Diagonalisation
mardi 13 septembre 2022 19:33
Généralités :
Pb : Lorsqu'on écrit un opérateur linéaire ( application linéaire) dans une base quelconque, la matrice associée peut avoir une structure mal-commode à
manipuler?
Remède : il existe des bases (de vecteurs propres associées à des valeurs propres) telles que la matrice associée sont DIAGONALE.
Matrice de passage d'une base à une autre :
Les vecteurs d'une nouvelle base s'écrivent dans l'ancienne
ej' = ei , j=1,n ann
Remarque : P a pour coordonnées les vecteurs de la nouvelle base. P est inversible car ses vecteurs sont linéairement indépendant.
Effet d'un changement de base sur un même vecteurs:
X est même vecteur qui s'écrit dans 2 système de base différents ei et ei'
X dans l'ancienne base : X=
X dans la nouvelle base : X=
Or ej' =
X=
X=
X=
D'où Xi =
X = PX'
X' = P-1 X
Effet d'un changement de bases sur la matrice d'une application linéaire
P matrice de passage de (ei) --> (ei')
Q m trice de p ss ge de (εi)--> (εi')
E
εi)
(ei') (εi')
X appartient a E X =
Y appartient à F Y= ε ε
y=f(x) s'écrit sous forme matricielle :
y=f(x) ---> Y = AX (ancienne base )
Y' = A'X' (nouvelle base
O, X= PX' et Y= QY'
A et A' sont dites équivalentes
Remarques : si E=F
ei = εi
ei' = εi' P=Q
Donc A' = P-1 AP A et A' sont donc semblables
Mathématique pour l'ingénieur Page 1
mardi 13 septembre 2022 19:33
Généralités :
Pb : Lorsqu'on écrit un opérateur linéaire ( application linéaire) dans une base quelconque, la matrice associée peut avoir une structure mal-commode à
manipuler?
Remède : il existe des bases (de vecteurs propres associées à des valeurs propres) telles que la matrice associée sont DIAGONALE.
Matrice de passage d'une base à une autre :
Les vecteurs d'une nouvelle base s'écrivent dans l'ancienne
ej' = ei , j=1,n ann
Remarque : P a pour coordonnées les vecteurs de la nouvelle base. P est inversible car ses vecteurs sont linéairement indépendant.
Effet d'un changement de base sur un même vecteurs:
X est même vecteur qui s'écrit dans 2 système de base différents ei et ei'
X dans l'ancienne base : X=
X dans la nouvelle base : X=
Or ej' =
X=
X=
X=
D'où Xi =
X = PX'
X' = P-1 X
Effet d'un changement de bases sur la matrice d'une application linéaire
P matrice de passage de (ei) --> (ei')
Q m trice de p ss ge de (εi)--> (εi')
E
εi)
(ei') (εi')
X appartient a E X =
Y appartient à F Y= ε ε
y=f(x) s'écrit sous forme matricielle :
y=f(x) ---> Y = AX (ancienne base )
Y' = A'X' (nouvelle base
O, X= PX' et Y= QY'
A et A' sont dites équivalentes
Remarques : si E=F
ei = εi
ei' = εi' P=Q
Donc A' = P-1 AP A et A' sont donc semblables
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