Résumé sur les mathématiques limites et continuités 1

Benmoussa Mohammed

page - 1 - NIVEAU : 2PC - SVT CONTINUITE

 f est continue au point x0  lim f (x)  f (x0 )
x  x0

 Continuité  f est continue à droite du point x0  lim f (x)  f (x0 )
x  x0
 à droite
 f est continue à gauche du point x0  lim f (x)  f (x0 )
 à gauche x  x0–


 f est continue au point x 0 équivalent à f continue à droite et à gauche de x 0
 
 f est continue sur un intervalle ouvert I  a,b  pour tout x de I ; f est continue en x .

 f est continue sur  a,b  f est continue sur a,b et f est continue à droite de a .
Continuité
Sur intervalle  f est continue sur a,b  f est continue sur a,b et f est continue à gauche de b .
 f est continue sur  a,b  f est continue sur a,b et f est continue à droite de a et à
gauche de b .
f est continue sur I et g est continue sur I .
 Les fonctions f  g et f  g et f ,     sont continues sur I .
Operations sur
les fonctions
continues 1 f
I  Les fonctions et sont continues sur I ( pour x  I tel que g  x   0 ) .
g g
 Toute fonction polynôme est continue sur Df  .
 Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition Df .
Continuités des  Les fonctions f  x   sin x et g  x   cos x sont continues sur .
fonctions
usuelles  
 La fonction x tan x est continue sur \   k,k   .
2 
 La fonction f(x)  x est continue sur  0,  .
Image d’ un  Image du segment  a,b  par une fonction continue est un segment J   m,M  ( m= la
intervalle par plus petite image M= la plus grande image par f des éléments de  a,b  ) f  a,b  m,M   
une fonction
continue  Image d’un intervalle I par une fonction continue est un intervalle J . On note J  f  I  .
Si la fonction est continue et strictement croissante

f   a,b   f (a),f (b) f   a,b   f (a), lim f (x)  f  a,b     lim f (x),f (b) 
 x b   x a 
f  a,     lim f (x), lim f (x) 
f  a,b    lim f (x), lim f (x)  f   a,    f (a), lim f (x)   x a x  
 x a x b   x 

f  ,a    lim f (x), lim f (x) 
f    xlim f (x), lim f (x)  f  ,a    lim f (x),f (a)   x x a 
 x    x 
Si la fonction est continue et strictement décroissante

f   a,b   f (b),f (a) f   a,b    lim f (x),f (a)  f  a,b    f (b), lim f (x) 
 x b   x a 
f  a,     lim f (x), lim f (x) 
f  a,b    lim f (x), lim f (x)  f   a,     lim f (x),f (a)   x x a 
 x b x a   x 



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