Résumé Mathématique sur le calcul intégral 1

LAGDEM Mohamed Calcul d’intégral 2BACS-2020/2021


Soient 𝒇 une fonction continue sur 𝑰 et 𝑭 une primitive de 𝒇 sur 𝑰 et 𝒂 et
𝒃 deux éléments de 𝑰
Définition
 L’intégrale de 𝒇 de 𝒂 à 𝒃 est le nombre réel :
𝒃
∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = [𝑭(𝒙)]𝒃𝒂 = 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)
𝒂
 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟎
𝒃
 ∫𝒂 𝒌𝒅𝒙 = 𝒌(𝒃 − 𝒂)
𝒃 𝒂
Propriétés  ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = − ∫𝒃 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃 𝒄 𝒃
 ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫𝒄 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 )relation de Chasles)
𝒃 𝒃 𝒃
 ∫𝒂 (𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)) 𝒅𝒙 = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 + ∫𝒂 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 (la linéarité)
𝒃 𝒃
 ∫𝒂 𝑲𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑲 ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃
L’intégrale et  ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 ⟹ ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≥ 𝟎
𝒃 𝒃
l’ordre  ∀𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] 𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙) ⟹ ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ≥ ∫𝒂 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
La valeur 𝒇 une fonction continue sur 𝑰 et 𝒂 et 𝒃 deux élément de 𝑰 tel que 𝒃 > 𝒂
𝟏 𝒃
moyenne  Il existe un nombre 𝒄 de [𝒂, 𝒃] tel que 𝒇(𝒄) = ∫𝒂 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
𝒃−𝒂
𝟏 𝒃
 Le nombre ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 appelé la valeur moyenne de 𝒇 sur [𝒂, 𝒃]
𝒃−𝒂 𝒂
𝒃 𝒃
′ (𝒙) [𝒖(𝒙)𝒗(𝒙)]𝒃𝒂
∫ 𝒖(𝒙)𝒗 𝒅𝒙 = − ∫ 𝒖′ (𝒙)𝒗(𝒙) 𝒅𝒙
Intégration 𝒂 𝒂
par parties  Le choix de 𝒖 (fonction à dériver) se fait selon l’ordre de L vers S
L P E S
𝒍𝒏 polynôme 𝒆𝒙𝒑 𝒔𝒊𝒏 ; 𝒄𝒐𝒔 ; 𝒕𝒂𝒏
Calcul des aires
 L’air du domaine délimité par (𝑪𝒇 )et l’axe des abscisses
𝒃
et les droites 𝒙 = 𝒂 et 𝒙 = 𝒃 est : (∫𝒂 |𝒇(𝒙)| 𝒅𝒙) 𝒖𝒂
 𝒖𝒂 est l’unité de l’air 𝒖𝒂 = ‖𝒊‖ × ‖𝒋‖

 L’air du domaine délimité par (𝑪𝒇 ) et (𝑪𝒈 ) et les droites
𝒃
𝒙 = 𝒂 et 𝒙 = 𝒃 est (∫𝒂 |𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)| 𝒅𝒙) 𝒖𝒂


Calcul des volumes
 Le volume du solide engendré par la rotation de (𝑪𝒇 )
autour de l’axe des abscisses un tour complet sur
𝒃
[𝒂, 𝒃] est donné par (∫𝒂 𝝅(𝒇(𝒙))𝟐 𝒅𝒙) × 𝒖𝒗

 𝒖𝒗 est l'unité de volume ⃗‖
𝒖𝒗 = ‖𝒊‖ × ‖𝒋‖ × ‖𝒌

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