Samenvatting Wiskundige modellen (YI1371)

Wiskundige modellen

Hoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 2: Vectorfuncties
Hoofdstuk 3: Integralen

, Hoofdstuk 1: Differentiaalvergelijkingen
Differentiaalvergelijkingen: = een vgl. die een verband legt tussen een functie y(t) en haar afgeleiden. (t = tijd)
Vergelijking? = relatie tussen variabelen of een relatie tussen een veriabelen en zichzelf
2
bv. Parabool: y = ax + bx + c
Wet van Ohm: V(t) = I(t) R
Differentiaal? Zoals een afgeleide = verandering
bv. Positie, snelheid en versnelling
= relatie tussen een variabele en haar eigen verandering
bv. Luchtweerstand (Werkt je tegen)

Snelheidswijziging (zonder trappen bij het fietsen) (Min zorgt voor de afname
van de snelheid)
= feedback




Vormen van differentiaalvergelijkingen: manieren om een differentiaalvergelijking te beschrijven

1. Letterlijk: “verandering” als functie van de parameters
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x) (meestal gebruikt voor 1e orde)
Ex.: Geef een overzicht van alle types differentiaalvergelijkingen.




bv.
- Klassieke voorstelling van de vergelijkingen van orde 1
- Beginvoorwaarden maken de oplossing uniek (bv. Snelheid op moment 0)

Belang?
Differentiaalvergelijkingen die het gedrag van systemen beschrijven:
- In principe hebben deze systemen geen “keuze” in hun gedrag oplossing is meestal uniek
- startpositie/snelheid/situatie kan verschillen oplossing hangt af van “beginvoorwaarden” of
“randvoorwaarden”
Aantal rand/beginvoorwaarden = de orde van de vergelijking
Bv. Wet van Newton (F(t) =m x”(t)) → beginsnelheid & positie zijn nodig, begin-versnelling heeft geen invloed
Standaard vorm van lineaire differentiaalvergelijking van orde 1:
―> met 1 beginvoorwaarde heeft een unieke oplossing
yʼ(x) = a(x) y(x) + b(x), met y(x ) = c
2. Operator notatie:




3. Algemene vorm van een lineaire differentiaalvergelijking (2)
Lineaire diff. vgl. = een vgl. die een som is van termen,
eventueel vermenigvuldigd met een constante of andere functie.



a0 en a1 kunnen functies zijn, meestal zijn
dit getallen (= makkelijker oplosbaar)

,Oplossingsmethodes voor differentiaalvergelijkingen: hangt af van de vorm

1. Nakijken of een functie een oplossing is




2. Separabele vergelijkingen (orde 1)
NIET LINEAIR!

Nu wel een breuk
Veranderlijke apart schrijven
in




<


Niet maal 0 doen!




3. Algemene methode voor lineaire 1e orde probleem
Homogene vergelijkingen = een vgl. waarvan elke term y(x) bevat of haar afgeleiden.




:
bv. y”(x) - 2 yʼ(x) + 3 y(x) = 0
enkel functies met y(x)
Als y(x) de oplossing is, dan ook elk veelvoud “a y(x)”.
Gevolg: een homogene vergelijking heeft altijd y(x) = 0 als oplossing
Algemene methode, homogeen
Separabele vergelijking



Alle ʻyʼ links

Integraal




Cte a(x) dx
Exponent |y(x)| = e * e

H
= +- eCte
u




Algemene methode, particulier

Stap: 1. 2. 3. ―> “b(x) bestaat hier niet”


a, b en c kunnen verschillen,
andere oefening!




4. Operator methode voor homogene vergelijkingen (orde 2 en hoger)
5. Methode van de onbepaalde coëfficiënten (orde 2 en hoger)
Methode van de nulmakers

, Voorbeeld van de algemene methode:




HW: -x
✗ 2e
e y(x) + 2y(x) - 1 met lim y(x) = 1
✗ → 00
―> 1/2 + 1/2 e




2e orde vergelijkingen:
Algemene methode: Moet minstens 1 zijn anders niet van de 2e orde.
Az X




Stap 1: Homogene vergelijkingen met constante coëfficiënten:



= operator vorm.
Tussenstappen:
- (D - 1) y(x) = 0
P


↳ yʼ(x) - y(x) = 0 ―> yʼ(x) = y(x)
―> y(x) = A e
- (D + 3) y(x) = 0
:
yʼ(x) + 3y(x) = 0
D


Nodig om oefeningen te kunnen oplossen. 3✗
―> y(x) = B e
-




2 nulpunten dus 2 beginvoorwaarden.

Complex α +- βi :
(α + βi) x (α - βi) x
―> y(x) = A e +Be
EULER
αx αx
y(x) = A e cos(βx) + i A e sin(βx)
= Be
αx
cos(+ βx) + i B e
αx
sin(+ βx)
(A + B) e cos(βx) + (iA - iB) eαx sin(βx)
-
αx
-
C D