Probabilités Vocabulaires
Expérience aléatoire : Toute expérience dont on ne connait pas ses résultats d’avance et
Possibilité : tout résultat d’une expérience aléatoire définitions
Univers des possibilités : l’ensemble de toutes les éventualités, noté 𝛀
L’événement : toute partie de 𝛀
L’événement contraire : est l’événement noté 𝑨 ̅ et qui vérifie : 𝑨 ∪ 𝐀
̅ = 𝑬 et 𝑨 ∩ 𝐀
̅=∅
L’événement 𝐀 ∩ 𝐁 : se réalise lorsque 𝐀 et 𝐁 sont réalisés en même temps
L’événement 𝐀 ∪ 𝐁 : se réalise lorsque l’un au moins des éventualités 𝐀 ou 𝐁 est réalisé.
𝐀 et 𝐁 sont incompatibles (ou disjoints) : si 𝐀 ∩ 𝐁 = ∅
𝑷(𝛀) = 𝟏 et 𝑷(∅) = 𝟎 et 𝟎 ≤ 𝑷(𝐀) ≤ 𝟏 et 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Propriétés ̅ ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷(𝐀
La probabilité d’un 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨)
Equiprobabilité : 𝑷(𝑨) =
événement 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝛀)
La probabilité La probabilité de 𝑩 sachant que 𝑨 est réalisé
conditionnelle 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷𝐀 (𝐁) = (𝑷(𝑨) ≠ 𝟎)
𝑷(𝑨)
L’indépendance 𝐀 et 𝐁 sont indépendants ssi: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
Répétition Soit A un événement de probabilité 𝑝 dans une expérience aléatoire
d’expériences on répète cette expérience 𝑛 fois.
identiques et La probabilité de réalisation de A , exactement k fois est :
indépendantes 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
Variables aléatoires
une variable aléatoire est toute application 𝑋 de Ω vers
L’ensemble des valeurs prise par 𝑿 est noté :
loi de 𝑿(𝛀) = {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 , … , 𝒙𝒏 }
probabilité La détermination de la loi de probabilité de 𝑿 :
d’une signifie le calcul des probabilités des événements (𝑋 = 𝑥𝑖 ) avec 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}
variable On résume la loi de probabilité de𝑋 dans le tableau :
aléatoire 𝒙𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 … 𝒙𝒏
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊 ) 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 … 𝒑𝒏
Remarque : 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ . 𝒑𝒏 = 𝟏
L’éspérence mathématique : 𝑬(𝑿) = 𝒙𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏 . 𝒑𝒏
𝟐 𝟐
La variance : 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝑿²) − (𝑬(𝑿)) = 𝒙𝟐𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟐𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝟐𝒏 . 𝒑𝒏 − (𝑬(𝑿))
L’écart-type : 𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
Soit 𝐀 un événement de probabilité 𝒑 dans une expérience aléatoire
La loi on répète cette expérience 𝒏 fois.
binomiale La variable aléatoire 𝑿 qui est égale au nombre de fois de réalisation de 𝐀
s’appelle variable aléatoire binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑
on a : X () 0,1, 2,..., n
∀𝒌 ∈ {𝟏, 𝟐, … 𝒏} 𝒑(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 et 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
40 +212676453608
Expérience aléatoire : Toute expérience dont on ne connait pas ses résultats d’avance et
Possibilité : tout résultat d’une expérience aléatoire définitions
Univers des possibilités : l’ensemble de toutes les éventualités, noté 𝛀
L’événement : toute partie de 𝛀
L’événement contraire : est l’événement noté 𝑨 ̅ et qui vérifie : 𝑨 ∪ 𝐀
̅ = 𝑬 et 𝑨 ∩ 𝐀
̅=∅
L’événement 𝐀 ∩ 𝐁 : se réalise lorsque 𝐀 et 𝐁 sont réalisés en même temps
L’événement 𝐀 ∪ 𝐁 : se réalise lorsque l’un au moins des éventualités 𝐀 ou 𝐁 est réalisé.
𝐀 et 𝐁 sont incompatibles (ou disjoints) : si 𝐀 ∩ 𝐁 = ∅
𝑷(𝛀) = 𝟏 et 𝑷(∅) = 𝟎 et 𝟎 ≤ 𝑷(𝐀) ≤ 𝟏 et 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Propriétés ̅ ) = 𝟏 − 𝑷(𝑨)
𝑷(𝐀
La probabilité d’un 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝑨)
Equiprobabilité : 𝑷(𝑨) =
événement 𝑪𝒂𝒓𝒅(𝛀)
La probabilité La probabilité de 𝑩 sachant que 𝑨 est réalisé
conditionnelle 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷𝐀 (𝐁) = (𝑷(𝑨) ≠ 𝟎)
𝑷(𝑨)
L’indépendance 𝐀 et 𝐁 sont indépendants ssi: 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)
Répétition Soit A un événement de probabilité 𝑝 dans une expérience aléatoire
d’expériences on répète cette expérience 𝑛 fois.
identiques et La probabilité de réalisation de A , exactement k fois est :
indépendantes 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
Variables aléatoires
une variable aléatoire est toute application 𝑋 de Ω vers
L’ensemble des valeurs prise par 𝑿 est noté :
loi de 𝑿(𝛀) = {𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 , … , 𝒙𝒏 }
probabilité La détermination de la loi de probabilité de 𝑿 :
d’une signifie le calcul des probabilités des événements (𝑋 = 𝑥𝑖 ) avec 𝑖 ∈ {1,2, … , 𝑛}
variable On résume la loi de probabilité de𝑋 dans le tableau :
aléatoire 𝒙𝒊 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 … 𝒙𝒏
𝒑(𝑿 = 𝒙𝒊 ) 𝒑𝟏 𝒑𝟐 𝒑𝟑 … 𝒑𝒏
Remarque : 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ . 𝒑𝒏 = 𝟏
L’éspérence mathématique : 𝑬(𝑿) = 𝒙𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏 . 𝒑𝒏
𝟐 𝟐
La variance : 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝑿²) − (𝑬(𝑿)) = 𝒙𝟐𝟏 . 𝒑𝟏 + 𝒙𝟐𝟐 . 𝒑𝟐 + 𝒙𝟐𝟑 . 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒙𝟐𝒏 . 𝒑𝒏 − (𝑬(𝑿))
L’écart-type : 𝝈(𝑿) = √𝑽(𝑿)
Soit 𝐀 un événement de probabilité 𝒑 dans une expérience aléatoire
La loi on répète cette expérience 𝒏 fois.
binomiale La variable aléatoire 𝑿 qui est égale au nombre de fois de réalisation de 𝐀
s’appelle variable aléatoire binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑
on a : X () 0,1, 2,..., n
∀𝒌 ∈ {𝟏, 𝟐, … 𝒏} 𝒑(𝑿 = 𝒌) = 𝑪𝒌𝒏 𝒑𝒌 (𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒌
𝑬(𝑿) = 𝒏𝒑 et 𝑽(𝑿) = 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
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