financiële algebra
DEEL I: TIJDSWAARDE VAN GELD
alle financiële beslissingen die je zal maken, hebben altijd te maken met
bedragen op verschillende tijdstippen
deze mag je nooit met elkaar vergelijken
hetzelfde geld op een ander tijdstip heeft een andere waarde
0 = vandaag
n = een moment in de toekomst
je kan geld “verplaatsen in de tijd” door te
kapitaliseren (naar de toekomst) of te
verdisconteren (naar vandaag)
redenen waarom je geld op een ander tijdstip niet mag vergelijken:
• vergoeding ter compensatie: door uitstellen v consumptie, wil je geld
als compensatie
• inflatie: geld wordt langzaam minder waard
• onzekerheid: als er een groter risico is, wil je meer geld in de plaats
bij elk financieel product zijn deze zaken aanwezig, maar ze zijn niet voor
elk financieel product even belangrijk en ze zijn bij elke beslissing
aanwezig
dus: hierdoor willen mensen een r (rendement) krijgen
r = rendement/ interest/ rente
vnu = waarde vandaag (present value)
vlater = waarde in de toekomst (future value)
voorbeeld:
de goudprijs is op 1 jaar tijd van $2690 naar $4690 gegaan, wat is dan het
rendement?
vnu = 2690 = 0,7435 = 74,35% rendement
vlater = 4690
dit is heel veel rendement, maar je kan dit niet vergelijken met elkaar omdat er
op goudbeleggingen meer risico zit (zie financiële markten)
afronden: op 4 cijfers na de komma → op 2 cijfers na de komma als het over %
gaat
1
, → op 2 cijfers na de komma als het over euro
gaat
als de r gegeven is, kan je de toekomstige waarde (future value) van een
bedrag bepalen
voorbeeld:
je hebt 10.000 euro en je krijgt een jaarlijkse intrestvoet van 5%, dan kan je
bereken hoeveel je volgend jaar verdiend zou hebben met dezelfde formule, die
een beetje aangepast is
misverstand: de toekomstige waarde berekenen met enkelvoudige
intrest
= elk jaar dezelfde rente krijgen op het oorspronkelijk gedrag (lineair)
vb. : 5% op 10.000 = elk jaar €500 rente
jaar 1: €10.500
jaar 2: €11.000 elk jaar + €500
jaar 3: €11.500
methode die we gebruiken: samengestelde intrest (rente op rente)
= je krijgt niet alleen rente op je oorspronkelijke bedrag, maar ook op de
rente die je al eerder hebt verdient, waardoor je geld steeds sneller
(exponentieel) groeit
jaar 1: rente op €10.000
jaar 2: rente op €10.500 elk jaar 5% berekenen op het bedrag van
jaar 3: rente op €11.025 vorig jaar:
basisformule: =
wat gebeurt er?
jaar 1: je krijgt rente op V₀
jaar 2: je krijgt rente op V₁ = V₀ (1+r)
jaar 3: je krijgt rente op V₂ = V₀ (1+r)²
dit is dus de kapitalisatieformule = formule voor toekomstige waarde (FV)
V₀ = het bedrag vandaag
r = de jaarlijkse rentevoet
2
,t = het aantal jaren
Vₜ = de toekomstige waarde (future value) na t jaren
een extra procent rendement is veel meer dan een extra procent geld op lange
termijn, door de samengestelde intrest
voorbeeld: je krijgt 10.000 voor 20 jaar aan een jaarlijkse rentevoet van 10%
v20 = 10.000 ⋅ (1,10)20 = 67.275 euro → samengestelde intrest kan je rijk maken
een kleine stijging in de
rentevoet leidt op
lange termijn tot
enorme verschillen in
eindwaarde
dat komt door rente op
rente (samengestelde
intrest): elk jaar wordt
de rente berekend op
een steeds groter
bedrag
actualisatieformule = verdisconteringsformule
disconto = de waardevermindering die je toepast omdat geld in de toekomst
minder waard is dan geld vandaag (“als ik later 10.000 krijg, hoeveel is dat
vandaag waard?”)
dat hangt af van r, want r weerspiegelt
• inflatie een hoger r → een lager V₀
• risico → toekomstig bedrag is vandaag
• vergoeding ter compensatie weinig waard
voorbeeld:
je krijgt 10.000 euro binnen 10 jaar en de verdisconteringsvoet is 10%
= 3.855 euro waard, want de r (inflatie, risico, compensatie)
bepaalt wat iets
waard is en dit kan je berekenen
voorbeeld:
wat zou je kiezen?
3
, • €100 in jaar 0
je kan dit berekenen, maar de beste optie is afh van de
• €110 in jaar 1
hoogte van r
• €120 in jaar 3
hoge r → toekomstig bedrag is vandaag weinig
• €150 in jaar 5
waard
dus 1 van deze opties zal het beste
zijn onder een assumptie van r
stel je zegt dat r = 5% stel je zegt dar r = 10%
v0 = €100 v0 = €100
v0 = €110 / (1,05)1 = €104,76 v0 = €110 / (1,10)1 = €100
v0 = €120 / (1,05)3 = €103,66 v0 = €120 / (1,10)3 = €90,16
v0 = €150 / (1,05)5 = €117,53 v0 = €150 / (1,10)5 = €93,14
huidige of actuele waarde (present value)
hoe hoger r, hoe sneller de
actuele waarde daalt
hoe verder in de toekomst, hoe
minder een bedrag vandaag
waard is
samengevat: tijdswaarde van geld
x≠y
• kapitaliseren = naar de toekomst
rekenen
• actualiseren = terugkeren naar
vandaag
als r > 0, dan heeft geld een tijdswaarde
• je mag geldstromen op verschillende tijdstippen nooit vergelijken
• je moet geldstromen altijd naar eenzelfde tijdstip herrekenen
4
DEEL I: TIJDSWAARDE VAN GELD
alle financiële beslissingen die je zal maken, hebben altijd te maken met
bedragen op verschillende tijdstippen
deze mag je nooit met elkaar vergelijken
hetzelfde geld op een ander tijdstip heeft een andere waarde
0 = vandaag
n = een moment in de toekomst
je kan geld “verplaatsen in de tijd” door te
kapitaliseren (naar de toekomst) of te
verdisconteren (naar vandaag)
redenen waarom je geld op een ander tijdstip niet mag vergelijken:
• vergoeding ter compensatie: door uitstellen v consumptie, wil je geld
als compensatie
• inflatie: geld wordt langzaam minder waard
• onzekerheid: als er een groter risico is, wil je meer geld in de plaats
bij elk financieel product zijn deze zaken aanwezig, maar ze zijn niet voor
elk financieel product even belangrijk en ze zijn bij elke beslissing
aanwezig
dus: hierdoor willen mensen een r (rendement) krijgen
r = rendement/ interest/ rente
vnu = waarde vandaag (present value)
vlater = waarde in de toekomst (future value)
voorbeeld:
de goudprijs is op 1 jaar tijd van $2690 naar $4690 gegaan, wat is dan het
rendement?
vnu = 2690 = 0,7435 = 74,35% rendement
vlater = 4690
dit is heel veel rendement, maar je kan dit niet vergelijken met elkaar omdat er
op goudbeleggingen meer risico zit (zie financiële markten)
afronden: op 4 cijfers na de komma → op 2 cijfers na de komma als het over %
gaat
1
, → op 2 cijfers na de komma als het over euro
gaat
als de r gegeven is, kan je de toekomstige waarde (future value) van een
bedrag bepalen
voorbeeld:
je hebt 10.000 euro en je krijgt een jaarlijkse intrestvoet van 5%, dan kan je
bereken hoeveel je volgend jaar verdiend zou hebben met dezelfde formule, die
een beetje aangepast is
misverstand: de toekomstige waarde berekenen met enkelvoudige
intrest
= elk jaar dezelfde rente krijgen op het oorspronkelijk gedrag (lineair)
vb. : 5% op 10.000 = elk jaar €500 rente
jaar 1: €10.500
jaar 2: €11.000 elk jaar + €500
jaar 3: €11.500
methode die we gebruiken: samengestelde intrest (rente op rente)
= je krijgt niet alleen rente op je oorspronkelijke bedrag, maar ook op de
rente die je al eerder hebt verdient, waardoor je geld steeds sneller
(exponentieel) groeit
jaar 1: rente op €10.000
jaar 2: rente op €10.500 elk jaar 5% berekenen op het bedrag van
jaar 3: rente op €11.025 vorig jaar:
basisformule: =
wat gebeurt er?
jaar 1: je krijgt rente op V₀
jaar 2: je krijgt rente op V₁ = V₀ (1+r)
jaar 3: je krijgt rente op V₂ = V₀ (1+r)²
dit is dus de kapitalisatieformule = formule voor toekomstige waarde (FV)
V₀ = het bedrag vandaag
r = de jaarlijkse rentevoet
2
,t = het aantal jaren
Vₜ = de toekomstige waarde (future value) na t jaren
een extra procent rendement is veel meer dan een extra procent geld op lange
termijn, door de samengestelde intrest
voorbeeld: je krijgt 10.000 voor 20 jaar aan een jaarlijkse rentevoet van 10%
v20 = 10.000 ⋅ (1,10)20 = 67.275 euro → samengestelde intrest kan je rijk maken
een kleine stijging in de
rentevoet leidt op
lange termijn tot
enorme verschillen in
eindwaarde
dat komt door rente op
rente (samengestelde
intrest): elk jaar wordt
de rente berekend op
een steeds groter
bedrag
actualisatieformule = verdisconteringsformule
disconto = de waardevermindering die je toepast omdat geld in de toekomst
minder waard is dan geld vandaag (“als ik later 10.000 krijg, hoeveel is dat
vandaag waard?”)
dat hangt af van r, want r weerspiegelt
• inflatie een hoger r → een lager V₀
• risico → toekomstig bedrag is vandaag
• vergoeding ter compensatie weinig waard
voorbeeld:
je krijgt 10.000 euro binnen 10 jaar en de verdisconteringsvoet is 10%
= 3.855 euro waard, want de r (inflatie, risico, compensatie)
bepaalt wat iets
waard is en dit kan je berekenen
voorbeeld:
wat zou je kiezen?
3
, • €100 in jaar 0
je kan dit berekenen, maar de beste optie is afh van de
• €110 in jaar 1
hoogte van r
• €120 in jaar 3
hoge r → toekomstig bedrag is vandaag weinig
• €150 in jaar 5
waard
dus 1 van deze opties zal het beste
zijn onder een assumptie van r
stel je zegt dat r = 5% stel je zegt dar r = 10%
v0 = €100 v0 = €100
v0 = €110 / (1,05)1 = €104,76 v0 = €110 / (1,10)1 = €100
v0 = €120 / (1,05)3 = €103,66 v0 = €120 / (1,10)3 = €90,16
v0 = €150 / (1,05)5 = €117,53 v0 = €150 / (1,10)5 = €93,14
huidige of actuele waarde (present value)
hoe hoger r, hoe sneller de
actuele waarde daalt
hoe verder in de toekomst, hoe
minder een bedrag vandaag
waard is
samengevat: tijdswaarde van geld
x≠y
• kapitaliseren = naar de toekomst
rekenen
• actualiseren = terugkeren naar
vandaag
als r > 0, dan heeft geld een tijdswaarde
• je mag geldstromen op verschillende tijdstippen nooit vergelijken
• je moet geldstromen altijd naar eenzelfde tijdstip herrekenen
4
