HOGERE WISKUNDE II
Studiegids
BLOK 1
Les 4 – Les 8
Lineaire problemen • Differentievergelijkingen • Rang • Meetkunde •
Eigenwaarden
Onderwerpen:
Lineaire problemen en homogene/particuliere oplossingen
Lineaire differentievergelijkingen (recursievergelijkingen)
Rang van een matrix en stelsels Ax = b
Elementaire meetkunde: rechten en vlakken in ℝⁿ
Spinnenwebmodel (markt-evenwicht)
Lineaire programmering
Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseren
,Inhoudstafel
Verwijzing naar vorige blokken
Dit is het eerste blok van het semester. Er zijn nog geen vorige blokken om naar terug te grijpen —
de cursus start hier.
Centraal in dit blok: de algemene structuur "particuliere + homogene oplossing" vormt de rode draad
— terugkerend bij stelsels, differentievergelijkingen, en later bij differentiaalvergelijkingen in Blok 4.
In Blok 2 bouwen we hierop verder met eigenwaarden II/III, de impliciete functiestelling, en vrije
extrema.
,Les 4: Lineaire problemen en
differentievergelijkingen I
4.1 Lineaire problemen — algemene
structuur
KERNCONCEPT
Een lineair probleem heeft de vorm: gegeven een lineaire afbeelding L : V → W en een vector w₀ ∈
W, vind alle v ∈ V zodat L(v) = w₀.
De cruciale inzichten zijn:
• Het probleem is oplosbaar als en slechts als w₀ ∈ Im(L) (beeld van L).
• Als v₀ een oplossing is van L(v) = w₀ (een zogenaamde particuliere oplossing), dan is élke
oplossing van de vorm v = v₀ + v₁, met v₁ ∈ Ker(L) een oplossing van de homogene
vergelijking L(v) = 0.
De volledige oplossingsverzameling is dus: v₀ + Ker(L) = { v₀ + v₁ | v₁ ∈ Ker(L) }.
FORMULES
L(v) = w₀ ⇔ v ∈ v₀ + Ker(L)
Algemene oplossing = (één particuliere oplossing) + (alle homogene oplossingen)
Symbolen:
• V, W — vectorruimten (bv. ℝⁿ, ℝᵐ, C^∞(ℝ), …)
• L : V → W — lineaire afbeelding
• w₀ — gegeven vector in W (het 'rechterlid')
• v₀ — één gevonden particuliere oplossing (oplossing van L(v)=w₀)
• Ker(L) — kern van L: { v ∈ V | L(v) = 0 }
• Im(L) — beeld van L: { L(v) | v ∈ V }
STAPPENPLAN
• Identificeer de lineaire afbeelding L en de doelvector w₀.
• Controleer of w₀ ∈ Im(L). Zo niet → geen oplossingen.
• Vind één particuliere oplossing v₀ (probeer een eenvoudige gok of slimme keuze).
• Bepaal Ker(L) door L(v) = 0 op te lossen — dit is een lineaire deelruimte.
• De algemene oplossing is v = v₀ + (willekeurig element uit Ker(L)).
, UITGEWERKT VOORBEELD
Beschouw D : C^∞(ℝ) → C^∞(ℝ) : f ↦ f', en f₀ : x ↦ x. Vind alle functies f met f' = f₀.
Stap 1: L = D, w₀ = f₀ : x ↦ x.
Stap 2: Een particuliere oplossing is f(x) = x²/2 (want (x²/2)' = x). ✓
Stap 3: De homogene vergelijking f' = 0 heeft als oplossingen alle constante functies.
Stap 4: Algemene oplossing:
f(x) = x²/2 + c, c ∈ ℝ
4.2 Lineaire differentievergelijkingen
(recursievergelijkingen)
KERNCONCEPT
Een lineaire differentievergelijking is een recursieve vergelijking voor een rij y = (y₀, y₁, y₂, …) ∈ ℝ (de
ruimte van reële rijen).
Beschouw de schuifoperator S : ℝ → ℝ die een rij één plaats opschuift: (Sy) ₙ = y_{n+1}.
Een homogene lineaire differentievergelijking van orde r heeft de vorm:
y_{n+r} + p^{(r-1)} y_{n+r-1} + … + p^{(1)} y_{n+1} + p^{(0)} y_n = 0, ∀n ∈ ℕ
De oplossingsverzameling is een r-dimensionale deelruimte van ℝ (Stelling 4.5.2.2). Daarom bestaat
de algemene oplossing uit r lineair onafhankelijke 'basisoplossingen'.
Voor constante coëfficiënten gebruiken we een gok van de vorm y = (λⁿ)_{n ∈ℕ}. Dit leidt tot de
karakteristieke vergelijking.
FORMULES
Voor y_{n+2} + a·y_{n+1} + b·y_n = 0 (orde 2):
Karakteristieke vergelijking: λ² + a·λ + b = 0
Als λ₁ ≠ λ₂ twee verschillende reële wortels zijn:
yₙ = c₁·λ₁ⁿ + c₂·λ₂ⁿ
Als λ₁ = λ₂ (dubbele wortel):
yₙ = (c₁ + c₂·n)·λ₁ⁿ
Met beginvoorwaarden y₀, y₁ kun je c₁ en c₂ bepalen (uniek oplosbaar stelsel).
Operatornotatie: de vergelijking y_{n+2} − y_{n+1} − y_n = 0 wordt (S² − S − I)y = 0.
Symbolen:
• y = (yₙ)_{n∈ℕ} — een rij reële getallen
• S — schuifoperator (Sy)ₙ = y_{n+1}
• I — identiteit, (Iy)ₙ = yₙ
, • λ — wortel van de karakteristieke vergelijking
• r — orde van de vergelijking = dimensie van de oplossingsruimte
STAPPENPLAN
• Schrijf de vergelijking in standaardvorm: y_{n+r} + p^{(r-1)} y_{n+r-1} + … = 0.
• Stel de karakteristieke vergelijking op door yₙ = λⁿ in te vullen.
• Bepaal de wortels λ₁, …, λ_r.
• Schrijf de algemene oplossing op: yₙ = c₁·λ₁ⁿ + … + c_r·λ_rⁿ (bij verschillende wortels).
• Gebruik beginvoorwaarden (y₀, y₁, … y_{r-1}) om c₁, …, c_r te bepalen.
• Controleer door de eerste paar termen na te rekenen.
UITGEWERKT VOORBEELD
Voorbeeld 1 — De Fibonacci-rij F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …):
Vergelijking: y_{n+2} − y_{n+1} − y_n = 0, met y₀ = 1, y₁ = 1.
Karakteristieke vergelijking: λ² − λ − 1 = 0 ⇒ λ = (1 ± √5)/2.
Algemene oplossing: yₙ = c₁·((1+√5)/2)ⁿ + c₂·((1−√5)/2)ⁿ.
Beginvoorwaarden invullen (y₀ = 1, y₁ = 1) geeft het stelsel:
c₁ + c₂ = 1 en c₁·(1+√5)/2 + c₂·(1−√5)/2 = 1
Oplossing: c₁ = (1+√5)/(2√5), c₂ = −(1−√5)/(2√5).
Dit geeft de gesloten formule (formule van Binet):
Fₙ = (1/√5) · [ ((1+√5)/2)^{n+1} − ((1−√5)/2)^{n+1} ]
Voorbeeld 2 — Vind alle rijen met y_{n+2} − 5y_{n+1} + 6y ₙ = 0 en y₀ = 0:
Karakteristieke vergelijking: λ² − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ = 2 of λ = 3.
Algemene oplossing: yₙ = c₁·2ⁿ + c₂·3ⁿ.
y₀ = 0 ⇒ c₁ + c₂ = 0 ⇒ c₂ = −c₁.
Dus: yₙ = c·(2ⁿ − 3ⁿ), c ∈ ℝ. Bv. c = 1 → (0, −1, −5, −19, …).
, Les 6: Rang van een matrix en
elementaire meetkunde
6.1 Rang van een matrix
KERNCONCEPT
Voor A ∈ ℝ^{m×n} definiëren we:
• Rijrang(A) = maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen van A = dimensie van de rij-ruimte.
• Kolomrang(A) = maximaal aantal lineair onafhankelijke kolommen van A = dimensie van de
kolom-ruimte = dim Im(L_A).
Fundamentele stelling (Stelling 4.6.4): rijrang(A) = kolomrang(A) = rang(A).
Praktisch: rang(A) = aantal niet-nul rijen na rijherleiding (Gauss-eliminatie).
FORMULES
rang(A) = rijrang(A) = kolomrang(A)
rang(A) = aantal niet-nul rijen in de rij-echelon vorm van A
Belangrijke eigenschappen:
• Rijoperaties veranderen de rang niet: R_i ↔ R_j ; R_i → λR_i (λ ≠ 0) ; R_i → R_i + λR_j
• Voor een vierkante matrix A ∈ ℝ^{n×n}: A inverteerbaar ⇔ rang(A) = n ⇔ det(A) ≠ 0
• Voor A x = b: oplosbaar ⇔ rang(A) = rang(A|b) ( stelling van Rouché-Capelli)
• Aantal vrijheidsgraden in de oplossing = n − rang(A) (met n = aantal onbekenden)
STAPPENPLAN
• Schrijf A in rij-echelonvorm via Gauss-eliminatie:
◦ verwissel rijen indien nodig (R_i ↔ R_j)
◦ schaal rijen (R_i → λR_i, λ ≠ 0)
◦ elimineer (R_i → R_i + λR_j)
• Tel het aantal niet-nul rijen — dat is rang(A).
• Voor het stelsel Ax = b: vergelijk rang(A) met rang(A|b).
UITGEWERKT VOORBEELD
A = ⎡1 1 1 1⎤
⎣1 2 3 4⎦ (2×4 matrix)
Studiegids
BLOK 1
Les 4 – Les 8
Lineaire problemen • Differentievergelijkingen • Rang • Meetkunde •
Eigenwaarden
Onderwerpen:
Lineaire problemen en homogene/particuliere oplossingen
Lineaire differentievergelijkingen (recursievergelijkingen)
Rang van een matrix en stelsels Ax = b
Elementaire meetkunde: rechten en vlakken in ℝⁿ
Spinnenwebmodel (markt-evenwicht)
Lineaire programmering
Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseren
,Inhoudstafel
Verwijzing naar vorige blokken
Dit is het eerste blok van het semester. Er zijn nog geen vorige blokken om naar terug te grijpen —
de cursus start hier.
Centraal in dit blok: de algemene structuur "particuliere + homogene oplossing" vormt de rode draad
— terugkerend bij stelsels, differentievergelijkingen, en later bij differentiaalvergelijkingen in Blok 4.
In Blok 2 bouwen we hierop verder met eigenwaarden II/III, de impliciete functiestelling, en vrije
extrema.
,Les 4: Lineaire problemen en
differentievergelijkingen I
4.1 Lineaire problemen — algemene
structuur
KERNCONCEPT
Een lineair probleem heeft de vorm: gegeven een lineaire afbeelding L : V → W en een vector w₀ ∈
W, vind alle v ∈ V zodat L(v) = w₀.
De cruciale inzichten zijn:
• Het probleem is oplosbaar als en slechts als w₀ ∈ Im(L) (beeld van L).
• Als v₀ een oplossing is van L(v) = w₀ (een zogenaamde particuliere oplossing), dan is élke
oplossing van de vorm v = v₀ + v₁, met v₁ ∈ Ker(L) een oplossing van de homogene
vergelijking L(v) = 0.
De volledige oplossingsverzameling is dus: v₀ + Ker(L) = { v₀ + v₁ | v₁ ∈ Ker(L) }.
FORMULES
L(v) = w₀ ⇔ v ∈ v₀ + Ker(L)
Algemene oplossing = (één particuliere oplossing) + (alle homogene oplossingen)
Symbolen:
• V, W — vectorruimten (bv. ℝⁿ, ℝᵐ, C^∞(ℝ), …)
• L : V → W — lineaire afbeelding
• w₀ — gegeven vector in W (het 'rechterlid')
• v₀ — één gevonden particuliere oplossing (oplossing van L(v)=w₀)
• Ker(L) — kern van L: { v ∈ V | L(v) = 0 }
• Im(L) — beeld van L: { L(v) | v ∈ V }
STAPPENPLAN
• Identificeer de lineaire afbeelding L en de doelvector w₀.
• Controleer of w₀ ∈ Im(L). Zo niet → geen oplossingen.
• Vind één particuliere oplossing v₀ (probeer een eenvoudige gok of slimme keuze).
• Bepaal Ker(L) door L(v) = 0 op te lossen — dit is een lineaire deelruimte.
• De algemene oplossing is v = v₀ + (willekeurig element uit Ker(L)).
, UITGEWERKT VOORBEELD
Beschouw D : C^∞(ℝ) → C^∞(ℝ) : f ↦ f', en f₀ : x ↦ x. Vind alle functies f met f' = f₀.
Stap 1: L = D, w₀ = f₀ : x ↦ x.
Stap 2: Een particuliere oplossing is f(x) = x²/2 (want (x²/2)' = x). ✓
Stap 3: De homogene vergelijking f' = 0 heeft als oplossingen alle constante functies.
Stap 4: Algemene oplossing:
f(x) = x²/2 + c, c ∈ ℝ
4.2 Lineaire differentievergelijkingen
(recursievergelijkingen)
KERNCONCEPT
Een lineaire differentievergelijking is een recursieve vergelijking voor een rij y = (y₀, y₁, y₂, …) ∈ ℝ (de
ruimte van reële rijen).
Beschouw de schuifoperator S : ℝ → ℝ die een rij één plaats opschuift: (Sy) ₙ = y_{n+1}.
Een homogene lineaire differentievergelijking van orde r heeft de vorm:
y_{n+r} + p^{(r-1)} y_{n+r-1} + … + p^{(1)} y_{n+1} + p^{(0)} y_n = 0, ∀n ∈ ℕ
De oplossingsverzameling is een r-dimensionale deelruimte van ℝ (Stelling 4.5.2.2). Daarom bestaat
de algemene oplossing uit r lineair onafhankelijke 'basisoplossingen'.
Voor constante coëfficiënten gebruiken we een gok van de vorm y = (λⁿ)_{n ∈ℕ}. Dit leidt tot de
karakteristieke vergelijking.
FORMULES
Voor y_{n+2} + a·y_{n+1} + b·y_n = 0 (orde 2):
Karakteristieke vergelijking: λ² + a·λ + b = 0
Als λ₁ ≠ λ₂ twee verschillende reële wortels zijn:
yₙ = c₁·λ₁ⁿ + c₂·λ₂ⁿ
Als λ₁ = λ₂ (dubbele wortel):
yₙ = (c₁ + c₂·n)·λ₁ⁿ
Met beginvoorwaarden y₀, y₁ kun je c₁ en c₂ bepalen (uniek oplosbaar stelsel).
Operatornotatie: de vergelijking y_{n+2} − y_{n+1} − y_n = 0 wordt (S² − S − I)y = 0.
Symbolen:
• y = (yₙ)_{n∈ℕ} — een rij reële getallen
• S — schuifoperator (Sy)ₙ = y_{n+1}
• I — identiteit, (Iy)ₙ = yₙ
, • λ — wortel van de karakteristieke vergelijking
• r — orde van de vergelijking = dimensie van de oplossingsruimte
STAPPENPLAN
• Schrijf de vergelijking in standaardvorm: y_{n+r} + p^{(r-1)} y_{n+r-1} + … = 0.
• Stel de karakteristieke vergelijking op door yₙ = λⁿ in te vullen.
• Bepaal de wortels λ₁, …, λ_r.
• Schrijf de algemene oplossing op: yₙ = c₁·λ₁ⁿ + … + c_r·λ_rⁿ (bij verschillende wortels).
• Gebruik beginvoorwaarden (y₀, y₁, … y_{r-1}) om c₁, …, c_r te bepalen.
• Controleer door de eerste paar termen na te rekenen.
UITGEWERKT VOORBEELD
Voorbeeld 1 — De Fibonacci-rij F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …):
Vergelijking: y_{n+2} − y_{n+1} − y_n = 0, met y₀ = 1, y₁ = 1.
Karakteristieke vergelijking: λ² − λ − 1 = 0 ⇒ λ = (1 ± √5)/2.
Algemene oplossing: yₙ = c₁·((1+√5)/2)ⁿ + c₂·((1−√5)/2)ⁿ.
Beginvoorwaarden invullen (y₀ = 1, y₁ = 1) geeft het stelsel:
c₁ + c₂ = 1 en c₁·(1+√5)/2 + c₂·(1−√5)/2 = 1
Oplossing: c₁ = (1+√5)/(2√5), c₂ = −(1−√5)/(2√5).
Dit geeft de gesloten formule (formule van Binet):
Fₙ = (1/√5) · [ ((1+√5)/2)^{n+1} − ((1−√5)/2)^{n+1} ]
Voorbeeld 2 — Vind alle rijen met y_{n+2} − 5y_{n+1} + 6y ₙ = 0 en y₀ = 0:
Karakteristieke vergelijking: λ² − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ = 2 of λ = 3.
Algemene oplossing: yₙ = c₁·2ⁿ + c₂·3ⁿ.
y₀ = 0 ⇒ c₁ + c₂ = 0 ⇒ c₂ = −c₁.
Dus: yₙ = c·(2ⁿ − 3ⁿ), c ∈ ℝ. Bv. c = 1 → (0, −1, −5, −19, …).
, Les 6: Rang van een matrix en
elementaire meetkunde
6.1 Rang van een matrix
KERNCONCEPT
Voor A ∈ ℝ^{m×n} definiëren we:
• Rijrang(A) = maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen van A = dimensie van de rij-ruimte.
• Kolomrang(A) = maximaal aantal lineair onafhankelijke kolommen van A = dimensie van de
kolom-ruimte = dim Im(L_A).
Fundamentele stelling (Stelling 4.6.4): rijrang(A) = kolomrang(A) = rang(A).
Praktisch: rang(A) = aantal niet-nul rijen na rijherleiding (Gauss-eliminatie).
FORMULES
rang(A) = rijrang(A) = kolomrang(A)
rang(A) = aantal niet-nul rijen in de rij-echelon vorm van A
Belangrijke eigenschappen:
• Rijoperaties veranderen de rang niet: R_i ↔ R_j ; R_i → λR_i (λ ≠ 0) ; R_i → R_i + λR_j
• Voor een vierkante matrix A ∈ ℝ^{n×n}: A inverteerbaar ⇔ rang(A) = n ⇔ det(A) ≠ 0
• Voor A x = b: oplosbaar ⇔ rang(A) = rang(A|b) ( stelling van Rouché-Capelli)
• Aantal vrijheidsgraden in de oplossing = n − rang(A) (met n = aantal onbekenden)
STAPPENPLAN
• Schrijf A in rij-echelonvorm via Gauss-eliminatie:
◦ verwissel rijen indien nodig (R_i ↔ R_j)
◦ schaal rijen (R_i → λR_i, λ ≠ 0)
◦ elimineer (R_i → R_i + λR_j)
• Tel het aantal niet-nul rijen — dat is rang(A).
• Voor het stelsel Ax = b: vergelijk rang(A) met rang(A|b).
UITGEWERKT VOORBEELD
A = ⎡1 1 1 1⎤
⎣1 2 3 4⎦ (2×4 matrix)
