Cours d’algèbre: Matrices, déterminants, Inverse d’une matrice carrée et Systèmes d’´equations linéaires

Cours d’algèbre
SVI - STU
Module S1
Prof. H. HJIAJ


Année Universitaire :
2020-2021

,Table des matières



1 Matrices 3
1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Définitions et opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Produit d’une matrice par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Matrice transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Opérations élémentaires lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.6 Matrices échelonnées lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Déterminants 15
2.1 Déterminants des matrices carrées d’ordre 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Calcule des déterminants d’ordres 2 et 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Régle de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Déterminants des matrices carrées d’ordres n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Déterminant d’ordre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Propriétés des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Inverse d’une matrice carrée 18
3.1 Une matrice carrée inversible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Matrice adjointe d’une matrice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Méthode pour obtenir l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Systèmes d’équations linéaires 24


1

,4.1 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.1 Equation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.2 Système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.4 Résolution d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.5 Méthode de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Système de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Discussions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30




2

, Chapitre 1
Matrices

1.1 Matrices

1.1.1 Définitions et opérations sur les matrices
Définition 1.1.1
Une matrice de type (n, p) (n lignes, p colonnes), est un tableau de coefficients de R.

1ère ligne
 
a1,1 a1,2 · · · · · · · · · a1,p ←− la
a2,1 a2,2 · · · · · · · · · a2,p 2ème ligne
 
  ←− la
.. .. ..
 

. . .
 ..
  .
(ai,j )1≤i≤n = .. .. ..
 
ième ligne
 
1≤j≤p 
 . . ai,j . 
 ←− la
 .. .. ..  ..

 . . . 
 .
an,1 an,2 · · · · · · · · · an,p ←− la nème ligne
↑ ↑
1ère colonne pème colonne
Lorsque n = p, on parlera alors d’une matrice carrée d’oredre n.

Exemple 1.1.1

1. La matrice A définie par : !
1 2 3
A=
6 3 5
est une matrice réel de type (2, 3),
2. La matrice B défine par :  
1 −1 0
B= 1 1 5 
 

0 3 1
est une matrice carrée d’ordre 3, ou une matrice de type (3, 3).

3