Samenvatting H4 Drievoudige integralen
Wiskundige Modellen en Systemen 2 praktijkgerichte oefensamenvatting
Deze samenvatting is gericht op het oplossen van oefeningen: per onderwerp vind je wanneer je
een methode gebruikt, een kort stappenplan, de formules met de betekenis van elk symbool, en de
typische valkuilen.
1. Basis: wat is een drievoudige integraal?
RRR
Een drievoudige integraal
R f (x, y, z) dV telt oneindig veel kleine bijdragen f (x, y, z) dV op over
een ruimtelijk gebied R.
R = het integratiegebied in de xyz -ruimte.
dV = het volume-element: dV = dx dy dz (in cartesische coördinaten).
f (x, y, z) = de te integreren functie.
Meetkundige betekenis (handig om oefeningen te interpreteren):
Als... dan stelt RRR Rf dV voor...
f (x, y, z) = 1 op heel R hetvolume van het gebied R
f (x, y, z) = ρ(x, y, z) (dichtheid) demassa (of lading) van het lichaam R
Verschil met H3: de gra
ek van f (x, y, z) leeft in 4D en kun je niet tekenen. Een drievoudige
integraal stel je dus niet voor als volume onder een gra
ek (zoals de dubbelintegraal in 3D).
Enkel bij f =1 krijg je een volume.
2. Rekeneigenschappen (om oefeningen te vereenvoudigen)
1. Lineariteit splits sommen en haal constanten (k ∈ R) buiten:
ZZZ ZZZ ZZZ
k f (x, y, z) + g(x, y, z) dV = k f dV + g dV
R R R
2. Opsplitsen van het gebied als R = R1 ∪ R2 met R1 ∩ R2 = ∅:
ZZZ ZZZ ZZZ
f dV = f dV + f dV
R R1 R2
Wanneer nuttig: gebruik eigenschap 2 telkens een gebied niet enkelvoudig is: hak het in stukken
die elk wél enkelvoudig zijn.
3. Basismethode: berekenen op een enkelvoudig gebied (Fubini)
Wanneer gebruiken:
een enkelvoudige integraal gevolgd door
dit is je standaardaanpak voor elke drievoudige integraal in cartesische
een dubbelintegraal
coördinaten. Je herleidt de drievoudige integraal tot
.
1
, 3.1 Eerst checken: is het gebied enkelvoudig (normaal)?
R enkelvoudig t.o.v. x en y
is als je x en y vasthoudt, z laat variëren, en de rand van R dan ten
hoogste twee keer doorsneden wordt (één in-, één uitgang).
Enkelvoudig t.o.v. x, y : het gebied ligt tussen een ondervlak z = f1 (x, y) en een bovenvlak
z = f (x, y)2 . (Prik een lijn // de z -as: max. 2 snijpunten.)
Enkelvoudig t.o.v. x, z : tussen y = h1 (x, z) en y = h2 (x, z).
Enkelvoudig t.o.v. y, z : tussen x = g1 (y, z) en x = g2 (y, z).
Niet enkelvoudig (bv. een U-vorm met 4 snijpunten): splits eerst op in enkelvoudige deel-
gebieden (2, eigenschap 2).
3.2 De formules van Fubini
Geval a R enkelvoudig t.o.v. x en y (integreer eerst naar z, dan dubbelintegraal over de
projectie Rxy op het xy -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ f2 (x,y)
f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dA
R Rxy f1 (x,y)
Geval b R enkelvoudig t.o.v. x en z (eerst naar y, projectie Rxz op het xz -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ h2 (x,z)
f dV = f (x, y, z) dy dA
R Rxz h1 (x,z)
Geval c R enkelvoudig t.o.v. y en z (eerst naar x, projectie Ryz op het yz -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ g2 (y,z)
f dV = f (x, y, z) dx dA
R Ryz g1 (y,z)
Betekenis van de symbolen:
f ,f h ,h
1 g ,g
2 / 1 begrenzende oppervlakken
2 / 1 2 = de twee (binnenste grenzen, functies).
R ,R ,Rxy projectie R
xz yz = de van op het overeenkomstige coördinaatvlak; hierover bereken
Geval d R enkelvoudig t.o.v. meerdere combinaties
je de dubbelintegraal (opnieuw via Fubini uit H3).
(xy én xz , enz.): je mag vrij
kiezen naar welke variabele je eerst integreert. Kies de volgorde waarbij de grenzen het eenvoudigst
Geval e R is niet enkelvoudig:
zijn.
splits op in enkelvoudige deelgebieden (R1 ∪ R2 = R,
R1 ∩ R2 = ∅) en sommeer.
3.3 Stappenplan
1. Teken (of beschrijf ) het ruimtelijk gebied R en bepaal de begrenzende oppervlakken.
2. Bepaal t.o.v. welke variabelen R enkelvoudig is ⇒ kies welke variabele je eerst integreert.
3. Bepaal de binnenste grenzen (de twee oppervlakken) en de projectie waarover je de dubbelin-
tegraal neemt.
4. Bereken de binnenste (enkelvoudige) integraal; de andere variabelen zijn daarbij constant.
5. Bereken de overblijvende dubbelintegraal over de projectie (Fubini, H3).
2
Wiskundige Modellen en Systemen 2 praktijkgerichte oefensamenvatting
Deze samenvatting is gericht op het oplossen van oefeningen: per onderwerp vind je wanneer je
een methode gebruikt, een kort stappenplan, de formules met de betekenis van elk symbool, en de
typische valkuilen.
1. Basis: wat is een drievoudige integraal?
RRR
Een drievoudige integraal
R f (x, y, z) dV telt oneindig veel kleine bijdragen f (x, y, z) dV op over
een ruimtelijk gebied R.
R = het integratiegebied in de xyz -ruimte.
dV = het volume-element: dV = dx dy dz (in cartesische coördinaten).
f (x, y, z) = de te integreren functie.
Meetkundige betekenis (handig om oefeningen te interpreteren):
Als... dan stelt RRR Rf dV voor...
f (x, y, z) = 1 op heel R hetvolume van het gebied R
f (x, y, z) = ρ(x, y, z) (dichtheid) demassa (of lading) van het lichaam R
Verschil met H3: de gra
ek van f (x, y, z) leeft in 4D en kun je niet tekenen. Een drievoudige
integraal stel je dus niet voor als volume onder een gra
ek (zoals de dubbelintegraal in 3D).
Enkel bij f =1 krijg je een volume.
2. Rekeneigenschappen (om oefeningen te vereenvoudigen)
1. Lineariteit splits sommen en haal constanten (k ∈ R) buiten:
ZZZ ZZZ ZZZ
k f (x, y, z) + g(x, y, z) dV = k f dV + g dV
R R R
2. Opsplitsen van het gebied als R = R1 ∪ R2 met R1 ∩ R2 = ∅:
ZZZ ZZZ ZZZ
f dV = f dV + f dV
R R1 R2
Wanneer nuttig: gebruik eigenschap 2 telkens een gebied niet enkelvoudig is: hak het in stukken
die elk wél enkelvoudig zijn.
3. Basismethode: berekenen op een enkelvoudig gebied (Fubini)
Wanneer gebruiken:
een enkelvoudige integraal gevolgd door
dit is je standaardaanpak voor elke drievoudige integraal in cartesische
een dubbelintegraal
coördinaten. Je herleidt de drievoudige integraal tot
.
1
, 3.1 Eerst checken: is het gebied enkelvoudig (normaal)?
R enkelvoudig t.o.v. x en y
is als je x en y vasthoudt, z laat variëren, en de rand van R dan ten
hoogste twee keer doorsneden wordt (één in-, één uitgang).
Enkelvoudig t.o.v. x, y : het gebied ligt tussen een ondervlak z = f1 (x, y) en een bovenvlak
z = f (x, y)2 . (Prik een lijn // de z -as: max. 2 snijpunten.)
Enkelvoudig t.o.v. x, z : tussen y = h1 (x, z) en y = h2 (x, z).
Enkelvoudig t.o.v. y, z : tussen x = g1 (y, z) en x = g2 (y, z).
Niet enkelvoudig (bv. een U-vorm met 4 snijpunten): splits eerst op in enkelvoudige deel-
gebieden (2, eigenschap 2).
3.2 De formules van Fubini
Geval a R enkelvoudig t.o.v. x en y (integreer eerst naar z, dan dubbelintegraal over de
projectie Rxy op het xy -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ f2 (x,y)
f (x, y, z) dV = f (x, y, z) dz dA
R Rxy f1 (x,y)
Geval b R enkelvoudig t.o.v. x en z (eerst naar y, projectie Rxz op het xz -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ h2 (x,z)
f dV = f (x, y, z) dy dA
R Rxz h1 (x,z)
Geval c R enkelvoudig t.o.v. y en z (eerst naar x, projectie Ryz op het yz -vlak):
"Z #
ZZZ ZZ g2 (y,z)
f dV = f (x, y, z) dx dA
R Ryz g1 (y,z)
Betekenis van de symbolen:
f ,f h ,h
1 g ,g
2 / 1 begrenzende oppervlakken
2 / 1 2 = de twee (binnenste grenzen, functies).
R ,R ,Rxy projectie R
xz yz = de van op het overeenkomstige coördinaatvlak; hierover bereken
Geval d R enkelvoudig t.o.v. meerdere combinaties
je de dubbelintegraal (opnieuw via Fubini uit H3).
(xy én xz , enz.): je mag vrij
kiezen naar welke variabele je eerst integreert. Kies de volgorde waarbij de grenzen het eenvoudigst
Geval e R is niet enkelvoudig:
zijn.
splits op in enkelvoudige deelgebieden (R1 ∪ R2 = R,
R1 ∩ R2 = ∅) en sommeer.
3.3 Stappenplan
1. Teken (of beschrijf ) het ruimtelijk gebied R en bepaal de begrenzende oppervlakken.
2. Bepaal t.o.v. welke variabelen R enkelvoudig is ⇒ kies welke variabele je eerst integreert.
3. Bepaal de binnenste grenzen (de twee oppervlakken) en de projectie waarover je de dubbelin-
tegraal neemt.
4. Bereken de binnenste (enkelvoudige) integraal; de andere variabelen zijn daarbij constant.
5. Bereken de overblijvende dubbelintegraal over de projectie (Fubini, H3).
2
