H5: De populatie en verdelingsfuncties
Verdelingsfunctie discrete variabelen
1. Algemeen
- Een populatie kan beschreven worden a.d.h.v. een verdelingsfunctie. Deze kunnen we zien
als de tegenhangers van de frequentieverdeling
- Discrete variabelen kunnen een eindig aantal waarden aannemen p
- Aantal elementen in de populatie oneindig n
2. De kansverdeling
- Tegenhanger van de relatieve frequentieverdeling, maar nu gedefinieerd voor de populatie
fi
P ( X =xi ) =lim
n →∞ n
- De kansverdeling van een discrete variabele X is een tabel met in 1 kolom de waarden x i en
de 2e kolom de overeenkomstige kansen P ( X =xi )
- Kan op analoge wijze als de relatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld
3. De cumulatieve verdelingsfunctie
- Tegenhanger van de cumulatieve relatieve frequentie. Men spreekt kortweg ook over de
verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x
F X ( x )=P(X ≤ x)
- Kan op analoge wijze als de cumulatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld
Verdelingsfunctie continue variabelen
1. Algemeen
- Een continue variabele kan in theorie oneindig veel verschillende waarden aannemen. Dit
impliceert dat de kans P ( X=x ) =0 voor elke waarde x
2. De cumulatieve verdelingsfunctie
- Er zijn wel degelijk kansen die ≠ 0, een voorbeeld hiervan is de cumulatieve verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x
F X ( x )=P(X ≤ x)
- Visuele voorstelling is continu in plaats van trapsgewijs voor discrete variabelen
, - Bij continue variabelen maakt het niet uit of we ¿ of ≤ gebruiken omdat P ( X=x ) =0
3. De dichtheidsfunctie (=kansdichtheid)
- Afgeleide van de verdelingsfunctie ( gn leerstof)
- De dichtheidsfunctie kan je zien als een geïdealiseerd histogram, v.d. gegevens v.d. populatie,
waarbij de klassenbreedte oneindig klein is wordt gebruikt om kansen te visualiseren
- Door de dichtheidsfunctie te integreren ( gn leerstof) kunnen we kansen berekenen van de vorm:
P=x 1 ≤ X ≤ x 2
- Deze kans bereken we door het arceren van oppervlaktes en er geldt dat:
P=x 1 ≤ X ≤ x 2=P ( x2 ≤ X )−P ( x 1 ≤ X ) =F X ( x2 ) −F X ( x1 )
3 eigenschappen van de dichtheidsfunctie:
- De dichtheidsfunctie is een positieve functie: F X ( x ) ≥ 0. De x-waarden mogen negatief zijn, maar
de alle y-waarden moeten positief zijn.
- De volledige oppervlakte onder de dichtheidsfunctie = 0
- P ( X > x )=1−P ( X ≤ x )
Populatieparameters discrete variabelen
1. Populatiegemiddelde (= verwachtingswaarde) E ( X ) =μ X
- Het gemiddelde van een discrete variabele in een populatie wordt gegeven door:
p
E ( X ) =∑ P(X =x i) xi E ( a ) =a
i=1
- Voor continue variabelen is P ( X=x ) =0, bijgevolg moeten we integreren ( gn leerstof)
2
2. Populatievariantie V ( X )=σ X en standaarddeviatie σ X
- De variantie en standaarddeviatie v.e. discrete variabele in een populatie w gegeven door:
p
2
V ( X )=∑ P ( X =xi ) ( xi −E( X ) ) σ X =√ V (X )
i=1
- Voor continue variabelen moeten we de som vervangen door een integraal en de
kansverdeling door de dichtheidsfunctie ( gn leerstof)
- Het optellen van een constante bij een variabele heeft geen invloed op de variantie, het
vermenigvuldigen van een variabele met een constante heeft wel een invloed op de variantie
nuttig voor de stellingen op het formularium
V ( a ) =O
Verdelingsfunctie discrete variabelen
1. Algemeen
- Een populatie kan beschreven worden a.d.h.v. een verdelingsfunctie. Deze kunnen we zien
als de tegenhangers van de frequentieverdeling
- Discrete variabelen kunnen een eindig aantal waarden aannemen p
- Aantal elementen in de populatie oneindig n
2. De kansverdeling
- Tegenhanger van de relatieve frequentieverdeling, maar nu gedefinieerd voor de populatie
fi
P ( X =xi ) =lim
n →∞ n
- De kansverdeling van een discrete variabele X is een tabel met in 1 kolom de waarden x i en
de 2e kolom de overeenkomstige kansen P ( X =xi )
- Kan op analoge wijze als de relatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld
3. De cumulatieve verdelingsfunctie
- Tegenhanger van de cumulatieve relatieve frequentie. Men spreekt kortweg ook over de
verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x
F X ( x )=P(X ≤ x)
- Kan op analoge wijze als de cumulatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld
Verdelingsfunctie continue variabelen
1. Algemeen
- Een continue variabele kan in theorie oneindig veel verschillende waarden aannemen. Dit
impliceert dat de kans P ( X=x ) =0 voor elke waarde x
2. De cumulatieve verdelingsfunctie
- Er zijn wel degelijk kansen die ≠ 0, een voorbeeld hiervan is de cumulatieve verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x
F X ( x )=P(X ≤ x)
- Visuele voorstelling is continu in plaats van trapsgewijs voor discrete variabelen
, - Bij continue variabelen maakt het niet uit of we ¿ of ≤ gebruiken omdat P ( X=x ) =0
3. De dichtheidsfunctie (=kansdichtheid)
- Afgeleide van de verdelingsfunctie ( gn leerstof)
- De dichtheidsfunctie kan je zien als een geïdealiseerd histogram, v.d. gegevens v.d. populatie,
waarbij de klassenbreedte oneindig klein is wordt gebruikt om kansen te visualiseren
- Door de dichtheidsfunctie te integreren ( gn leerstof) kunnen we kansen berekenen van de vorm:
P=x 1 ≤ X ≤ x 2
- Deze kans bereken we door het arceren van oppervlaktes en er geldt dat:
P=x 1 ≤ X ≤ x 2=P ( x2 ≤ X )−P ( x 1 ≤ X ) =F X ( x2 ) −F X ( x1 )
3 eigenschappen van de dichtheidsfunctie:
- De dichtheidsfunctie is een positieve functie: F X ( x ) ≥ 0. De x-waarden mogen negatief zijn, maar
de alle y-waarden moeten positief zijn.
- De volledige oppervlakte onder de dichtheidsfunctie = 0
- P ( X > x )=1−P ( X ≤ x )
Populatieparameters discrete variabelen
1. Populatiegemiddelde (= verwachtingswaarde) E ( X ) =μ X
- Het gemiddelde van een discrete variabele in een populatie wordt gegeven door:
p
E ( X ) =∑ P(X =x i) xi E ( a ) =a
i=1
- Voor continue variabelen is P ( X=x ) =0, bijgevolg moeten we integreren ( gn leerstof)
2
2. Populatievariantie V ( X )=σ X en standaarddeviatie σ X
- De variantie en standaarddeviatie v.e. discrete variabele in een populatie w gegeven door:
p
2
V ( X )=∑ P ( X =xi ) ( xi −E( X ) ) σ X =√ V (X )
i=1
- Voor continue variabelen moeten we de som vervangen door een integraal en de
kansverdeling door de dichtheidsfunctie ( gn leerstof)
- Het optellen van een constante bij een variabele heeft geen invloed op de variantie, het
vermenigvuldigen van een variabele met een constante heeft wel een invloed op de variantie
nuttig voor de stellingen op het formularium
V ( a ) =O
