1
OMPI 5 - CALCUL
DIFFÉRENTIEL
I. Notion de
différentielle .
•
De / : Sal E, F deux Banach ,
R C E ouvert et
f : d →
F. Set
dit s' il
x EI .
on
que f et
différentiable en x existe LEXIE ,
-5 )
top flair ) =
flat + Llh ) + ◦ (h )
luth C- le
ait
i. e VE > ci Jr > o
by the F-
; on :
yann ≤ r
llflnth ) -
f- ( n ) -
L (4) 11F ≤ EMUE
si L existe , L a- unique .
on note
daf ( en
dfln ) Daf ,
. . . ) et
on l'
appelle la
différentielle de fer x . on a donc :
f- luth ) =
f- In) +
daflhl + ◦ (h )
Def
•
:
^ si f- à
différentielle en tout peint de R ,
on dit
que f- et
✗ ( Eif )
différentiable sur r et on rate alors :
df : R -
x - daf .
2 Si
f clone '
centime dit e
df à sur I ,
on
que
et de sur 1 .
•
Def : si df et elle - même différentiable en x ,
on rate
D' fln ) C- ✗( E , LLE, F )) = Le / F- ✗ E F) , .
on l' appelle la différentielle seconde de
f-
en x .
Cn a le
termite de Taylor d' ordre 2 :
f- la -1h ) finit daflh ) { D'fln ) ( h.h )
= +
+
011th / l'µ )
Cn seconde d de
parle de même de
différentielle sur
'
deux C etc . .
.
•
Remarque :
dérivés d'
f
on a
le lien avec les une
fonction :(R→R
dxflh ) f- (
'
= x ) h
f- ( ) h.hr
"
D' flnllhi.hr ) = n
, "" " 2
◦
Exercice : Soit A E IR et b E IR . Set attention
-5
R" relation xt
IR
f
→
:
{setae y, transposé
7121
-
" →
=
différentielles
"
Montrer
que f ai l et calculer les de
f
"
à tout ordre en x E IR -
fer
"
polynomiale donc C .
f- la -1h ) =
{ (ath ) Taleth ) -
btlxeh )
=
% ( n-TAK-ihTAx-ath-h-hTA.tn)
-
BI -
bth
f- ( ) ( { n' Ah { HAK bih ) { KAH
_
= n +
+ -
+ +
0
xtAh-t.bTAx-bth.is?flh,hl=hTAhDflh,h')=1z(hTAh'-ih'TAh
Donc daflh ) =
{
)
I. Calcul différentiel dans IR
De/ Sat fin IN
différentiable
"
•
: RC IR ; → en a C- R
, .
Rn )
dxf
" ""
C- ✗( Rn , E IR
la matrice
representant chef et
appelée la matrice jacobienne de f-
au
peintre et on a :
afin)
'
-
2¥71
- - - - -
-
are ,
[ daf ] = : E R
" "
i. ;
afmlal
-
ann
. . _ . .
fÇˢ n
In ) -
la carré determinant
Si m = n
,
matrice
jacobienne et ,
sa
le f-
est
appelé jacobien de au
pont x .
•
Remarque : on rate souvent en
physique .
dat =
Ê ftp.lxldai avec da .
C- ✗ ( Rmx IR )
-
vecteur de RM
th ⇐
( Y;) dxilhthi
OMPI 5 - CALCUL
DIFFÉRENTIEL
I. Notion de
différentielle .
•
De / : Sal E, F deux Banach ,
R C E ouvert et
f : d →
F. Set
dit s' il
x EI .
on
que f et
différentiable en x existe LEXIE ,
-5 )
top flair ) =
flat + Llh ) + ◦ (h )
luth C- le
ait
i. e VE > ci Jr > o
by the F-
; on :
yann ≤ r
llflnth ) -
f- ( n ) -
L (4) 11F ≤ EMUE
si L existe , L a- unique .
on note
daf ( en
dfln ) Daf ,
. . . ) et
on l'
appelle la
différentielle de fer x . on a donc :
f- luth ) =
f- In) +
daflhl + ◦ (h )
Def
•
:
^ si f- à
différentielle en tout peint de R ,
on dit
que f- et
✗ ( Eif )
différentiable sur r et on rate alors :
df : R -
x - daf .
2 Si
f clone '
centime dit e
df à sur I ,
on
que
et de sur 1 .
•
Def : si df et elle - même différentiable en x ,
on rate
D' fln ) C- ✗( E , LLE, F )) = Le / F- ✗ E F) , .
on l' appelle la différentielle seconde de
f-
en x .
Cn a le
termite de Taylor d' ordre 2 :
f- la -1h ) finit daflh ) { D'fln ) ( h.h )
= +
+
011th / l'µ )
Cn seconde d de
parle de même de
différentielle sur
'
deux C etc . .
.
•
Remarque :
dérivés d'
f
on a
le lien avec les une
fonction :(R→R
dxflh ) f- (
'
= x ) h
f- ( ) h.hr
"
D' flnllhi.hr ) = n
, "" " 2
◦
Exercice : Soit A E IR et b E IR . Set attention
-5
R" relation xt
IR
f
→
:
{setae y, transposé
7121
-
" →
=
différentielles
"
Montrer
que f ai l et calculer les de
f
"
à tout ordre en x E IR -
fer
"
polynomiale donc C .
f- la -1h ) =
{ (ath ) Taleth ) -
btlxeh )
=
% ( n-TAK-ihTAx-ath-h-hTA.tn)
-
BI -
bth
f- ( ) ( { n' Ah { HAK bih ) { KAH
_
= n +
+ -
+ +
0
xtAh-t.bTAx-bth.is?flh,hl=hTAhDflh,h')=1z(hTAh'-ih'TAh
Donc daflh ) =
{
)
I. Calcul différentiel dans IR
De/ Sat fin IN
différentiable
"
•
: RC IR ; → en a C- R
, .
Rn )
dxf
" ""
C- ✗( Rn , E IR
la matrice
representant chef et
appelée la matrice jacobienne de f-
au
peintre et on a :
afin)
'
-
2¥71
- - - - -
-
are ,
[ daf ] = : E R
" "
i. ;
afmlal
-
ann
. . _ . .
fÇˢ n
In ) -
la carré determinant
Si m = n
,
matrice
jacobienne et ,
sa
le f-
est
appelé jacobien de au
pont x .
•
Remarque : on rate souvent en
physique .
dat =
Ê ftp.lxldai avec da .
C- ✗ ( Rmx IR )
-
vecteur de RM
th ⇐
( Y;) dxilhthi
