Techniques Quantitatives (S4)
Partie 1 : Probabilités
I - Dénombrement
p = nb de succès / nb total
1) Contexte
Pour calculer une probabilité, il est nécessaire de calculer le nb d’issu favorable ou le nb
d’issu total. L’objectif de ce chapitre est donc de dénombrer ces issus.
Pour choisir “p” objet parmis un ensemble “E” de petits “n” objets. Il faut se poser la
question du tirage avec ou sans remise avec ou sans ordre.
2) Notation factorielle
Dnas le cadre de l’analyse combinatoire (= de proba) nous allons découvrir une nouvelle
notation “N!” dit n factorielle . Il s’agit d’une notation économique qui se traduit comme
suit : n x (n-1)x(n-2) x … x 2 x 1 par convention 0! = 1.
exemple : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
3) p_liste (avec ordre avec remise)
Étant donné un ensemble E de n objet la répétition est possible à chaque tirage. Il y a n
choix à chaque tirage.
Pour p tirage, il y a np nombre de liste
Exemple: nb de mots de 5 lettres qui sont possibles
p= 5 n= 26
265 = 11 881 876
4) Arrangement (avec ordre sans remise)
Étant donné un ensemble E de n objet, on appelle “arrangement” de p objet, toute suite
ordonné de petit p objet pris parmis n objet. Le nombre d’arrangement de p objets pris
parmis n est noté Anp = (n!) / ((n - p) !)
Exemple :
● combien a-t-on de possibilité de tirer 5 carte parmis 52 cartes.
,52P5 = 311 875 200
A525 = (52!) / ((52 - 5 )!) = (52!) / (47!) = 311 875 200
● Chercher le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux, combien ya-t-il
d’arrangements possibles ?
20P3 = A203 = 20! / (20-3)! = 6840
Cas particulier → Permutations (p = n)
Ex : 5 pers et 5 chaises. De combien de façon les 5 personnes peuvent s'asseoir.
→5! = A55 = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5! (le 0! est égal à 1 pour ne pas niquer le calcul)
5) Combinaison (sans ordre sans remise) Simultanée
On appelle combinaison de p objet tout ensemble de t objet non ordonné pris parmis les n
objets. Le nombre de combinaisons de p objet parmis n est noté Cnp = (np) = n! / (p! (n-p)!)
Ex : Combien de combinaison de 5 cartes parmis 52 ?
C525 = 52! / 5!(52 - 5)! = 52! / 5!47! = 311 875 = 2 598 960
II - Vocabulaire
1) Exemple aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience qui vérifie 3 conditions :
- Elle conduit à des résultats possibles qu’on est parfaitement capable de nommer.
- On ne sait pas lequel de ses résultats va se produire quand on réalise l’expérience.
- L’expérience doit être reproductible dans les mêmes conditions.
2) Les événements
Les différentes issues possibles d’une expérience aléatoire sont appelées “événements
élémentaires”. Si on lance un dé à 6 faces, les événements élémentaires sont d’obtenir un
ou d’obtenir 2 ou 3 jusqu’à 6.
Un événement est une union d’événement élémentaire donc obtenir un nombre pair ou
obtenir un nb supérieur ou égal à 4 cad obtenir ou 4 ou 5 ou 6.
On appelle “Univers” l’union de tous les événements élémentaires d’une expérience
aléatoire.
,Exemple : dé à 6 faces, il est composé de 6 événements élémentaires, obtenir 1, obtenir 2,
… , obtenir 6
𝛀 = {1;2;3;4;5;6}
Ex : urne 1 boule rouge + 6 boules jaunes. Définir l’univers.
𝛀 = {Brouge; Bjaune} / {1Brouge ; 6Bjaune) / {Brouge; Bjaune, Bjaune, Bjaune, Bjaune,
Bjaune, Bjaune)
Les 3 formulations sont correctes, la plus précise et rapide et la deuxième.
3. Ensemble
Le langage et les ensembles sont très utilisés en proba. L'événement élémentaire “obtenir
1” = {1}, “obtenir un nombre pair” = {2} U {4} U {6} = {2;4;6}
L’univers est généralement noté “𝛀”.
Ex : jeu de 32 cartes : Définir l’univers, “tirer un roi”; “tirer as de coeur”.
𝛀 = {32 cartes}
“tirer de roi” = {roi de coeur, roi de pique, roi de trèfle, roi de carreaux}
“tirer un as” = { un as de coeur}
Ex : Urne avec 2 Bbanche, 3 Bjaunes, 4 BNoirs, univers, événement “tirer une boule clair”,
“tirer une boule blanche”?
𝛀 = { 2Bblanche, 3Bjaunes, 4Bnoirs }
“tirer une boule clair” = { 2Bblanches, 3Bjaunes }
“tirer une boule blanche” ={ 2boules blanches }
4. Union, intersection, complémentaire (diagramme de Venn)
● L’union de 2 événements A et B est un événement ou un ensemble qui contient tous
les événements élémentaires de A ainsi que tous ceux de B. A U B
“ou” = U
● L’intersection entre deux événements A et B est un événement qui contient tous les
événements qui sont à la fois dans A et dans B . On le note A inter B.
, “et” = ⋂
● Le complémentaire d’un événement A est l’ensemble qui contient tous les
événement élémentaires qui ne sont pas A . On parle d’événement contraire, on le
note Ā
A
● Deux événement sont incompatible si A ⋂ B = ø
III - Proba et variation aléatoire
1. Def de la proba d’un événement
Définir une loi de proba P d’une variable aléatoire X, s’est associé chaque valeur de xi de la
valeur aléatoire à un nombre pi tel que la somme des pi est égal à 1.
La probabilité d’un événement est donc comprise entre 0 et 1. Plus il est proche de 1, plus il
est sûr.
2. Proba d’un événement équiprobable
C’est un événement qui a autant de chance que les autres d’arriver. Si les n issus d’une
expérience aléatoire ont toutes la même chance d’être réalisé, on dit qu’elles sont
équiprobable, dans ce cas, la proba de chacune d’elle est de 1/n.
Dans toutes situation d’équiprobabilité, la proba d’un événement A est donné par la
formule suivante.
P(A) = nb d’issus favorable / nb d’issu total
Ex : 1 carte au hasard dans un jeu
𝛀 = {32 cartes}
calculer la proba de “tirer un roi”
“tirer un roi” = {roi de coeur, roi de pique, roi de trèfle, roi de carreaux}
P(ω)= 4/32 =⅛= 0,125
Partie 1 : Probabilités
I - Dénombrement
p = nb de succès / nb total
1) Contexte
Pour calculer une probabilité, il est nécessaire de calculer le nb d’issu favorable ou le nb
d’issu total. L’objectif de ce chapitre est donc de dénombrer ces issus.
Pour choisir “p” objet parmis un ensemble “E” de petits “n” objets. Il faut se poser la
question du tirage avec ou sans remise avec ou sans ordre.
2) Notation factorielle
Dnas le cadre de l’analyse combinatoire (= de proba) nous allons découvrir une nouvelle
notation “N!” dit n factorielle . Il s’agit d’une notation économique qui se traduit comme
suit : n x (n-1)x(n-2) x … x 2 x 1 par convention 0! = 1.
exemple : 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
3) p_liste (avec ordre avec remise)
Étant donné un ensemble E de n objet la répétition est possible à chaque tirage. Il y a n
choix à chaque tirage.
Pour p tirage, il y a np nombre de liste
Exemple: nb de mots de 5 lettres qui sont possibles
p= 5 n= 26
265 = 11 881 876
4) Arrangement (avec ordre sans remise)
Étant donné un ensemble E de n objet, on appelle “arrangement” de p objet, toute suite
ordonné de petit p objet pris parmis n objet. Le nombre d’arrangement de p objets pris
parmis n est noté Anp = (n!) / ((n - p) !)
Exemple :
● combien a-t-on de possibilité de tirer 5 carte parmis 52 cartes.
,52P5 = 311 875 200
A525 = (52!) / ((52 - 5 )!) = (52!) / (47!) = 311 875 200
● Chercher le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux, combien ya-t-il
d’arrangements possibles ?
20P3 = A203 = 20! / (20-3)! = 6840
Cas particulier → Permutations (p = n)
Ex : 5 pers et 5 chaises. De combien de façon les 5 personnes peuvent s'asseoir.
→5! = A55 = 5! / (5-5)! = 5! / 0! = 5! (le 0! est égal à 1 pour ne pas niquer le calcul)
5) Combinaison (sans ordre sans remise) Simultanée
On appelle combinaison de p objet tout ensemble de t objet non ordonné pris parmis les n
objets. Le nombre de combinaisons de p objet parmis n est noté Cnp = (np) = n! / (p! (n-p)!)
Ex : Combien de combinaison de 5 cartes parmis 52 ?
C525 = 52! / 5!(52 - 5)! = 52! / 5!47! = 311 875 = 2 598 960
II - Vocabulaire
1) Exemple aléatoire
Une expérience aléatoire est une expérience qui vérifie 3 conditions :
- Elle conduit à des résultats possibles qu’on est parfaitement capable de nommer.
- On ne sait pas lequel de ses résultats va se produire quand on réalise l’expérience.
- L’expérience doit être reproductible dans les mêmes conditions.
2) Les événements
Les différentes issues possibles d’une expérience aléatoire sont appelées “événements
élémentaires”. Si on lance un dé à 6 faces, les événements élémentaires sont d’obtenir un
ou d’obtenir 2 ou 3 jusqu’à 6.
Un événement est une union d’événement élémentaire donc obtenir un nombre pair ou
obtenir un nb supérieur ou égal à 4 cad obtenir ou 4 ou 5 ou 6.
On appelle “Univers” l’union de tous les événements élémentaires d’une expérience
aléatoire.
,Exemple : dé à 6 faces, il est composé de 6 événements élémentaires, obtenir 1, obtenir 2,
… , obtenir 6
𝛀 = {1;2;3;4;5;6}
Ex : urne 1 boule rouge + 6 boules jaunes. Définir l’univers.
𝛀 = {Brouge; Bjaune} / {1Brouge ; 6Bjaune) / {Brouge; Bjaune, Bjaune, Bjaune, Bjaune,
Bjaune, Bjaune)
Les 3 formulations sont correctes, la plus précise et rapide et la deuxième.
3. Ensemble
Le langage et les ensembles sont très utilisés en proba. L'événement élémentaire “obtenir
1” = {1}, “obtenir un nombre pair” = {2} U {4} U {6} = {2;4;6}
L’univers est généralement noté “𝛀”.
Ex : jeu de 32 cartes : Définir l’univers, “tirer un roi”; “tirer as de coeur”.
𝛀 = {32 cartes}
“tirer de roi” = {roi de coeur, roi de pique, roi de trèfle, roi de carreaux}
“tirer un as” = { un as de coeur}
Ex : Urne avec 2 Bbanche, 3 Bjaunes, 4 BNoirs, univers, événement “tirer une boule clair”,
“tirer une boule blanche”?
𝛀 = { 2Bblanche, 3Bjaunes, 4Bnoirs }
“tirer une boule clair” = { 2Bblanches, 3Bjaunes }
“tirer une boule blanche” ={ 2boules blanches }
4. Union, intersection, complémentaire (diagramme de Venn)
● L’union de 2 événements A et B est un événement ou un ensemble qui contient tous
les événements élémentaires de A ainsi que tous ceux de B. A U B
“ou” = U
● L’intersection entre deux événements A et B est un événement qui contient tous les
événements qui sont à la fois dans A et dans B . On le note A inter B.
, “et” = ⋂
● Le complémentaire d’un événement A est l’ensemble qui contient tous les
événement élémentaires qui ne sont pas A . On parle d’événement contraire, on le
note Ā
A
● Deux événement sont incompatible si A ⋂ B = ø
III - Proba et variation aléatoire
1. Def de la proba d’un événement
Définir une loi de proba P d’une variable aléatoire X, s’est associé chaque valeur de xi de la
valeur aléatoire à un nombre pi tel que la somme des pi est égal à 1.
La probabilité d’un événement est donc comprise entre 0 et 1. Plus il est proche de 1, plus il
est sûr.
2. Proba d’un événement équiprobable
C’est un événement qui a autant de chance que les autres d’arriver. Si les n issus d’une
expérience aléatoire ont toutes la même chance d’être réalisé, on dit qu’elles sont
équiprobable, dans ce cas, la proba de chacune d’elle est de 1/n.
Dans toutes situation d’équiprobabilité, la proba d’un événement A est donné par la
formule suivante.
P(A) = nb d’issus favorable / nb d’issu total
Ex : 1 carte au hasard dans un jeu
𝛀 = {32 cartes}
calculer la proba de “tirer un roi”
“tirer un roi” = {roi de coeur, roi de pique, roi de trèfle, roi de carreaux}
P(ω)= 4/32 =⅛= 0,125
