WCO3 beschrijvende statistiek – de normale verdeling en de vorm van een
verdeling
Thema 7 – de normale verdeling
7.1) Wat is een normale verdeling?
Een normale verdeling ontstaat wanneer een kenmerk
beïnvloed wordt door veel versch toevalsfactoren die onafh v
elkaar werken en samen een effect hebben.
De verdeling heeft een klokvormige grafiek waarbij de
meeste waarden rond het gem. liggen en extreme waarden
minder vaak voorkomen.
➔ Gausscurves komen voor bij psychologische, biologische en maatsch kenmerken, maar niet elke
variabele volgt automatisch een normale verdeling.
• Het gem. ligt in het midden vd verdeling.
• De standaarddeviatie geeft aan hoe sterk de waarden rond het gem. verspreid zijn.
• Hoe verder een waarde vh gem. ligt, hoe kleiner de kans dat deze voorkomt.
Steekproef Populatie
Gemiddelde x̄ μ
Standaarddeviatie s σ
7.2) Wat zijn de eigenschappen van een normale verdeling?
1) Een normale verdeling heeft een klokvormige en symmetrische grafiek.
De meeste waarden liggen geconcentreerd rond het gem. μ. In het midden vd verdeling bevindt zich 1
maximum, waardoor het gem., de mediaan en modus samenvallen.
Bij een symmetrische normale verdeling ligt 50% vd observaties onder het gem. (μ) en 50% vd
observaties boven het gem.
De grafiek bevat 2 buigpunten: μ − 1σ en μ + 1σ. Tussen deze 2 buigpunten bevindt zich ong. 68% v
alle waarden. Een normale verdeling wordt vaak genoteerd als:
𝑿 ∼ 𝑵(𝝁, 𝝈)
2) Er bestaat een vast verband tussen de afstand tot het gem. en het % observaties:
• Ong 68% van de waarden ligt tussen μ − 1σ en μ + 1σ
• Ong 95% ligt tussen μ − 2σ en μ + 2σ
• Ong 99% ligt tussen μ − 3σ en μ + 3σ
3) De normale verdeling kan enkel toegepast worden op continue variabelen.
Bij zulke variabelen bestaan er oneindig veel mogelijke tussenwaarden. Daardoor is de kans om exact
1 specifieke waarde te observeren vrijwel gelijk aan 0. Hierdoor betekenen de symbolen ≤ en < in de
praktijk hetzelfde, net zoals ≥ en >.
15
, 4) De normaalverdeling verandert op basis van σ en μ.
• Hoe groter de spreiding (versch σ), hoe meer de verdeling uitgerekt zal worden.
• Hoe groter het gem., hoe meer de verdeling zich naar rechts zal verschuiven. Hoe kleiner het
gem., hoe meer de verdeling zich naar links zal situeren.
7.3) Een speciale normaalverdeling: de standaardnormale verdeling
De standaardnormaalverdeling ontstaat wanneer alle scores v een normaal verdeelde variabele worden
gestandaardiseerd tot Z-scores. Dit gebeurt door v elke score het gem. af te trekken en het resultaat
te delen door de standaarddeviatie.
Een Z-score geeft aan hoeveel standaarddeviaties een score verwijderd is vh gemiddelde:
• Neg. Z-score ligt links vh gem.
• Pos. Z-score ligt rechts vh gem.
De standaardnormaalverdeling heeft altijd dezelfde kenmerken: μ = 0 en σ = 1.
De notatie hiervan is:
𝑍 ∼ 𝑁(0,1)
In een standaardnormaalverdeling bestaat er een vaste relatie tussen een bepaalde Z-score en de kans
dat observaties kleiner, groter of gelijk zijn aan deze Z-score.
➔ Daardoor kunnen kansen en proporties eenvoudig berekend worden met een Z-tabel.
Opgelet: wanneer de oorspronkelijke variabele niet normaal verdeeld is, zullen de Z-scores ook geen
standaardnormale verdeling vormen.
7.3.1) Hoe vind je de proportie v uitslagen die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan een bepaalde
Z-score?
Bij dit type vraag zoeken we welk % vd observaties kleiner is dan of gelijk is aan een bepaalde Z-
score. Hiervoor gebruik je de tabel met positieve Z-scores. (p305-306)
Vb: bepaal de kans dat een Z-score kleiner is dan of gelijk is aan 1: 𝑷(𝒁 ≤ 𝟏)
In de Z-tabel:
1. Zoek verticaal naar 1,0
2. Zoek horizontaal naar 0,00
3. Lees het kruispunt af
Dit geeft: 𝑃(𝑍 ≤ 1) = 0.8413
➔ Ong. 84,13% v alle observaties = kleiner dan of gelijk aan een Z-score van 1.
7.3.2) Hoe vind je de proportie van uitslagen die groter zijn dan of gelijk zijn aan een bepaalde
Z-score?
We zoeken welk % vd observaties groter is dan / gelijk is aan een bepaalde Z-score. Deze waarde lees
je niet rechtstreeks af uit de Z-tabel, omdat de tabel enkel kansen links van de Z-score weergeeft.
Vb: bepaal de kans dat een Z-score groter is dan of gelijk is aan 1,50. We zoeken dus: 𝑷(𝒁 ≥ 𝟏. 𝟓)
1. Zoek in de Z-tabel de waarde voor Z = 1,50
2. Lees af: P(Z ≤ 1,50) = 0,9332
3. Trek deze waarde af van 1
16
verdeling
Thema 7 – de normale verdeling
7.1) Wat is een normale verdeling?
Een normale verdeling ontstaat wanneer een kenmerk
beïnvloed wordt door veel versch toevalsfactoren die onafh v
elkaar werken en samen een effect hebben.
De verdeling heeft een klokvormige grafiek waarbij de
meeste waarden rond het gem. liggen en extreme waarden
minder vaak voorkomen.
➔ Gausscurves komen voor bij psychologische, biologische en maatsch kenmerken, maar niet elke
variabele volgt automatisch een normale verdeling.
• Het gem. ligt in het midden vd verdeling.
• De standaarddeviatie geeft aan hoe sterk de waarden rond het gem. verspreid zijn.
• Hoe verder een waarde vh gem. ligt, hoe kleiner de kans dat deze voorkomt.
Steekproef Populatie
Gemiddelde x̄ μ
Standaarddeviatie s σ
7.2) Wat zijn de eigenschappen van een normale verdeling?
1) Een normale verdeling heeft een klokvormige en symmetrische grafiek.
De meeste waarden liggen geconcentreerd rond het gem. μ. In het midden vd verdeling bevindt zich 1
maximum, waardoor het gem., de mediaan en modus samenvallen.
Bij een symmetrische normale verdeling ligt 50% vd observaties onder het gem. (μ) en 50% vd
observaties boven het gem.
De grafiek bevat 2 buigpunten: μ − 1σ en μ + 1σ. Tussen deze 2 buigpunten bevindt zich ong. 68% v
alle waarden. Een normale verdeling wordt vaak genoteerd als:
𝑿 ∼ 𝑵(𝝁, 𝝈)
2) Er bestaat een vast verband tussen de afstand tot het gem. en het % observaties:
• Ong 68% van de waarden ligt tussen μ − 1σ en μ + 1σ
• Ong 95% ligt tussen μ − 2σ en μ + 2σ
• Ong 99% ligt tussen μ − 3σ en μ + 3σ
3) De normale verdeling kan enkel toegepast worden op continue variabelen.
Bij zulke variabelen bestaan er oneindig veel mogelijke tussenwaarden. Daardoor is de kans om exact
1 specifieke waarde te observeren vrijwel gelijk aan 0. Hierdoor betekenen de symbolen ≤ en < in de
praktijk hetzelfde, net zoals ≥ en >.
15
, 4) De normaalverdeling verandert op basis van σ en μ.
• Hoe groter de spreiding (versch σ), hoe meer de verdeling uitgerekt zal worden.
• Hoe groter het gem., hoe meer de verdeling zich naar rechts zal verschuiven. Hoe kleiner het
gem., hoe meer de verdeling zich naar links zal situeren.
7.3) Een speciale normaalverdeling: de standaardnormale verdeling
De standaardnormaalverdeling ontstaat wanneer alle scores v een normaal verdeelde variabele worden
gestandaardiseerd tot Z-scores. Dit gebeurt door v elke score het gem. af te trekken en het resultaat
te delen door de standaarddeviatie.
Een Z-score geeft aan hoeveel standaarddeviaties een score verwijderd is vh gemiddelde:
• Neg. Z-score ligt links vh gem.
• Pos. Z-score ligt rechts vh gem.
De standaardnormaalverdeling heeft altijd dezelfde kenmerken: μ = 0 en σ = 1.
De notatie hiervan is:
𝑍 ∼ 𝑁(0,1)
In een standaardnormaalverdeling bestaat er een vaste relatie tussen een bepaalde Z-score en de kans
dat observaties kleiner, groter of gelijk zijn aan deze Z-score.
➔ Daardoor kunnen kansen en proporties eenvoudig berekend worden met een Z-tabel.
Opgelet: wanneer de oorspronkelijke variabele niet normaal verdeeld is, zullen de Z-scores ook geen
standaardnormale verdeling vormen.
7.3.1) Hoe vind je de proportie v uitslagen die kleiner zijn dan of gelijk zijn aan een bepaalde
Z-score?
Bij dit type vraag zoeken we welk % vd observaties kleiner is dan of gelijk is aan een bepaalde Z-
score. Hiervoor gebruik je de tabel met positieve Z-scores. (p305-306)
Vb: bepaal de kans dat een Z-score kleiner is dan of gelijk is aan 1: 𝑷(𝒁 ≤ 𝟏)
In de Z-tabel:
1. Zoek verticaal naar 1,0
2. Zoek horizontaal naar 0,00
3. Lees het kruispunt af
Dit geeft: 𝑃(𝑍 ≤ 1) = 0.8413
➔ Ong. 84,13% v alle observaties = kleiner dan of gelijk aan een Z-score van 1.
7.3.2) Hoe vind je de proportie van uitslagen die groter zijn dan of gelijk zijn aan een bepaalde
Z-score?
We zoeken welk % vd observaties groter is dan / gelijk is aan een bepaalde Z-score. Deze waarde lees
je niet rechtstreeks af uit de Z-tabel, omdat de tabel enkel kansen links van de Z-score weergeeft.
Vb: bepaal de kans dat een Z-score groter is dan of gelijk is aan 1,50. We zoeken dus: 𝑷(𝒁 ≥ 𝟏. 𝟓)
1. Zoek in de Z-tabel de waarde voor Z = 1,50
2. Lees af: P(Z ≤ 1,50) = 0,9332
3. Trek deze waarde af van 1
16
