EXAMEN DE ALGEBRA E.T.S.I.A. 24 DE
ENERO 2013
CUESTIONES
1) Demostrar que el polinomio característico de una matriz cuadrada A y el de su
traspuesta, coinciden.
2) Sea el espacio vectorial ℝ 3 , y los subespacios vectoriales A = x, y, z ∈ ℝ 3 /
x + y = 0, B = 〈1, −1, 2〉 . Hallar los subespacios vectoriales A ∩ B y A + B, así como
una base de ellos.
3) Sea f : ℝ 2 x → ℝ 2 x , dada por: fpx = 2p′x − p′′x. hallar la matriz asociada a
f respecto de la base canónica de ℝ 2 x. Hallar el núcleo y una base del núcleo.
4) Sea ℝ 2 un espacio vectorial en el que se ha definido el producto escalar dado por la
1 −1
matriz de Gram, G = . Dada la base canónica de ℝ 2 , hallar una base
−1 2
ortonormal a partir de ella.
PROBLEMAS
1) a) Hallar las raices no nulas de la ecuación: z 3 = z .
b) Representar graficamente las soluciones de dicha ecuación y calcular el perimetro
del poligono que se obtiene.
3 2 4
2) Dada la matriz: A = 2 0 2 a) Hallar los valores y vectores propios de A.
4 2 3
b) Decir si es o no diagonalizable y porqué. Hallar la matriz diagonal y la matriz P de
cambio de base.
3) Se dispone de 12 hectáreas de terreno y se desea cultivar en ellas maíz, soja y
avena. La producción de maíz requiere 6 horas de trabajo y 36 unidades monetarias de
inversión de capital por cada hectárea. La de soja requiere 6 horas de trabajo y 24 u.m.
por hectárea y la de avena requiere 2 horas y 18 u.m. por hectárea. Los beneficios
netos, por hectárea, de cada cultivo son: 40 u.m. para el maíz; 30 u.m. para la soja y 20
u.m. para la avena. Sólo se dispone de 48 horas de trabajo y 360 u.m. ¿cuántas
hectáreas se deben destinar a cada tipo de cultivo? ¿Qué beneficio neto total se
obtendrá?
DURACIÓN: 3 HORAS. CADA CUESTIÓN SE PUNTUARÁ CON 1
PUNTO Y CADA PROBLEMA CON 2 PUNTOS.
ENERO 2013
CUESTIONES
1) Demostrar que el polinomio característico de una matriz cuadrada A y el de su
traspuesta, coinciden.
2) Sea el espacio vectorial ℝ 3 , y los subespacios vectoriales A = x, y, z ∈ ℝ 3 /
x + y = 0, B = 〈1, −1, 2〉 . Hallar los subespacios vectoriales A ∩ B y A + B, así como
una base de ellos.
3) Sea f : ℝ 2 x → ℝ 2 x , dada por: fpx = 2p′x − p′′x. hallar la matriz asociada a
f respecto de la base canónica de ℝ 2 x. Hallar el núcleo y una base del núcleo.
4) Sea ℝ 2 un espacio vectorial en el que se ha definido el producto escalar dado por la
1 −1
matriz de Gram, G = . Dada la base canónica de ℝ 2 , hallar una base
−1 2
ortonormal a partir de ella.
PROBLEMAS
1) a) Hallar las raices no nulas de la ecuación: z 3 = z .
b) Representar graficamente las soluciones de dicha ecuación y calcular el perimetro
del poligono que se obtiene.
3 2 4
2) Dada la matriz: A = 2 0 2 a) Hallar los valores y vectores propios de A.
4 2 3
b) Decir si es o no diagonalizable y porqué. Hallar la matriz diagonal y la matriz P de
cambio de base.
3) Se dispone de 12 hectáreas de terreno y se desea cultivar en ellas maíz, soja y
avena. La producción de maíz requiere 6 horas de trabajo y 36 unidades monetarias de
inversión de capital por cada hectárea. La de soja requiere 6 horas de trabajo y 24 u.m.
por hectárea y la de avena requiere 2 horas y 18 u.m. por hectárea. Los beneficios
netos, por hectárea, de cada cultivo son: 40 u.m. para el maíz; 30 u.m. para la soja y 20
u.m. para la avena. Sólo se dispone de 48 horas de trabajo y 360 u.m. ¿cuántas
hectáreas se deben destinar a cada tipo de cultivo? ¿Qué beneficio neto total se
obtendrá?
DURACIÓN: 3 HORAS. CADA CUESTIÓN SE PUNTUARÁ CON 1
PUNTO Y CADA PROBLEMA CON 2 PUNTOS.
