α )
De betrouwbaarheid is dan 100 ∗ (1 − 𝛼)%
In de figuur van de normale verdeling bakenen we
twee staarten af met gelijke kans α/2. Deze
staarten liggen links van -zα/2 en rechts van zα/2 .
Na de redenering van bladzijde 1 die leidt tot
verwisseling van µ en 𝑥̅ , krijgen we het BBI:
𝜎
𝐵𝐵𝐼(1−𝛼)∗100% = [𝑥
̅ ± 𝑧𝛼/2 ∗ ]
√𝑛
Voorbeeld
Gegeven:
- BBI95%
- Een voedingsdeskundige wenst na te gaan hoe
vaak jongeren wekelijks vlees eten bij de
hoofdmaaltijd. Hij verzamelt hiertoe gegevens
over 220 jongeren en vindt in de steekproef een
gemiddelde (𝑥̅ ) van 5,65 en een
standaardafwijking (s) van 1,63.
Berekeningen:
- Bij een BBI95% is de betrouwbaarheidscoëfficiënt
(1-α) = 0,95. Waaruit volgt dat α = 0,05
- Het gele gearceerde gedeelte op de grafiek geeft 0,95 weer.
- Beide helften links en rechts van µ zijn 0,5
- α/2 = 0,025
0,5 – 0,025 = 0,4750
- Het getal, 0,4750, kunnen we opzoeken in de tabel. Hiervoor krijgen we 1,96. Dit zijn de
grenzen 𝑧𝛼/2 en − 𝑧𝛼/2
- Als we de gevonden waarden invullen in het interval dan krijgen we de intervalschatter
𝑠 1,63
𝐵𝐵𝐼95% = [𝑥̅ ± 𝑧𝛼/2 ∙ ] = [5,65 ± 1,96 ∙ ] = [5,43 ; 5,87]
√𝑛 √220
Betekenis interval:
- We kunnen met 95% zekerheid zeggen dat het gemiddelde aantal wekelijkse
hoofdmaaltijden met vlees bij jongeren tussen 5,43 en 5,87 ligt.
2
