Intégrale de riemann

Chapitre 1

Intégrale de Riemann


Par Pr. Driss Zeglami



Dans ce chapitre, [a, b] désignera un segment de R (avec a < b) et toutes les fonctions considérées
seront à valeurs réelles.


1 Intégrale d'une fonction en escalier


1.1 Subdivisions d'un segment

Définition 1.1
Une subdivision du segment [a, b] est une suite
nie σ = (xi )0≤i≤n de points de [a, b] véri
ant

x0 = a < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

ˆ L'ensemble {a = xo , x1 , . . . , xn = b} est appelé le support de la subdivision σ .
ˆ Le nombre δ(σ) = max (xi+1 − xi ) s'appelle le pas de la subdivision σ .
0≤i≤n−1




Exemple
3
σ = (−1, 1, , 3, 4) est une subdivision de l'intervalle [−1, 4] dont le pas est égal à 2 :
2




Définition 1.2
Une subdivision σ = (xi )0≤i≤n de [a, b] est dite régulière (ou uniforme) si la diérence xi+1 − xi
est constante pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.


1

,2 Intégrale de Riemann




Cela revient à découper le segment [a, b] en n sous-intervalles de même longueur. Ainsi, pour n

xé, il n'y a en fait qu'une seule subdivision régulière possible. On peut parler donc de la subdivision
régulière d'ordre n de [a, b]. Elle est donnée par


i
xi = a + (b − a) pour tout i ∈ {0, 1, . . . , n},
n
et son pas est égal à n .
b−a



Exemple
1 3 11
σ = (−1, , , , 4) est la subdivision régulière d'ordre 4 de l'intervalle [−1, 4] :
4 2 4




Définition 1.3
Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. On dit que σ est plus
ne que σ 0 si le support de σ contient
celui de σ 0 .



Exemples 1. σ = (0, 31 , 21 , 23 , 1) et σ 0 = (0, 12 , 1) sont deux subdivisions de [0, 1] telles que σ
est plus
ne que σ 0 .
2. σ = (0, 31 , 1) et σ 0 = (0, 23 , 1) sont deux autres subdivisions de [0, 1] et aucune des deux
subdivisions n'est plus
ne que l'autre.


Soient σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b]. Il existe une subdivision de [a, b] notée σ ∪ σ 0 dont le
support est la réunion de ceux de σ et σ 0 : on réunit les deux supports, puis on élimine les doublons
et en
n on classe les réels obtenus dans l'ordre croissant.
Par exemple, si σ = (0, 31 , 21 , 1) et σ 0 = (0, 14 , 12 , 23 , 1), alors σ ∪ σ 0 = (0, 14 , 13 , 12 , 23 , 1).


Lemme 1.1
Si σ et σ 0 sont deux subdivisions de [a, b], alors la subdivision σ ∪ σ 0 est plus
ne que σ et σ 0 .



1.2 Fonctions en escalier

Définition 1.4
Soit f une fonction dé
nie sur [a, b]. On dit que f est en escalier sur [a, b] s'il existe une subdivision
σ = (xi )0≤i≤n de [a, b] telle que f soit constante sur chaque intervalle ]xi , xi+1 [, où i ∈ {0, 1, 2, . . . , n−
1}. Une telle subdivision σ est dite adaptée (ou associée) à f .
On désignera par E([a, b]) l'ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] à valeurs dans R.

, 1. Intégrale d'une fonction en escalier 3




Ainsi, si f est une fonction en escalier sur [a, b] et si σ = (xi )0≤i≤n est une subdivision adaptée
à f , il existe des constantes réelles λi , i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}, telles que
∀t ∈ ]xi , xi+1 [ , f (t) = λi .

La
gure ci-dessous représente une fonction en escalier f sur le segment [a, b].




Exemples 1. Toute fonction constante sur [a, b] est en escalier sur [a, b].
2. La fonction f : [0, 2] → R dé
nie par :

 1 si 0 ≤ t < 1


f (t) = −1 si t = 1
2 si 1 < t ≤ 2


est en escalier sur [0, 2]. Pour le voir, il su
t de remarquer que la subdivision (0, 1, 2) est
adaptée à f .
3. La fonction  partie entière  est en escalier sur tout segment de R.

Remarques 1.1 1. Si f ∈ E([a, b]) alors f est bornée sur [a, b]. En eet, f ne prend qu'un
nombre
ni de valeurs (au plus 2n + 1 valeurs).
2. Si σ est une subdivision adaptée à f , alors toute subdivision plus
ne que σ est également
adaptée à f .


Propriétés 1.1
Soient f, g ∈ E([a, b]) et α, β ∈ R. Alors
1. la fonction |f | est en escalier sur [a, b].
2. les fonctions αf + βg et f g sont en escalier sur [a, b].
f
3. si g ne s'annule pas sur [a, b], la fonction est en escalier sur [a, b].
g



Démonstration. Il est clair que la fonction |f | est en escalier sur [a, b].
Soient maintenant σ et σ 0 deux subdivisions de [a, b] adaptées respectivement à f et g . Comme la
subdivision σ ∪ σ 0 est plus
ne que σ et σ 0 donc elle est adaptée en même temps aux deux fonctions
f et g . Ainsi, si on note σ ∪ σ 0 = (xi )0≤i≤n , les fonctions f et g sont constantes sur chacun des
intervalles ]xi , xi+1 [, i ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1}, et par conséquent il en est de même pour les fonctions
f
αf + βg , f g et . Ce qui achève la preuve.
g