Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Polycopie de cours : Probabilité Générale
Master : Analyse Mathématique avancée
Réalisée par :
Prof. Hamid El Maroufy
Année universitaires :
2020/21
,Table des matières
Introduction 3
1 Rappels de mesure et d’intégration 4
1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Mesure de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Intégrale et Théorèmes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Théorèmes fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
p
1.6 Les espaces Lµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Mesures signés, théorème de Radon-Nikdym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Décomposition de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Intégration par rapport à une mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Vecteurs aléatoires 25
2.1 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Indépendance des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Moments et inégalités principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Fonctions caractéristiques d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Convergence des suites de variables aléatoires 45
3.1 Différane mode de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
,Introduction
Le présent cours est destiné aux étudiants du Master GMA et AMA. Il consiste à étudier les
différents types de convergence des variables aléatoires réelles ainsi que les principales appli-
cations telles que la loi forte de grands nombres et le fameux théorème centrale limite (central
limite Théorème). Pour cela on est censé à bien étudier quelques notions fondamentales de
convergence des mesures.
Le présent polycopié comporte quatre chapitres qui sont structurés comme suit, le premier cha-
pitre présente quelques résultats préliminaires et outils nécessaires de mesure et d’intégration
qui seront utiles dans ce cours. Dans le chapitre 2, on étudie certaines notions fondamentales
de convergence des mesures. Le chapitre 3 s’intéresse à certains concepts importants en théo-
rie de la convergence des variables aléatoires, il s’agit de la convergence en loi, en probabilité,
convergence dans Lp et la fameuse loi des grands nombres ainsi que le théorème centrale limite.
Finalement, le chapitre 4 représente une introduction aux martingales à temps discrètes.
3
, Chapitre 1
Rappels de mesure et d’intégration
Dans ce premier chapitre on rappelle quelques résultats principaux outils nécessaires de la
théorie de mesure et d’intégration qui seront utilisés dans les chapitres suivants.
1.1 Espaces mesurables
Soit Ω un ensemble pourrait être R, Rd , un espace métrique ou un espace topologique, P (Ω)
désigne l’ensemble de toutes les parties de Ω.
Soit F ⊂ P (Ω), on dit que F une algèbre (respectivement Tribu) si Ω ∈ F et F est stable par
passage au complémentaire et par réunion et intersection finie (respectivement dénombrable).
Le couple (Ω, F ) avec F tribu sur Ω s’appelle espace mesurable. Les éléments de F sont appelés
ensembles mesurables.
Pour construire des tribus intéressantes sur Ω, on utilise le résultat suivant
Lemme 1.1.
∩
Soit (Fi )i∈I une famille quelconque de tribus sur Ω. Alors Fi est une tribu sur Ω.
i∈I
Définition 1.2.
i- Soit C ⊂ P (Ω), la tribu engendrée par C notée σ (C), c’est la plus petite tribu sur Ω contenant
∩
C : σ (C) = F ; F tribu sur Ω.
C⊂F
ii- Un sous ensemble M de P (Ω) est une classe monotone si
a- Ω ∈ M.
b- Si A et B ∈ M et B ⊂ A Alors B \ A ∈ M.
4
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Polycopie de cours : Probabilité Générale
Master : Analyse Mathématique avancée
Réalisée par :
Prof. Hamid El Maroufy
Année universitaires :
2020/21
,Table des matières
Introduction 3
1 Rappels de mesure et d’intégration 4
1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Mesure de Lebesgue-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Intégrale et Théorèmes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Théorèmes fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
p
1.6 Les espaces Lµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Mesures signés, théorème de Radon-Nikdym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Décomposition de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Intégration par rapport à une mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Vecteurs aléatoires 25
2.1 Indépendance stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Indépendance des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Moments et inégalités principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Fonctions caractéristiques d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Convergence des suites de variables aléatoires 45
3.1 Différane mode de Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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,Introduction
Le présent cours est destiné aux étudiants du Master GMA et AMA. Il consiste à étudier les
différents types de convergence des variables aléatoires réelles ainsi que les principales appli-
cations telles que la loi forte de grands nombres et le fameux théorème centrale limite (central
limite Théorème). Pour cela on est censé à bien étudier quelques notions fondamentales de
convergence des mesures.
Le présent polycopié comporte quatre chapitres qui sont structurés comme suit, le premier cha-
pitre présente quelques résultats préliminaires et outils nécessaires de mesure et d’intégration
qui seront utiles dans ce cours. Dans le chapitre 2, on étudie certaines notions fondamentales
de convergence des mesures. Le chapitre 3 s’intéresse à certains concepts importants en théo-
rie de la convergence des variables aléatoires, il s’agit de la convergence en loi, en probabilité,
convergence dans Lp et la fameuse loi des grands nombres ainsi que le théorème centrale limite.
Finalement, le chapitre 4 représente une introduction aux martingales à temps discrètes.
3
, Chapitre 1
Rappels de mesure et d’intégration
Dans ce premier chapitre on rappelle quelques résultats principaux outils nécessaires de la
théorie de mesure et d’intégration qui seront utilisés dans les chapitres suivants.
1.1 Espaces mesurables
Soit Ω un ensemble pourrait être R, Rd , un espace métrique ou un espace topologique, P (Ω)
désigne l’ensemble de toutes les parties de Ω.
Soit F ⊂ P (Ω), on dit que F une algèbre (respectivement Tribu) si Ω ∈ F et F est stable par
passage au complémentaire et par réunion et intersection finie (respectivement dénombrable).
Le couple (Ω, F ) avec F tribu sur Ω s’appelle espace mesurable. Les éléments de F sont appelés
ensembles mesurables.
Pour construire des tribus intéressantes sur Ω, on utilise le résultat suivant
Lemme 1.1.
∩
Soit (Fi )i∈I une famille quelconque de tribus sur Ω. Alors Fi est une tribu sur Ω.
i∈I
Définition 1.2.
i- Soit C ⊂ P (Ω), la tribu engendrée par C notée σ (C), c’est la plus petite tribu sur Ω contenant
∩
C : σ (C) = F ; F tribu sur Ω.
C⊂F
ii- Un sous ensemble M de P (Ω) est une classe monotone si
a- Ω ∈ M.
b- Si A et B ∈ M et B ⊂ A Alors B \ A ∈ M.
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