Hoofdstuk 1 - Taylor- en MacLaurinbenaderingen
1.1. Functies van 1 veranderlijke
1.1.1. MacLaurinontwikkeling
Eigenschap 1.1 - MacLaurinontwikkeling
Als alle afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = 0, dan geldt
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎)
f(x) = f(0) + f’(0) x + x² + x³ + … + xn + …
𝟐 𝟔 𝒏!
OF
∞
𝒇(𝒌) (𝟎)
f(x) = ∑ 𝒙𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
voor x in de omgeving van 0.
De oneindige som in het rechterlid noemt men de MacLaurinontwikkeling van f.
VOORBEELD 1.1
Bepaal de MacLaurinontwikkeling van f(x) = ex.
• Afgeleiden x=0
f(x) = ex → f(0) = 1
f’(x) = ex → f(0) = 1
f’’(x) = ex → f(0) = 1
⋮
f (x) = ex
(n) → f(n)(0) = 1
• MacLaurinontwikkeling
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎) n
f(x) = f(0) + f’(0) x + x² + x³ +…+ x + …
𝟐 𝟔 𝒏!
𝑥² 𝑥³ 𝑥 𝑛
ex = 1 + x + + + …+ +…
2 6 𝑛!
𝑥² 𝑥³ 𝑥𝑛
ex = 1 + x + 2! + 6!
+ … + 𝑛! + …
∞
𝒙𝐤
ex = ∑
𝒌=𝟎 𝒌!
1.1.2. Taylorontwikkeling
Eigenschap 1.2 - Taylorontwikkeling
Als alle afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = x0, dan geldt
𝒇’’(𝒙𝟎 ) 𝒇(𝒏) (𝒙𝟎)
f(x) = f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + … + (x – x0)n + …
𝟐 𝒏!
OF
∞
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 )
f(x) =∑ (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
voor x in de omgeving van x0.
De oneindige som in het rechterlid noemt men de Taylorontwikkeling van f rond x0.
Pagina | 1
,VOORBEELD 1.2
Bepaal de Taylorontwikkeling van f(x) = ex rond de waardes x0 = 2.
• Afgeleiden
x=2
f(x) = ex → f(2) = e²
f’(x) = ex → f(2) = e²
f’’(x) = ex → f(2) = e²
⋮
f(n)(x) = ex → f(n)(2) = e²
• MacLaurinontwikkeling
𝒇’’(𝟐) 𝒇’’’(𝟐) 𝒇(𝒏) (𝟐)
f(x) = f(2) + f’(2) (x – 2) + 𝟐
(x – 2)² + 𝟔 (x – 2)³ + … + 𝒏! (x – 2)n + …
𝑒² 𝑒² 𝑒2
ex = e² + e² (x – 2) + 2 (x – 2)² + 6 (x – 2)³ + … + 𝑛! (x – 2)n + …
(𝑥−2)² (𝑥−2)³ (𝑥−2)𝑛
ex = e² (1 + (x – 2) + + +…+ + …)
2! 3! 𝑛!
∞ 𝐤
(𝒙−𝟐)
ex = e² ∑
𝒌=𝟎 𝒌!
1.1.3. Benaderingen
Eigenschap 1.3 - MacLaurinbenadering
Als de eerste n afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = 0, dan kan de
functiewaarde voor een waarde van x in de buurt van 0 benaderd worden als
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎)
f(x) ≈ f(0) + f’(0) x + x² + x³ + … + xn
𝟐 𝟔 𝒏!
OF
𝒏
𝒇(𝒌) (𝟎)
f(x) ≈∑ 𝒙𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
Deze eindige som noemt men de MacLaurinbenadering van f van orde n.
Eigenschap 1.4 - Taylorbenadering
Als de eerste n afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = x0, dan kan de
functiewaarde voor een waarde van x in de buurt van x0 benaderd worden als
𝒇’’(𝒙𝟎 ) 𝒇(𝒏) (𝒙𝟎 )
f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + … + (x – x0)n
𝟐 𝒏!
OF
𝒏
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 )
f(x) ≈∑ (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
Deze eindige som noemt men de Taylorbenadering van f rond x0 van orde n.
Lineaire benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0)
𝑓’’(𝑥0 )
Kwadratische benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)²
2
𝑓’’(𝑥0 ) 𝑓’’’(𝑥0 )
Kubische benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + (x - x0)³
2 6
Pagina | 2
,Hoe meer termen je meeneemt (hoe hoger de orde), hoe beter deze benadering zal zijn:
Een MacLaurinbenadering zal beter zijn naarmate de waarde x dichter bij 0 ligt.
Een Taylorbenadering zal beter zijn naarmate de waarde x dichter bij x0 ligt.
VOORBEELD 1.3
1
MacLaurinbenadering van f(x) = 1+𝑥
• Afgeleiden
1
f(x) = 1+𝑥 → f(0) = 1
1
f’(x) = – (1+𝑥)² → f’(0) = –1
2
f’’(x) = (1+𝑥)³
→ f’’(0) = 2
6
f’’’(x) = – (1+𝑥)4 → f’’’(0) = –6
• MacLaurinbenaderingen
1 1
Orde 1: ≈ f(0) + f’(0) x, dus ≈1–x
1+𝑥 1+𝑥
1 ′′
𝑓 (0) 1
Orde 2: 1+𝑥 ≈ f(0) + f’(0) x + 2 x², dus 1+𝑥 ≈ 1 – x + x²
1 𝑓′′ (0) 𝑓′′′ (0) 1
Orde 3: 1+𝑥 ≈ f(0) + f’(0) x + 2 x² + 6 x³, dus 1+𝑥 ≈ 1 – x + x² – x³
• Nauwkeurigheid
Om de nauwkeurigheid van de benaderingen te onderzoeken, kan je kijken naar
volgende tabel, waar we de benaderingen vergelijken voor x-waarden die steeds dichter
komen bij 0. (Geïllustreerd via tabel pg 7).
VOORBEELD 1.4
MacLaurinbenadering van f(x) = sin (𝑥)
• Afgeleiden
f(x) = sin (𝑥) → f(0) = 0
f’(x) = cos (𝑥) → f’(0) = 1
f’’(x) = – sin (𝑥) → f’’(0) = 0
f’’’(x) = – cos (𝑥) → f’’’(0) = –1
f(4) (x) = sin (𝑥) → f’’’(0) = 0
• MacLaurinbenaderingen
Orde 1: sin (𝑥) ≈ x
𝑥³
Orde 2: sin (𝑥) ≈ x – 3!
𝑥³ 𝑥5
Orde 3: sin (𝑥) ≈ x – 3! + 5!
𝑥³ 𝑥5 𝑥7
Orde 4: sin (𝑥) ≈ x – 3! + 5!
– 7!
• Nauwkeurigheid
De nauwkeurigheid van deze benaderingen worden grafisch geïllustreerd. In figuur 1.1
zie je hoe de curve van de benaderende functie steeds dichter bij de curve van de
sinusfunctie ligt in de buurt van 0. Hoe hoger n, hoe verder van de oorsprong de
benadering bruikbaar is.
Pagina | 3
, VOORBEELD 1.5
Taylor- en MacLaurinbenadering van f(x) = ex
• MacLaurinontwikkeling en Taylorontwikkeling rond x0 = 2
𝑥² 𝑥³ 𝑥𝑛
ex = 1 + x + 2!
+ 3! +…+ 𝑛!
+…
ex = e² (1 + (x – 2) +
(𝑥−2)² (𝑥−3)³ ( 𝑥−2)𝑛
2!
+ 3! +…+ 𝑛!
+ …)
• Benaderingen
b.v. voor n = 3
𝑥² 𝑥³
ex ≈ 1 + x + 2! + 3!
ex ≈ e² (1 + (x – 2) +
(𝑥−2)² (𝑥−3)³
2!
+ 3! )
s
• Nauwkeurigheid
Kies je voor een MacLaurinbenadering, dan is de nauwkeurigheid het grootst in de buurt
van 0. Kies je voor een Taylorbenadering rond 2, dan is de nauwkeurigheid het grootste
in de buurt van 2.
In figuur 1.2 zie je het verschil tussen de twee benaderingen.
Pagina | 4
1.1. Functies van 1 veranderlijke
1.1.1. MacLaurinontwikkeling
Eigenschap 1.1 - MacLaurinontwikkeling
Als alle afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = 0, dan geldt
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎)
f(x) = f(0) + f’(0) x + x² + x³ + … + xn + …
𝟐 𝟔 𝒏!
OF
∞
𝒇(𝒌) (𝟎)
f(x) = ∑ 𝒙𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
voor x in de omgeving van 0.
De oneindige som in het rechterlid noemt men de MacLaurinontwikkeling van f.
VOORBEELD 1.1
Bepaal de MacLaurinontwikkeling van f(x) = ex.
• Afgeleiden x=0
f(x) = ex → f(0) = 1
f’(x) = ex → f(0) = 1
f’’(x) = ex → f(0) = 1
⋮
f (x) = ex
(n) → f(n)(0) = 1
• MacLaurinontwikkeling
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎) n
f(x) = f(0) + f’(0) x + x² + x³ +…+ x + …
𝟐 𝟔 𝒏!
𝑥² 𝑥³ 𝑥 𝑛
ex = 1 + x + + + …+ +…
2 6 𝑛!
𝑥² 𝑥³ 𝑥𝑛
ex = 1 + x + 2! + 6!
+ … + 𝑛! + …
∞
𝒙𝐤
ex = ∑
𝒌=𝟎 𝒌!
1.1.2. Taylorontwikkeling
Eigenschap 1.2 - Taylorontwikkeling
Als alle afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = x0, dan geldt
𝒇’’(𝒙𝟎 ) 𝒇(𝒏) (𝒙𝟎)
f(x) = f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + … + (x – x0)n + …
𝟐 𝒏!
OF
∞
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 )
f(x) =∑ (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
voor x in de omgeving van x0.
De oneindige som in het rechterlid noemt men de Taylorontwikkeling van f rond x0.
Pagina | 1
,VOORBEELD 1.2
Bepaal de Taylorontwikkeling van f(x) = ex rond de waardes x0 = 2.
• Afgeleiden
x=2
f(x) = ex → f(2) = e²
f’(x) = ex → f(2) = e²
f’’(x) = ex → f(2) = e²
⋮
f(n)(x) = ex → f(n)(2) = e²
• MacLaurinontwikkeling
𝒇’’(𝟐) 𝒇’’’(𝟐) 𝒇(𝒏) (𝟐)
f(x) = f(2) + f’(2) (x – 2) + 𝟐
(x – 2)² + 𝟔 (x – 2)³ + … + 𝒏! (x – 2)n + …
𝑒² 𝑒² 𝑒2
ex = e² + e² (x – 2) + 2 (x – 2)² + 6 (x – 2)³ + … + 𝑛! (x – 2)n + …
(𝑥−2)² (𝑥−2)³ (𝑥−2)𝑛
ex = e² (1 + (x – 2) + + +…+ + …)
2! 3! 𝑛!
∞ 𝐤
(𝒙−𝟐)
ex = e² ∑
𝒌=𝟎 𝒌!
1.1.3. Benaderingen
Eigenschap 1.3 - MacLaurinbenadering
Als de eerste n afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = 0, dan kan de
functiewaarde voor een waarde van x in de buurt van 0 benaderd worden als
𝒇’’(𝟎) 𝒇’’’(𝟎) 𝒇(𝒏) (𝟎)
f(x) ≈ f(0) + f’(0) x + x² + x³ + … + xn
𝟐 𝟔 𝒏!
OF
𝒏
𝒇(𝒌) (𝟎)
f(x) ≈∑ 𝒙𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
Deze eindige som noemt men de MacLaurinbenadering van f van orde n.
Eigenschap 1.4 - Taylorbenadering
Als de eerste n afgeleiden van een functie f: ℝ → ℝ bestaan voor x = x0, dan kan de
functiewaarde voor een waarde van x in de buurt van x0 benaderd worden als
𝒇’’(𝒙𝟎 ) 𝒇(𝒏) (𝒙𝟎 )
f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + … + (x – x0)n
𝟐 𝒏!
OF
𝒏
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 )
f(x) ≈∑ (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝒌
𝒌=𝟎 𝒌!
Deze eindige som noemt men de Taylorbenadering van f rond x0 van orde n.
Lineaire benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0)
𝑓’’(𝑥0 )
Kwadratische benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)²
2
𝑓’’(𝑥0 ) 𝑓’’’(𝑥0 )
Kubische benadering: f(x) ≈ f(x0) + f’(x0) (x - x0) + (x - x0)² + (x - x0)³
2 6
Pagina | 2
,Hoe meer termen je meeneemt (hoe hoger de orde), hoe beter deze benadering zal zijn:
Een MacLaurinbenadering zal beter zijn naarmate de waarde x dichter bij 0 ligt.
Een Taylorbenadering zal beter zijn naarmate de waarde x dichter bij x0 ligt.
VOORBEELD 1.3
1
MacLaurinbenadering van f(x) = 1+𝑥
• Afgeleiden
1
f(x) = 1+𝑥 → f(0) = 1
1
f’(x) = – (1+𝑥)² → f’(0) = –1
2
f’’(x) = (1+𝑥)³
→ f’’(0) = 2
6
f’’’(x) = – (1+𝑥)4 → f’’’(0) = –6
• MacLaurinbenaderingen
1 1
Orde 1: ≈ f(0) + f’(0) x, dus ≈1–x
1+𝑥 1+𝑥
1 ′′
𝑓 (0) 1
Orde 2: 1+𝑥 ≈ f(0) + f’(0) x + 2 x², dus 1+𝑥 ≈ 1 – x + x²
1 𝑓′′ (0) 𝑓′′′ (0) 1
Orde 3: 1+𝑥 ≈ f(0) + f’(0) x + 2 x² + 6 x³, dus 1+𝑥 ≈ 1 – x + x² – x³
• Nauwkeurigheid
Om de nauwkeurigheid van de benaderingen te onderzoeken, kan je kijken naar
volgende tabel, waar we de benaderingen vergelijken voor x-waarden die steeds dichter
komen bij 0. (Geïllustreerd via tabel pg 7).
VOORBEELD 1.4
MacLaurinbenadering van f(x) = sin (𝑥)
• Afgeleiden
f(x) = sin (𝑥) → f(0) = 0
f’(x) = cos (𝑥) → f’(0) = 1
f’’(x) = – sin (𝑥) → f’’(0) = 0
f’’’(x) = – cos (𝑥) → f’’’(0) = –1
f(4) (x) = sin (𝑥) → f’’’(0) = 0
• MacLaurinbenaderingen
Orde 1: sin (𝑥) ≈ x
𝑥³
Orde 2: sin (𝑥) ≈ x – 3!
𝑥³ 𝑥5
Orde 3: sin (𝑥) ≈ x – 3! + 5!
𝑥³ 𝑥5 𝑥7
Orde 4: sin (𝑥) ≈ x – 3! + 5!
– 7!
• Nauwkeurigheid
De nauwkeurigheid van deze benaderingen worden grafisch geïllustreerd. In figuur 1.1
zie je hoe de curve van de benaderende functie steeds dichter bij de curve van de
sinusfunctie ligt in de buurt van 0. Hoe hoger n, hoe verder van de oorsprong de
benadering bruikbaar is.
Pagina | 3
, VOORBEELD 1.5
Taylor- en MacLaurinbenadering van f(x) = ex
• MacLaurinontwikkeling en Taylorontwikkeling rond x0 = 2
𝑥² 𝑥³ 𝑥𝑛
ex = 1 + x + 2!
+ 3! +…+ 𝑛!
+…
ex = e² (1 + (x – 2) +
(𝑥−2)² (𝑥−3)³ ( 𝑥−2)𝑛
2!
+ 3! +…+ 𝑛!
+ …)
• Benaderingen
b.v. voor n = 3
𝑥² 𝑥³
ex ≈ 1 + x + 2! + 3!
ex ≈ e² (1 + (x – 2) +
(𝑥−2)² (𝑥−3)³
2!
+ 3! )
s
• Nauwkeurigheid
Kies je voor een MacLaurinbenadering, dan is de nauwkeurigheid het grootst in de buurt
van 0. Kies je voor een Taylorbenadering rond 2, dan is de nauwkeurigheid het grootste
in de buurt van 2.
In figuur 1.2 zie je het verschil tussen de twee benaderingen.
Pagina | 4
