3-Wiskunde// 2021-2022
Vincent Jacobs
3-Wiskunde
o Hoorcollege (12+1)
o Oefenzitting (6)
o Practica (4) → 2/20 punten
Overzicht
o Krommen en oppervlakten in de ruimte
o Studie/beschrijving van oppervlakten
o Schetsen van kwadrieken
o Raaklijncriterium
o Dubbele integralen
o Drievoudige integralen
o Lijnintegralen
o Extremen van functies (stationair punten)
o Eigenwaarden en eigenvectoren
o De 𝜆-methode
o Kleinste kwadraten berekeningen
o PCA-methode
Overzicht van bewijzen
1. Raaklijncriterium
2. Bolcoördinaten
3. Fubini voor een rechthoek
4. Aard van stationaire punten (via Taylor)
5. Stelling van Green
6. 𝜆-methode
7. Kleinste kwadraten methode
8. PCA – methode
Overzicht van deze samenvatting
Deel 1 Ruimtemeetkunde
1/ Krommen en oppervlakte
2/ Regeloppervlakken en omwentelingslichamen
3/ Schetsen van kwadrieken
4/ Cilinder en Bolcoördinaten → uitgebreider bij deel 2
Deel 2 Meervoudige Integralen
1/ dubbele integralen
2/ dubbele integralen
3/ Lijn integralen
Deel 3 Lineaire Algebra
1/ Extremen van functies
2/ Eigenwaarden en Eigenvectoren
3/ Kleinste kwadraten benadering (KKB)
4/ PCA (alternatief van KBB)
, 3-Wiskunde // 2021-2022
DEEL 1 Ruimtemeetkunde
1: Krommen en oppervlakken in de ruimte
Herhaling
Stelsel parameter vergelijking (SPV)
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑓(𝑡)
Cartesische vergelijking (CV)
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
→ impliciet afleiden
𝐹!" (𝑥# , 𝑦# )(𝑥 − 𝑥# ) + 𝐹$" (𝑥# , 𝑦# )(𝑦 − 𝑦# ) = 0
Ruimtemeetkunde
→ geen richtingscoëfficiënt
⇒ maar wel richting getallen van een rechte
SPV van een rechte → k is de parameter
𝑥 = 𝑥# + 𝑘 ∙ 𝑎
0𝑦 = 𝑦# + 𝑘 ∙ 𝑏
𝑧 = 𝑧# + 𝑘 ∙ 𝑐
CV van een rechte
𝑥 − 𝑥# 𝑦 − 𝑦# 𝑧 − 𝑧#
= =
𝑎 𝑏 𝑐
CV van een vlak
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
→ 2 vergelijkingen van deze vorm geeft een rechte
→ snijlijn tussen 2 vlakken
1.1 Oppervlakken in de ruimte
Vb: Boloppervlak
(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏)(𝑧 − 𝑐) = 𝑟 %
→ met M(a,b,c) → middelpunt
Algemeen: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
→ CV van een vlak in de ruimte
Dan kunnen we 2 dingen definiëren
o Raaklijn
o Raakvlak
1.2 Krommen in de ruimte
<𝑟&" (𝑡# ), 𝑟%" (𝑡# ), 𝑟'" (𝑡# )=
→ RG van de raaklijn aan de kromme
1.3 Raakvlak aan een oppervlak 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
→ in een bepaald punt
Hier volgt een bewijs dat mijn hoofd niet aankan
Bewijs
-2-
Vincent Jacobs
3-Wiskunde
o Hoorcollege (12+1)
o Oefenzitting (6)
o Practica (4) → 2/20 punten
Overzicht
o Krommen en oppervlakten in de ruimte
o Studie/beschrijving van oppervlakten
o Schetsen van kwadrieken
o Raaklijncriterium
o Dubbele integralen
o Drievoudige integralen
o Lijnintegralen
o Extremen van functies (stationair punten)
o Eigenwaarden en eigenvectoren
o De 𝜆-methode
o Kleinste kwadraten berekeningen
o PCA-methode
Overzicht van bewijzen
1. Raaklijncriterium
2. Bolcoördinaten
3. Fubini voor een rechthoek
4. Aard van stationaire punten (via Taylor)
5. Stelling van Green
6. 𝜆-methode
7. Kleinste kwadraten methode
8. PCA – methode
Overzicht van deze samenvatting
Deel 1 Ruimtemeetkunde
1/ Krommen en oppervlakte
2/ Regeloppervlakken en omwentelingslichamen
3/ Schetsen van kwadrieken
4/ Cilinder en Bolcoördinaten → uitgebreider bij deel 2
Deel 2 Meervoudige Integralen
1/ dubbele integralen
2/ dubbele integralen
3/ Lijn integralen
Deel 3 Lineaire Algebra
1/ Extremen van functies
2/ Eigenwaarden en Eigenvectoren
3/ Kleinste kwadraten benadering (KKB)
4/ PCA (alternatief van KBB)
, 3-Wiskunde // 2021-2022
DEEL 1 Ruimtemeetkunde
1: Krommen en oppervlakken in de ruimte
Herhaling
Stelsel parameter vergelijking (SPV)
𝑥 = 𝑓(𝑡)
𝑦 = 𝑓(𝑡)
Cartesische vergelijking (CV)
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0
→ impliciet afleiden
𝐹!" (𝑥# , 𝑦# )(𝑥 − 𝑥# ) + 𝐹$" (𝑥# , 𝑦# )(𝑦 − 𝑦# ) = 0
Ruimtemeetkunde
→ geen richtingscoëfficiënt
⇒ maar wel richting getallen van een rechte
SPV van een rechte → k is de parameter
𝑥 = 𝑥# + 𝑘 ∙ 𝑎
0𝑦 = 𝑦# + 𝑘 ∙ 𝑏
𝑧 = 𝑧# + 𝑘 ∙ 𝑐
CV van een rechte
𝑥 − 𝑥# 𝑦 − 𝑦# 𝑧 − 𝑧#
= =
𝑎 𝑏 𝑐
CV van een vlak
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
→ 2 vergelijkingen van deze vorm geeft een rechte
→ snijlijn tussen 2 vlakken
1.1 Oppervlakken in de ruimte
Vb: Boloppervlak
(𝑥 − 𝑎)(𝑦 − 𝑏)(𝑧 − 𝑐) = 𝑟 %
→ met M(a,b,c) → middelpunt
Algemeen: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
→ CV van een vlak in de ruimte
Dan kunnen we 2 dingen definiëren
o Raaklijn
o Raakvlak
1.2 Krommen in de ruimte
<𝑟&" (𝑡# ), 𝑟%" (𝑡# ), 𝑟'" (𝑡# )=
→ RG van de raaklijn aan de kromme
1.3 Raakvlak aan een oppervlak 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0
→ in een bepaald punt
Hier volgt een bewijs dat mijn hoofd niet aankan
Bewijs
-2-
