Samenvatting - H5

H5: De populatie en verdelingsfuncties
Verdelingsfunctie discrete variabelen

1. Algemeen

- Een populatie kan beschreven worden a.d.h.v. een verdelingsfunctie. Deze kunnen we zien
als de tegenhangers van de frequentieverdeling
- Discrete variabelen kunnen een eindig aantal waarden aannemen  p
- Aantal elementen in de populatie oneindig  n

2. De kansverdeling

- Tegenhanger van de relatieve frequentieverdeling, maar nu gedefinieerd voor de populatie

fi
P ( X =xi ) =lim
n →∞ n
- De kansverdeling van een discrete variabele X is een tabel met in 1 kolom de waarden x i en
de 2e kolom de overeenkomstige kansen P ( X =xi )
- Kan op analoge wijze als de relatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld


3. De cumulatieve verdelingsfunctie

- Tegenhanger van de cumulatieve relatieve frequentie. Men spreekt kortweg ook over de
verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x

F X ( x )=P(X ≤ x)

- Kan op analoge wijze als de cumulatieve frequentieverdeling grafisch worden voorgesteld



Verdelingsfunctie continue variabelen

1. Algemeen

- Een continue variabele kan in theorie oneindig veel verschillende waarden aannemen. Dit
impliceert dat de kans P ( X=x ) =0 voor elke waarde x


2. De cumulatieve verdelingsfunctie

- Er zijn wel degelijk kansen die ≠ 0, een voorbeeld hiervan is de cumulatieve verdelingsfunctie
- De cumulatieve verdelingsfunctie F X ( x ) geeft de kans dat de waarde van een variabele X
kleiner dan of gelijk is aan x

F X ( x )=P(X ≤ x)

- Visuele voorstelling is continu in plaats van trapsgewijs voor discrete variabelen

, - Bij continue variabelen maakt het niet uit of we ¿ of ≤ gebruiken omdat P ( X=x ) =0

3. De dichtheidsfunctie (=kansdichtheid)

- Afgeleide van de verdelingsfunctie ( gn leerstof)
- De dichtheidsfunctie kan je zien als een geïdealiseerd histogram, v.d. gegevens v.d. populatie,
waarbij de klassenbreedte oneindig klein is  wordt gebruikt om kansen te visualiseren
- Door de dichtheidsfunctie te integreren ( gn leerstof) kunnen we kansen berekenen van de vorm:

P=x 1 ≤ X ≤ x 2

- Deze kans bereken we door het arceren van oppervlaktes en er geldt dat:

P=x 1 ≤ X ≤ x 2=P ( x2 ≤ X )−P ( x 1 ≤ X ) =F X ( x2 ) −F X ( x1 )

3 eigenschappen van de dichtheidsfunctie:

- De dichtheidsfunctie is een positieve functie: F X ( x ) ≥ 0. De x-waarden mogen negatief zijn, maar
de alle y-waarden moeten positief zijn.
- De volledige oppervlakte onder de dichtheidsfunctie = 0
- P ( X > x )=1−P ( X ≤ x )


Populatieparameters discrete variabelen

1. Populatiegemiddelde (= verwachtingswaarde) E ( X ) =μ X

- Het gemiddelde van een discrete variabele in een populatie wordt gegeven door:
p
E ( X ) =∑ P(X =x i) xi E ( a ) =a
i=1

- Voor continue variabelen is P ( X=x ) =0, bijgevolg moeten we integreren ( gn leerstof)


2
2. Populatievariantie V ( X )=σ X en standaarddeviatie σ X

- De variantie en standaarddeviatie v.e. discrete variabele in een populatie w gegeven door:
p
2
V ( X )=∑ P ( X =xi ) ( xi −E( X ) ) σ X =√ V (X )
i=1
- Voor continue variabelen moeten we de som vervangen door een integraal en de
kansverdeling door de dichtheidsfunctie ( gn leerstof)
- Het optellen van een constante bij een variabele heeft geen invloed op de variantie, het
vermenigvuldigen van een variabele met een constante heeft wel een invloed op de variantie 
nuttig voor de stellingen op het formularium

V ( a ) =O