OMPI 4 - ESPACES DE HILBERT

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OPMI 4 - ESPACES DE
HILBERT

Def Soit F- ( R E ) muni d' un
produit scalaire
•
: un eu sur ou




C. ,
.
) et de la norme associée A. NE ( Nulle = (n ,xIÉ
"
)
si F- en
couplet par cette norme , on dit
que F-

est un
espace de Hilbert


•

Exemple .
l' ( IN, IR ) =
tu = ( un )n«NE IR
""
/ Étant < + a
} est un
espace
de
n=c


Hilbert réel .
( Uiv ) =
Ê ""
eyw.pe) no


E)
"
•
l' ( II ,
=
fu -
_
tuer)n←≥ C- E / Etais k£2
+ a
} est un
espace
de

Hilbert
complexe .
(u ,
v44≥ ,
¢)
=
Ëukvk
- cs




•
Théorème :
(Inégalité de Cauchy -
Schwartz )
soit E un evn muni d' un
produit scalaire f. g.) E .




On a ta , y C- F- / la , y / Et ≤ llx "
E ✗
KYLIE


•
Preuve : ( cas où 1K = IR )
Soir
f- ( H =
Unity HÉ 70
on a
f- ( t ) Catty 2++4 ) E
=
,



Hutte
= 2T ( y )É + n, + t' IIYHÈ
Un,y ) Hall ,Î
'
Donc O = 12 -

11414=2 ≤ 0

Donc Ila g) Et ≤, Halle UYHE


°

Exemple :



E l' ( Z C)

/ Él uàvn
=
, "'
☐




(Ë ( État )
"
ltyv C- l' ( Z et , ,
-




→
≤
-
p
/ va / 2) - W




•
F- = ETG , i ,
IR) muni de ( air ), , = f! Uv ( espace Hilbert )
"
Collait IR) / SI nul ( Ku ) ( Ii )
"
tu,v C- ,
≤ '
'




completé Hilbert
le de
Cauchy de F- et l'
espace de

L2 ( [0,1] ; IR) ( Cf cours ANACS )


l