Résumé Fonctions Numériques d’une Variable Réelle

Table des matières


Chapitre 1 : Fonctions Numériques d’une Variable Réelle ………………………… 2

Chapitre 2 : Développements Limités ……………………………………..………………….23

Chapitre 3 : Calcul d’intégrale ……………………………………………….………………….. 44

Chapitre 4 : Equations Différentielles …………………………………..…………………… 64

Chapitre 5 : Fonctions Numériques de plusieurs Variables ………………………… 76

Chapitre 6 : Intégrales double et triple ……….…………………….………………………..90




1

, C1. Fonctions d’une variable réelle

1 Généralités

Définition 1. Une fonction est une correspondance d’un ensemble 𝐸 dans un ensemble 𝐹 qui associe à
un élément 𝑥 de 𝐸 donné au plus un et un seul 𝑦 dans 𝐹 . On dit que 𝑦 est l’image de 𝑥 par la fonction
𝑓.
Si 𝐸 = 𝐷, alors la fonction 𝑓 est une application (chaque élément de E à une image et une seule de F)
Une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles est une application d’une partie D de ℝ dans ℝ.

Définitions 2. Soit 𝑓: 𝐷 → ℝ une fonction. On dit que :
 𝑓 est Majorée sur D si ∃𝑀 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀
Si 𝑓 est majorée, elle admet une borne supérieure (𝑠𝑢𝑝𝐷 𝑓 : plus petit majorant)
 𝑓 est Minorée sur D si ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚
Si 𝑓 est minorée, elle admet une borne inférieure (𝑖𝑛𝑓𝐷 𝑓 : plus grand minorant)
 𝑓 est Bornée sur D si elle est majorée et minorée,
 𝑓 est Paire, si ∀𝑥 ∈ 𝐷 −𝑥∈𝐷 𝑒𝑡 𝑓 (−𝑥) = 𝑓(𝑥)
 𝑓 est Impaire, si ∀𝑥 ∈ 𝐷 −𝑥 ∈𝐷 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
𝑥+𝑇 ∈ 𝐷
 𝑓 est Périodique, si ∃𝑇 ∈ ℝ∗ ∀𝑥 ∈ 𝐷 { 𝑒𝑡 𝑓 (𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥)
𝑥−𝑇 ∈ 𝐷


2 Limites

2.1 Limite en un point
Soit 𝑓: 𝐼 → ℝ une fonction définie sur un intervalle I de ℝ. Soit 𝑎 ∈ ℝ un point de I ou une extrémité
de 𝐼 et Soit 𝑙 ∈ ℝ. On notera 𝑉𝑎 tout voisinage de 𝑎 (càd toute partie de ℝ qui contient un intervalle
ouvert de centre a)

Définitions 3.
 On dit que 𝑓 a pour limite 𝑙 en a si et seulement si (ssi):
∀𝜀 > 0, ∃𝜂 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉𝑎 ( |𝑥 − 𝑎 | ≤ 𝜂 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝑙 | ≤ 𝜀 )
On note : 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 ou 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙
𝑥→𝑎 𝑎

 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝐴 ∈ ℝ, ( 𝑥 ≥ 𝐴 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝑙 | ≤ 𝜀 )
𝑥→+∞

 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ ∀𝐴 > 0, ∃𝜂 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝑉𝑎 ( |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝜂 ⟹ 𝑓(𝑥) ≥ 𝐴
𝑥→𝑎

 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = +∞ ⇔ ∀𝐴 > 0, ∃𝐵 > 0, ( 𝑥 ≥ 𝐵 ⟹ 𝑓 (𝑥) ≥ 𝐴 )
𝑥→+∞




2

, On dit que 𝑓 admet 𝑙 pour limite à droite de 𝑎 ( 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) = 𝑙) ssi :
𝑥→𝑎

∀𝜀 > 0, ∃𝜂 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝑉𝑎 , ( 0 < 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝜂 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝑙 | ≤ 𝜀 )
 On dit que 𝑓 admet 𝑙 pour limite en 𝑎 ssi : 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑙
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎


Proposition 1. Si 𝒇 admet une limite 𝒍 en 𝒂, alors elle est unique.

2.2 Opérations sur les limites
Propositions 2. Soit 𝑎 un nombre réel ou 𝑎 = ∞.
 Si 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞ 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = 𝑙 alors 𝑙𝑖𝑚(𝑓 + 𝑔) = +∞…
𝑎 𝑎 𝑎

 si 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞ 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = −∞ alors 𝑙𝑖𝑚(𝑓. 𝑔) = −∞ …
𝑎 𝑎 𝑎

 si 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞ 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = 𝑙 < 0 alors 𝑙𝑖𝑚(𝑓. 𝑔) = −∞ …
𝑎 𝑎 𝑎
𝑓
 si 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = +∞ 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙 < 0 alors 𝑙𝑖𝑚 (𝑔) = 0− …
𝑎 𝑎 𝑎
𝑓
 si 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = 0− 𝑒𝑡 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙 < 0 alors 𝑙𝑖𝑚 (𝑔) = +∞ …
𝑎 𝑎 𝑎

 si 𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙 et 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = 𝑙′, alors 𝑙𝑖𝑚(𝑔𝑜𝑓) = 𝑙′
𝑎 𝑙 𝑎

1 1
Exemple 1. Fonction composée : 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑛( ) = −∞ car 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 0+ et 𝑙𝑖𝑚+ 𝑙𝑛(𝑋) = −∞
𝑥→+∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥 𝑋→0

Formes indéterminées: dans les situations suivantes, on ne peut pas calculer les limites directement:
0 ∞
, , + ∞ − ∞, 0. ∞, 00 , 1∞ , ∞0
0 ∞
Pour lever une indétermination, on pourrait factoriser, simplifier, développer, multiplier par la partie
conjuguée, décomposer, réduire au même dénominateur…comme on pourrait utiliser les limites
suivantes :

Limites à savoir : ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ∗+ , nous avons :

(𝑙𝑛 𝑥) 𝛽
𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑛 𝑥 = +∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥𝛼
= 0+ 𝑙𝑖𝑚 𝑙𝑛 𝑥 = −∞
𝑥→+∞ 𝑥→+∞ 𝑥→0+

𝑙𝑛(1 + 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥
𝑙𝑖𝑚+𝑥 𝛼 (𝑙𝑛 𝑥)𝛽 = 0 𝑙𝑖𝑚 =1 𝑙𝑖𝑚 =1
𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥→1 𝑥 − 1

𝑒 𝛼𝑥
𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥 = +∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥 = 0+ 𝑙𝑖𝑚 = +∞
𝑥→+∞ 𝑥→−∞ 𝑥→+∞ 𝑥 𝛽

𝑒 𝑥−1 𝑒𝑥
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝛼 𝑒 𝑥 = 0 𝑙𝑖𝑚 𝑥
=1 𝑙𝑖𝑚 = +∞
𝑥→−∞ 𝑥→0 𝑥→+∞ 𝑙𝑛 𝑥

𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥) 𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝑎𝑥) 𝑎 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥) 𝑎 2
𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 =
𝑥→0 𝑏𝑥 𝑏 𝑥→0 𝑏𝑥 𝑏 𝑥→0 𝑥2 2

Parfois, il est important d’utiliser les théorèmes suivants pour calculer certaines limites (FI) :


3

, Théorème d’encadrement 3 (des gendarmes). Soient 𝒇, 𝒈, 𝒉 des fonctions définies au voisinage 𝑽𝒂
𝑙𝑖𝑚 𝑓 = 𝑙
𝑎
Si { 𝑙𝑖𝑚 ℎ = 𝑙 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = 𝑙
𝑎 𝑎
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) 𝑎𝑢 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑎

Proposition 4. Soient 𝒇, 𝒈 des fonctions définies au voisinage 𝑽𝒂 de 𝒂
𝑙𝑖𝑚 𝑓 = +∞
Si { 𝑎 alors 𝑙𝑖𝑚 𝑔 = +∞
𝑓 (𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑎𝑢 𝑣𝑜𝑖𝑠𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑎 𝑎


𝟑𝒙−𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙)
Exemple 2. Calculer : 𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) où 𝒈(𝒙) = 𝟏−𝟐𝒙
𝒙→+∞

( ) ( )
Soit 𝑥 ∈] 2 , +∞[, {−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ≤ +1 ⇒ 3𝑥 − 1 ≤ 3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ≤ 3𝑥 + 1
1
1 − 2𝑥 < 0
3𝑥 + 1 3𝑥 − 1
⇒ ≤ 𝑔(𝑥) ≤
1 − 2𝑥 1 − 2𝑥
3𝑥 + 1 3 3𝑥 − 1 3 3
or 𝑙𝑖𝑚 =− et 𝑙𝑖𝑚 =− donc 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = −
𝑥→+∞ 1 − 2𝑥 2 𝑥→+∞ 1 − 2𝑥 2 𝑥→+∞ 2

3 Continuité

3.1 Continuité en un point

Définitions 4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et 𝒂 ∈ 𝑰, on dit que 𝒇 est continue en 𝒂 si
𝒇(𝒙) est aussi voisin que l’on veut de 𝒇(𝒂) quand x est suffisamment voisin de 𝒂

⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝜂 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼 ( |𝑥 − 𝑎| ≤ 𝜂 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝑓 (𝑎 )| ≤ 𝜀 ).

Propositions 5. Soit 𝒇 une fonction définie sur un intervalle 𝑰 et 𝒂 ∈ 𝑰. On dit que :
 𝑓 est continue en 𝑎 ⇔ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑎)
𝑥→𝑎

 𝑓 est continue à droite en 𝑎 ⇔ 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎

 𝑓 est continue à gauche en 𝑎 ⇔ 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎

 𝑓 est continue en 𝑎 ⇔ 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)
𝑥→𝑎 + 𝑥→𝑎


 On dit que 𝑓 est discontinue en 𝑎, si et seulement si 𝑓 n’est pas continue en 𝑎.

𝒙+𝟏 𝒔𝒊 𝒙<𝟐
𝒙𝟑 −𝟖
Exemple 3. Continuité de la fonction 𝒇 en 𝒙𝟎 = 𝟐: 𝒇(𝒙) = { 𝒙𝟐 −𝟒
𝒔𝒊 𝒙>𝟐 .On a :
𝒇 (𝟐 ) = 𝟑
𝑙𝑖𝑚− 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚− (𝑥 + 1) = 3 = 𝑓(2) donc 𝑓 est continue en 𝑥0 = 2 à gauche ;
𝑥→2 𝑥→2

𝑥3 − 8 (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) (𝑥 2 + 2𝑥 + 4)
𝑙𝑖𝑚+ 𝑓 (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+ ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 3 = 𝑓 (2)
𝑥→2 𝑥→2 𝑥2 − 4 𝑥→2+ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥→2− (𝑥 + 2)



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