ECONOMETRIE VOOR BEDRIJFSECONOMEN
Prof. Dr. Christophe Croux · KU Leuven · TEW · 2025–2026
Stock & Watson, Introduction to Econometrics, 4th Global Edition
Dit document is een uitgebreide samenvatting van de cursus Econometrie voor
bedrijfseconomen, gebaseerd op de slides en hoorcolleges. De werkcolleges zijn
opgenomen in een aparte sectie achteraan in het document. Formules die op de slides
staan maar niet zijn geïntegreerd, zijn bewust weggelaten, de prof geeft aan dat formules
(op enkele na) niet van buiten geleerd hoeven te worden. Voor het examen is het vooral
belangrijk om voldoende te oefenen met Stata en de output correct te leren
interpreteren.
Conventie: de kritieke t-waarde mag steeds afgerond worden op 2 in plaats van 1,96.
,Hoofdstuk 1 – Inleiding: wat doet econometrie?
Econometrie combineert economische theorie, wiskunde en statistiek om de kwantitatieve grootte
van economische verbanden te meten. De theorie zegt ons dát variabelen samenhangen,
econometrie zegt ons hoeveel.
Kwantificeren van economische verbanden.
De kernvraag is steeds: wat is het causale effect van X op Y?
We zijn opzoek naar de contributie van X op Y, we kijken dus naar een geïsoleerd oorzakelijk effect.
Voorbeelden uit de les:
o Hoeveel stijgt de testscore als de klasgrootte daalt met één leerling?
o Hoeveel extra verdient iemand per bijkomend jaar opleiding?
o Wat is de prijselasticiteit van sigaretten?
Al die vragen vragen om een concreet getal en een oorzakelijk verband.
Observationele data versus experiment
Ideaal zou je een gerandomiseerd experiment uitvoeren: leerlingen willekeurig verdelen over grote
en kleine klassen, dezelfde test afnemen, en de gemiddelden vergelijken.
Door de randomisatie zijn andere factoren (inkomen, motivatie, …) gemiddeld gelijk over de
groepen waardoor elk gevonden verschil is dan causaal toe te schrijven aan de klasgrootte.
In de praktijk werken we bijna altijd met observationele data: data die niet het resultaat zijn van een
bewust experiment. Schooldistricten kiezen zelf hun klasgrootte, en die keuze hangt samen met
allerlei andere factoren. Dit brengt het fundamentele probleem mee:
Correlatie ≠ Causaliteit
Twee variabelen kunnen samenhangen zonder dat er een oorzakelijk verband bestaat. Een
confounder (een variabele die zowel X als Y beïnvloedt) kan een schijnverband creëren.
Voorbeeld: leerlingen die Latijn volgen, scoren beter op wiskunde. Maar Latijn veroorzaakt dat niet:
sociaaleconomische achtergrond beïnvloedt beide.
De rest van de cursus beantwoordt de vraag: hoe meten we causale effecten als we enkel
observationele data hebben?
Hoofdstukken 2 & 3 – Statistisch fundament
Voor we regressieanalyse kunnen toepassen, herhalen we de statistische bouwstenen die de rest van
de cursus ondersteunen. De rode draad is een concrete case: het effect van klasgrootte op testscores
in Californische schooldistricten.
,De empirische casus: California Test Score Data
De dataset bevat 420 Californische schooldistricten. De twee hoofdvariabelen zijn:
Y = gemiddelde testscore op districtsniveau (5de leerjaar, gestandaardiseerde testen)
X = Student-Teacher Ratio (STR) = aantal leerlingen / aantal voltijdse leerkrachten in het district
Beschrijvende statistieken
Een eerste blik op de data via univariate beschrijvende statistieken: ze beschrijven elke variabele
afzonderlijk en zeggen niets over het verband tussen STR en testscore.
Gem. Std.Dev. P10 P25 P40 P50 P75 P90
(mediaan)
STR (x) 19.6 1.9 17.3 18.6 19.3 19.7 20.9 21.9
Testscore 665.2 19.1 630.4 640.0 649.1 654.5 666.7 679.1
(y)
Percentiel vs. Kwantiel
Het verschil zit enkel in hoe je de fractie uitdrukt: als getal tussen 0 en 1 (kwantiel), als percentage
van 100 (percentiel), of als stap in een vaste opdeling (kwartiel, deciel).
P25 = eerste kwartiel, P50 = mediaan, P75 = derde kwartiel.
P40 = 19.3 voor STR betekent: 40% van de districten heeft STR < 19.3.
Relevant voor later: P75 − P60 voor testscores = 666.7 − 659.4 = 7.3 punten → dit is een
referentiepunt om economische relevantie van een verschil te beoordelen.
Scatterplot
De scatterplot toont een zwak negatief verband (de regressielijn loopt van linksboven naar
rechtsonder) met veel spreiding.
De steekproefcorrelatie = −0.23. Om dit te kwantificeren en statistisch te toetsen, vergelijken we
eerst twee groepen.
,Initiële analyse: kleine vs. grote klassen
We verdelen de districten op basis van STR < 20 versus STR ≥ 20:
Groep Gem. testscore (Ȳ) Std.Dev. (s) n
Klein (STR < 20) 657.4 19.4 238
Groot (STR ≥ 20) 650.0 17.9 182
Δ̂ = Ȳklein − Ȳgroot = 657.4 − 650.0 = 7.4 punten.
Is dit groot? Een verschil van 7.4 punten is vergelijkbaar met een sprong van het 60ste naar het 75ste
percentiel: economisch relevant genoeg om verder te onderzoeken.
Maar is het statistisch significant? We doorlopen drie stappen.
MERK OP: een statistische significante relatie wil niet altijd zeggen dat er economisch relevantie is.
a) Schatting van Δ
De schatter is simpelweg het verschil in steekproefgemiddelden:
Δ̂ = Ȳklein − Ȳgroot = 657.4 − 650.0 = 7.4
b) Hypothesetoets
We willen toetsen of het gevonden verschil significant verschilt van nul, of puur door toeval kan
verklaard worden.
H₀: Δ = 0 Hₐ: Δ ≠ 0 (tweezijdig)
We berekenen de t-statistiek: de afwijking van H₀, uitgedrukt in eenheden van de standaardfout.
Numeriek:
t = (Δ̂ - 0)/ SE = 7.4 - 0/ 1.83 ≈ 4.05
Voor grote steekproeven geldt via de Centrale Limietstelling (infra) dat de t-statistiek bij benadering
N(0,1) volgt.
Bij een tweezijdige toets op α = 0.05 is de kritische waarde ±1.96 (afgerond 2).
→ Omdat |4.05| > 1.96 verwerpen we H₀.
,c) Betrouwbaarheidsinterval voor Δ
Een 95%-betrouwbaarheidsinterval geeft alle plausibele waarden voor het ware populatieverschil:
Numeriek:
7.4 ± 1.96 · 1.83 = 7.4 ± 3.59 = [3.8 ; 11.0]
De waarde 0 valt buiten dit interval → equivalent aan het verwerpen van H₀.
De equivalentie tussen BI en hypothesetoets is een kernprincipe:
H₀-waarde buiten het 95%-BI → verwerp H₀ op 5%-niveau
H₀-waarde binnen het 95%-BI → verwerp H₀ NIET op 5%-niveau
Beide procedures geven altijd hetzelfde antwoord.
Let op: het BI gaat over de schatter, niet over de individuele data. Het interval [3.8 ; 11.0] betekent
niet dat 95% van de individuele testscores hierin valt.
Scheefheid (Skewness) en Kurtosis
Naast gemiddelde en variantie beschrijven hogere momenten de vorm van een verdeling. We werken
met de gestandaardiseerde variabele zodat de momenten dimensieloos zijn (gemiddelde 0, variantie
1).
Skewness = E(Z³): meet asymmetrie
Het derde moment bewaart het teken van afwijkingen, waardoor het gevoelig is voor de richting van
de staart:
o Skewness = 0: symmetrische verdeling (bv. normaalverdeling)
o Skewness > 0: lange rechterstaart (rechtsscheef) (bv. Inkomens)
o Skewness < 0: lange linkerstaart (linksscheef)
Linksscheef = negatieve skewness = lange LINKERSTAART.
→ De naam verwijst naar de kant van de staart, niet van de piek.
,Kurtosis = E(Z⁴): meet massa in de staarten
Het vierde moment bestraft extreme waarden extra zwaar (vierde macht).
De standaardnormaalverdeling heeft kurtosis = 3 als referentie.
Kurtosis > 3 betekent zwaardere staarten dan normaal (leptokurtisch): meer kans op extreme
observaties.
CONCLUSIE
N(0,1) heeft skewness = 0 en kurtosis = 3.
→ Elke afwijking hiervan beschrijft hoe de verdeling van de normaalverdeling verschilt.
Correlatie
De correlatiecoëfficiënt meet de sterkte van het lineaire verband tussen X en Z:
corr(X, Z) = Cov(X,Z) / (σ_X · σ_Z) ∈ [−1, +1]
De covariantie in de teller is niet direct interpreteerbaar omdat ze afhangt van de meeteenheden.
Door te delen door het product van de standaarddeviaties wordt ze dimensieloos en genormaliseerd
tot [−1, +1].
o Corr(X,Z) = 1: perfecte positieve lineaire associatie
o Corr(X,Z) = -1: perfecte negatieve lineaire associatie
o Corr(X,Z) = 0: geen lineaire associatie
,MERK OP: Correlatie gebruik je in rapportering; covariantie verschijnt in berekeningen (bv. de OLS-
schatter in regressie).
corr = 0 betekent NIET dat er geen verband is, enkel dat er geen LINEAIR verband is.
Een kwadratisch verband geeft corr ≈ 0, ook al is het verband deterministisch.
→ Altijd eerst de scatterplot bekijken.
Conditionele verdelingen
De conditionele verdeling van Y gegeven X = x beschrijft hoe Y eruitziet binnen de deelgroep
waarvoor X = x. De twee centrale grootheden zijn:
o Conditioneel gemiddelde: E(Y | X = x) het gemiddelde van Y in deelgroep X = x
o Conditionele variantie: Var(Y | X = x) de spreiding van Y in deelgroep X = x
Voorbeeld: Y = maandloon, X = ervaringsjaren.
E(Y | X=3) = 2200 < E(Y | X=15) = 3200.
Tegelijk: Var(Y | X=3) < Var(Y | X=15), want na 15 jaar zijn loopbanen sterker uiteengelopen,
sommigen groeien sterk door, anderen niet. Dit maakt de conditionele spreiding bij meer ervaring
groter.
De steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde
Stel dat Y₁, Y₂, …, Yₙ een willekeurige steekproef is. Het steekproefgemiddelde:
Ȳ = (1/n) · Σᵢ Yᵢ
is zelf een willekeurige variabele: bij een andere steekproef krijg je een andere waarde.
De verdeling van Ȳ over alle mogelijke steekproeven heet de steekproefverdeling (sampling
distribution). De eigenschappen ervan bepalen de kwaliteit van onze statistische inferentie.
E(Ȳ) = μY → Ȳ is een zuivere (unbiased) schatter van μy
Var(Ȳ) = σ²Y / n → groter n = kleinere variabiliteit van Ȳ, voor n naar oneindig gaat Var(Ȳ) naar 0
Consistentie: omdat E(Ȳ) = μY (onvertekend) EN Var(Ȳ) → 0 als n → ∞, convergeert Ȳ in kans naar μY.
Ȳ is dus een consistente schatter van μY.
Eigenschap van consistentie: SE(Ȳ) → 0 als n → ∞
,Std. Dev. (s) = spreiding van de INDIVIDUELE observaties rond het steekproefgemiddelde
Std. Err. (SE) = s/√n = spreiding van HET STEEKPROEFGEMIDDELDE zelf als schatter van μY
De Centrale Limietstelling (CLT)
Voor kleine steekproeven hangt de verdeling van Ȳ af van de verdeling van Y. Voor grote
steekproeven geldt echter een fundamenteel resultaat, ongeacht de verdeling van Y:
(Ȳ − μY) / SE(Ȳ) → N(0,1) voor n → ∞
Ȳ heeft dus bij benadering een normaalverdeling met gemiddelde μY en variantie σ²Y/n, voor grote n.
Dit is een asymptotisch resultaat, geen exacte eigenschap.
Als vuistregel: n ≥ 30 is vaak voldoende, n ≥ 100 is comfortabel.
CONCLUSIE
De CLT is de theoretische basis van nagenoeg alle hypothesetoetsen in deze cursus. Dankzij de CLT
mogen we voor grote n altijd de kritische waarden van N(0,1) gebruiken (1.96 voor 5%) ongeacht
de verdeling van Y zelf.
Kleinste kwadraten (OLS): het steekproefgemiddelde als optimalisatie
Het steekproefgemiddelde Ȳ is niet enkel de meest intuïtieve schatter voor μY, het is ook de oplossing
van een formeel optimalisatieprobleem.
Minm Σᵢ (Yᵢ − m)² minimaliseer de som van gekwadrateerde afwijkingen
Bewijs
Neem de afgeleide naar m en stel gelijk aan nul (eerste-ordeconditie):
,Ȳ minimaliseert uniek de som van de gekwadrateerde afwijkingen.
In hoofdstuk 4 veralgemenen we dit principe: OLS-regressie zoekt de rechte lijn door de data die de
som van de gekwadrateerde residuen minimaliseert.
De p-waarde
De p-waarde is de kans om, als H₀ waar zou zijn, een teststatistiek te observeren die minstens even
extreem is als de berekende waarde: Hoe kleiner de p-waarde, hoe meer bewijs tégen H₀.
Beslissingsregel: als p < α, verwerp H₀.
Gangbare drempelwaarden: α = 0.05 (significant), α = 0.01 (sterk significant).
Twee nuances:
1. Communiceer de p-waarde zelf, niet enkel 'significant/niet significant'.
Een p-waarde van 0.049 en 0.051 zijn nagenoeg identiek, maar leiden tot tegengestelde binaire
beslissingen. De p-waarde is continu, behandel ze als getal.
2. Statistisch significant ≠ economisch relevant.
Bij een grote steekproef kan een minuscule, betekenisloze afwijking van H₀ statistisch significant zijn.
Omgekeerd kan een economisch belangrijk effect statistisch niet significant zijn bij een kleine
steekproef. Statistische significantie is noodzakelijk maar niet voldoende voor beleidsrelevantie.
, STATA-output I: toets op het populatiegemiddelde van STR
Vraag: is de gemiddelde STR in Californië significant verschillend van 20?
. sum str
. sum str
Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+------------------------------------------------------
str | 420 19.64043 1.891812 14 25.8
Interpretatie van STATA-ouput
Obs = 420: steekproefomvang
Mean = 19.64: steekproefgemiddelde Ȳ, beste schatting van μY
Std. Dev. = 1.89: spreiding van de individuele STR-waarden (niet van de schatter!)
SE(Ȳ) staat hier niet, maar: SE = 1.891/√420 ≈ 0.0923
. ttest str==20
. ttest str==20
One-sample t test
Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]
----------+----------------------------------------------------------------
str | 420 19.64043 .092311 1.891812 19.45897 19.82188
mean = mean(str) t = -3.8953
Ho: mean = 20 degrees of freedom = 419
Ha: mean < 20 Ha: mean != 20 Ha: mean > 20
Pr(T < t) = 0.0001 Pr(|T| > |t|) = 0.0001 Pr(T > t) = 0.9999
Interpretatie van STATA-ouput
De eerste twee (Mean en Std. Err.) gaan over de schatting zelf.
o Mean = 19.64 is het steekproefgemiddelde Ȳ, onze beste schatting van het
populatiegemiddelde μY.
o Std. Err. = 0.0923 is de standaardfout SE(Ȳ) = s/√n = 1.891/√420.
! Dit is iets anders dan de standaarddeviatie: de standaarddeviatie (1.89) beschrijft hoe
ver individuele STR-waarden onderling uit elkaar liggen, terwijl de standaardfout
beschrijft hoe nauwkeurig ons gemiddelde (19.64) de ware populatiewaarde benadert.
Hoe groter n, hoe kleiner de standaardfout en hoe nauwkeuriger de schatting.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval [19.46 ; 19.82] volgt rechtstreeks uit de standaardfout:
Ȳ ± 1.96 · SE = 19.64 ± 1.96 · 0.0923 = 19.64 ± 0.181.
Dit interval bevat alle plausibele waarden voor het ware populatiegemiddelde μY.
! Merk al op dat de waarde 20 hier niet in zit → dit anticipeert op de verwerping van H₀.
Prof. Dr. Christophe Croux · KU Leuven · TEW · 2025–2026
Stock & Watson, Introduction to Econometrics, 4th Global Edition
Dit document is een uitgebreide samenvatting van de cursus Econometrie voor
bedrijfseconomen, gebaseerd op de slides en hoorcolleges. De werkcolleges zijn
opgenomen in een aparte sectie achteraan in het document. Formules die op de slides
staan maar niet zijn geïntegreerd, zijn bewust weggelaten, de prof geeft aan dat formules
(op enkele na) niet van buiten geleerd hoeven te worden. Voor het examen is het vooral
belangrijk om voldoende te oefenen met Stata en de output correct te leren
interpreteren.
Conventie: de kritieke t-waarde mag steeds afgerond worden op 2 in plaats van 1,96.
,Hoofdstuk 1 – Inleiding: wat doet econometrie?
Econometrie combineert economische theorie, wiskunde en statistiek om de kwantitatieve grootte
van economische verbanden te meten. De theorie zegt ons dát variabelen samenhangen,
econometrie zegt ons hoeveel.
Kwantificeren van economische verbanden.
De kernvraag is steeds: wat is het causale effect van X op Y?
We zijn opzoek naar de contributie van X op Y, we kijken dus naar een geïsoleerd oorzakelijk effect.
Voorbeelden uit de les:
o Hoeveel stijgt de testscore als de klasgrootte daalt met één leerling?
o Hoeveel extra verdient iemand per bijkomend jaar opleiding?
o Wat is de prijselasticiteit van sigaretten?
Al die vragen vragen om een concreet getal en een oorzakelijk verband.
Observationele data versus experiment
Ideaal zou je een gerandomiseerd experiment uitvoeren: leerlingen willekeurig verdelen over grote
en kleine klassen, dezelfde test afnemen, en de gemiddelden vergelijken.
Door de randomisatie zijn andere factoren (inkomen, motivatie, …) gemiddeld gelijk over de
groepen waardoor elk gevonden verschil is dan causaal toe te schrijven aan de klasgrootte.
In de praktijk werken we bijna altijd met observationele data: data die niet het resultaat zijn van een
bewust experiment. Schooldistricten kiezen zelf hun klasgrootte, en die keuze hangt samen met
allerlei andere factoren. Dit brengt het fundamentele probleem mee:
Correlatie ≠ Causaliteit
Twee variabelen kunnen samenhangen zonder dat er een oorzakelijk verband bestaat. Een
confounder (een variabele die zowel X als Y beïnvloedt) kan een schijnverband creëren.
Voorbeeld: leerlingen die Latijn volgen, scoren beter op wiskunde. Maar Latijn veroorzaakt dat niet:
sociaaleconomische achtergrond beïnvloedt beide.
De rest van de cursus beantwoordt de vraag: hoe meten we causale effecten als we enkel
observationele data hebben?
Hoofdstukken 2 & 3 – Statistisch fundament
Voor we regressieanalyse kunnen toepassen, herhalen we de statistische bouwstenen die de rest van
de cursus ondersteunen. De rode draad is een concrete case: het effect van klasgrootte op testscores
in Californische schooldistricten.
,De empirische casus: California Test Score Data
De dataset bevat 420 Californische schooldistricten. De twee hoofdvariabelen zijn:
Y = gemiddelde testscore op districtsniveau (5de leerjaar, gestandaardiseerde testen)
X = Student-Teacher Ratio (STR) = aantal leerlingen / aantal voltijdse leerkrachten in het district
Beschrijvende statistieken
Een eerste blik op de data via univariate beschrijvende statistieken: ze beschrijven elke variabele
afzonderlijk en zeggen niets over het verband tussen STR en testscore.
Gem. Std.Dev. P10 P25 P40 P50 P75 P90
(mediaan)
STR (x) 19.6 1.9 17.3 18.6 19.3 19.7 20.9 21.9
Testscore 665.2 19.1 630.4 640.0 649.1 654.5 666.7 679.1
(y)
Percentiel vs. Kwantiel
Het verschil zit enkel in hoe je de fractie uitdrukt: als getal tussen 0 en 1 (kwantiel), als percentage
van 100 (percentiel), of als stap in een vaste opdeling (kwartiel, deciel).
P25 = eerste kwartiel, P50 = mediaan, P75 = derde kwartiel.
P40 = 19.3 voor STR betekent: 40% van de districten heeft STR < 19.3.
Relevant voor later: P75 − P60 voor testscores = 666.7 − 659.4 = 7.3 punten → dit is een
referentiepunt om economische relevantie van een verschil te beoordelen.
Scatterplot
De scatterplot toont een zwak negatief verband (de regressielijn loopt van linksboven naar
rechtsonder) met veel spreiding.
De steekproefcorrelatie = −0.23. Om dit te kwantificeren en statistisch te toetsen, vergelijken we
eerst twee groepen.
,Initiële analyse: kleine vs. grote klassen
We verdelen de districten op basis van STR < 20 versus STR ≥ 20:
Groep Gem. testscore (Ȳ) Std.Dev. (s) n
Klein (STR < 20) 657.4 19.4 238
Groot (STR ≥ 20) 650.0 17.9 182
Δ̂ = Ȳklein − Ȳgroot = 657.4 − 650.0 = 7.4 punten.
Is dit groot? Een verschil van 7.4 punten is vergelijkbaar met een sprong van het 60ste naar het 75ste
percentiel: economisch relevant genoeg om verder te onderzoeken.
Maar is het statistisch significant? We doorlopen drie stappen.
MERK OP: een statistische significante relatie wil niet altijd zeggen dat er economisch relevantie is.
a) Schatting van Δ
De schatter is simpelweg het verschil in steekproefgemiddelden:
Δ̂ = Ȳklein − Ȳgroot = 657.4 − 650.0 = 7.4
b) Hypothesetoets
We willen toetsen of het gevonden verschil significant verschilt van nul, of puur door toeval kan
verklaard worden.
H₀: Δ = 0 Hₐ: Δ ≠ 0 (tweezijdig)
We berekenen de t-statistiek: de afwijking van H₀, uitgedrukt in eenheden van de standaardfout.
Numeriek:
t = (Δ̂ - 0)/ SE = 7.4 - 0/ 1.83 ≈ 4.05
Voor grote steekproeven geldt via de Centrale Limietstelling (infra) dat de t-statistiek bij benadering
N(0,1) volgt.
Bij een tweezijdige toets op α = 0.05 is de kritische waarde ±1.96 (afgerond 2).
→ Omdat |4.05| > 1.96 verwerpen we H₀.
,c) Betrouwbaarheidsinterval voor Δ
Een 95%-betrouwbaarheidsinterval geeft alle plausibele waarden voor het ware populatieverschil:
Numeriek:
7.4 ± 1.96 · 1.83 = 7.4 ± 3.59 = [3.8 ; 11.0]
De waarde 0 valt buiten dit interval → equivalent aan het verwerpen van H₀.
De equivalentie tussen BI en hypothesetoets is een kernprincipe:
H₀-waarde buiten het 95%-BI → verwerp H₀ op 5%-niveau
H₀-waarde binnen het 95%-BI → verwerp H₀ NIET op 5%-niveau
Beide procedures geven altijd hetzelfde antwoord.
Let op: het BI gaat over de schatter, niet over de individuele data. Het interval [3.8 ; 11.0] betekent
niet dat 95% van de individuele testscores hierin valt.
Scheefheid (Skewness) en Kurtosis
Naast gemiddelde en variantie beschrijven hogere momenten de vorm van een verdeling. We werken
met de gestandaardiseerde variabele zodat de momenten dimensieloos zijn (gemiddelde 0, variantie
1).
Skewness = E(Z³): meet asymmetrie
Het derde moment bewaart het teken van afwijkingen, waardoor het gevoelig is voor de richting van
de staart:
o Skewness = 0: symmetrische verdeling (bv. normaalverdeling)
o Skewness > 0: lange rechterstaart (rechtsscheef) (bv. Inkomens)
o Skewness < 0: lange linkerstaart (linksscheef)
Linksscheef = negatieve skewness = lange LINKERSTAART.
→ De naam verwijst naar de kant van de staart, niet van de piek.
,Kurtosis = E(Z⁴): meet massa in de staarten
Het vierde moment bestraft extreme waarden extra zwaar (vierde macht).
De standaardnormaalverdeling heeft kurtosis = 3 als referentie.
Kurtosis > 3 betekent zwaardere staarten dan normaal (leptokurtisch): meer kans op extreme
observaties.
CONCLUSIE
N(0,1) heeft skewness = 0 en kurtosis = 3.
→ Elke afwijking hiervan beschrijft hoe de verdeling van de normaalverdeling verschilt.
Correlatie
De correlatiecoëfficiënt meet de sterkte van het lineaire verband tussen X en Z:
corr(X, Z) = Cov(X,Z) / (σ_X · σ_Z) ∈ [−1, +1]
De covariantie in de teller is niet direct interpreteerbaar omdat ze afhangt van de meeteenheden.
Door te delen door het product van de standaarddeviaties wordt ze dimensieloos en genormaliseerd
tot [−1, +1].
o Corr(X,Z) = 1: perfecte positieve lineaire associatie
o Corr(X,Z) = -1: perfecte negatieve lineaire associatie
o Corr(X,Z) = 0: geen lineaire associatie
,MERK OP: Correlatie gebruik je in rapportering; covariantie verschijnt in berekeningen (bv. de OLS-
schatter in regressie).
corr = 0 betekent NIET dat er geen verband is, enkel dat er geen LINEAIR verband is.
Een kwadratisch verband geeft corr ≈ 0, ook al is het verband deterministisch.
→ Altijd eerst de scatterplot bekijken.
Conditionele verdelingen
De conditionele verdeling van Y gegeven X = x beschrijft hoe Y eruitziet binnen de deelgroep
waarvoor X = x. De twee centrale grootheden zijn:
o Conditioneel gemiddelde: E(Y | X = x) het gemiddelde van Y in deelgroep X = x
o Conditionele variantie: Var(Y | X = x) de spreiding van Y in deelgroep X = x
Voorbeeld: Y = maandloon, X = ervaringsjaren.
E(Y | X=3) = 2200 < E(Y | X=15) = 3200.
Tegelijk: Var(Y | X=3) < Var(Y | X=15), want na 15 jaar zijn loopbanen sterker uiteengelopen,
sommigen groeien sterk door, anderen niet. Dit maakt de conditionele spreiding bij meer ervaring
groter.
De steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde
Stel dat Y₁, Y₂, …, Yₙ een willekeurige steekproef is. Het steekproefgemiddelde:
Ȳ = (1/n) · Σᵢ Yᵢ
is zelf een willekeurige variabele: bij een andere steekproef krijg je een andere waarde.
De verdeling van Ȳ over alle mogelijke steekproeven heet de steekproefverdeling (sampling
distribution). De eigenschappen ervan bepalen de kwaliteit van onze statistische inferentie.
E(Ȳ) = μY → Ȳ is een zuivere (unbiased) schatter van μy
Var(Ȳ) = σ²Y / n → groter n = kleinere variabiliteit van Ȳ, voor n naar oneindig gaat Var(Ȳ) naar 0
Consistentie: omdat E(Ȳ) = μY (onvertekend) EN Var(Ȳ) → 0 als n → ∞, convergeert Ȳ in kans naar μY.
Ȳ is dus een consistente schatter van μY.
Eigenschap van consistentie: SE(Ȳ) → 0 als n → ∞
,Std. Dev. (s) = spreiding van de INDIVIDUELE observaties rond het steekproefgemiddelde
Std. Err. (SE) = s/√n = spreiding van HET STEEKPROEFGEMIDDELDE zelf als schatter van μY
De Centrale Limietstelling (CLT)
Voor kleine steekproeven hangt de verdeling van Ȳ af van de verdeling van Y. Voor grote
steekproeven geldt echter een fundamenteel resultaat, ongeacht de verdeling van Y:
(Ȳ − μY) / SE(Ȳ) → N(0,1) voor n → ∞
Ȳ heeft dus bij benadering een normaalverdeling met gemiddelde μY en variantie σ²Y/n, voor grote n.
Dit is een asymptotisch resultaat, geen exacte eigenschap.
Als vuistregel: n ≥ 30 is vaak voldoende, n ≥ 100 is comfortabel.
CONCLUSIE
De CLT is de theoretische basis van nagenoeg alle hypothesetoetsen in deze cursus. Dankzij de CLT
mogen we voor grote n altijd de kritische waarden van N(0,1) gebruiken (1.96 voor 5%) ongeacht
de verdeling van Y zelf.
Kleinste kwadraten (OLS): het steekproefgemiddelde als optimalisatie
Het steekproefgemiddelde Ȳ is niet enkel de meest intuïtieve schatter voor μY, het is ook de oplossing
van een formeel optimalisatieprobleem.
Minm Σᵢ (Yᵢ − m)² minimaliseer de som van gekwadrateerde afwijkingen
Bewijs
Neem de afgeleide naar m en stel gelijk aan nul (eerste-ordeconditie):
,Ȳ minimaliseert uniek de som van de gekwadrateerde afwijkingen.
In hoofdstuk 4 veralgemenen we dit principe: OLS-regressie zoekt de rechte lijn door de data die de
som van de gekwadrateerde residuen minimaliseert.
De p-waarde
De p-waarde is de kans om, als H₀ waar zou zijn, een teststatistiek te observeren die minstens even
extreem is als de berekende waarde: Hoe kleiner de p-waarde, hoe meer bewijs tégen H₀.
Beslissingsregel: als p < α, verwerp H₀.
Gangbare drempelwaarden: α = 0.05 (significant), α = 0.01 (sterk significant).
Twee nuances:
1. Communiceer de p-waarde zelf, niet enkel 'significant/niet significant'.
Een p-waarde van 0.049 en 0.051 zijn nagenoeg identiek, maar leiden tot tegengestelde binaire
beslissingen. De p-waarde is continu, behandel ze als getal.
2. Statistisch significant ≠ economisch relevant.
Bij een grote steekproef kan een minuscule, betekenisloze afwijking van H₀ statistisch significant zijn.
Omgekeerd kan een economisch belangrijk effect statistisch niet significant zijn bij een kleine
steekproef. Statistische significantie is noodzakelijk maar niet voldoende voor beleidsrelevantie.
, STATA-output I: toets op het populatiegemiddelde van STR
Vraag: is de gemiddelde STR in Californië significant verschillend van 20?
. sum str
. sum str
Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max
-------------+------------------------------------------------------
str | 420 19.64043 1.891812 14 25.8
Interpretatie van STATA-ouput
Obs = 420: steekproefomvang
Mean = 19.64: steekproefgemiddelde Ȳ, beste schatting van μY
Std. Dev. = 1.89: spreiding van de individuele STR-waarden (niet van de schatter!)
SE(Ȳ) staat hier niet, maar: SE = 1.891/√420 ≈ 0.0923
. ttest str==20
. ttest str==20
One-sample t test
Variable | Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval]
----------+----------------------------------------------------------------
str | 420 19.64043 .092311 1.891812 19.45897 19.82188
mean = mean(str) t = -3.8953
Ho: mean = 20 degrees of freedom = 419
Ha: mean < 20 Ha: mean != 20 Ha: mean > 20
Pr(T < t) = 0.0001 Pr(|T| > |t|) = 0.0001 Pr(T > t) = 0.9999
Interpretatie van STATA-ouput
De eerste twee (Mean en Std. Err.) gaan over de schatting zelf.
o Mean = 19.64 is het steekproefgemiddelde Ȳ, onze beste schatting van het
populatiegemiddelde μY.
o Std. Err. = 0.0923 is de standaardfout SE(Ȳ) = s/√n = 1.891/√420.
! Dit is iets anders dan de standaarddeviatie: de standaarddeviatie (1.89) beschrijft hoe
ver individuele STR-waarden onderling uit elkaar liggen, terwijl de standaardfout
beschrijft hoe nauwkeurig ons gemiddelde (19.64) de ware populatiewaarde benadert.
Hoe groter n, hoe kleiner de standaardfout en hoe nauwkeuriger de schatting.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval [19.46 ; 19.82] volgt rechtstreeks uit de standaardfout:
Ȳ ± 1.96 · SE = 19.64 ± 1.96 · 0.0923 = 19.64 ± 0.181.
Dit interval bevat alle plausibele waarden voor het ware populatiegemiddelde μY.
! Merk al op dat de waarde 20 hier niet in zit → dit anticipeert op de verwerping van H₀.
