H7: Betrouwbaarheidsintervallen en
statistische toetsen voor het
populatiegemiddelde
1 Schatters
1.1 Algemeen
- Een schatter voor een bepaalde populatieparameter θ noteren we als θ^ waarbij θ^ een
steekproefgrootheid is
- θ^ is een goede schatter van θ indien:
o Ze zuiver is = verwachtingswaarde van de schatter gelijk aan de populatieparameter
E ( θ^ ) =0
o ^ , kleiner wordt naarmate de steekpoefgrootte
De variantie van de schatter V ( θ)
toeneemt en de schatter dus meer nauwkeurig zal zijn.
- √
De standaarddeviatie van de schatter V ( θ^ ) wordt ook de standaardfout genoemd. De
schatter met de kleinste standaardfout is het efficiëntst
1.2 Het gemiddelde
- ^
θ=X als θ=μ
- Uit stelling 11: steekproefgemiddelde is een zuivere schater voor populatiegemiddelde want:
X ( X )=μ
- Uit stelling 12 volgt dat de variantie van het steekproefgemiddelde gelijk is aan:
σ2 σ
V ( X )= → √ V ( θ^ ) =
n √n
- De waarde van een schatter op basis van één steekproef noemen we de schatting. Toegepast
op het gemiddelde is X de schatter en x de schatting
1.3 De variantie
2
- We hebben 2 formules voor de steekproefvariantie. SN X is geen zuivere schatter en zal de
populatieparameter systematisch te klein worden geschat
- S2X is wel een zuivere schatter:
2 2
E ( S X ) =σ
statistische toetsen voor het
populatiegemiddelde
1 Schatters
1.1 Algemeen
- Een schatter voor een bepaalde populatieparameter θ noteren we als θ^ waarbij θ^ een
steekproefgrootheid is
- θ^ is een goede schatter van θ indien:
o Ze zuiver is = verwachtingswaarde van de schatter gelijk aan de populatieparameter
E ( θ^ ) =0
o ^ , kleiner wordt naarmate de steekpoefgrootte
De variantie van de schatter V ( θ)
toeneemt en de schatter dus meer nauwkeurig zal zijn.
- √
De standaarddeviatie van de schatter V ( θ^ ) wordt ook de standaardfout genoemd. De
schatter met de kleinste standaardfout is het efficiëntst
1.2 Het gemiddelde
- ^
θ=X als θ=μ
- Uit stelling 11: steekproefgemiddelde is een zuivere schater voor populatiegemiddelde want:
X ( X )=μ
- Uit stelling 12 volgt dat de variantie van het steekproefgemiddelde gelijk is aan:
σ2 σ
V ( X )= → √ V ( θ^ ) =
n √n
- De waarde van een schatter op basis van één steekproef noemen we de schatting. Toegepast
op het gemiddelde is X de schatter en x de schatting
1.3 De variantie
2
- We hebben 2 formules voor de steekproefvariantie. SN X is geen zuivere schatter en zal de
populatieparameter systematisch te klein worden geschat
- S2X is wel een zuivere schatter:
2 2
E ( S X ) =σ
