Logique et
raisonnements
Vidéo partie 1. Logique
Vidéo partie 2. Raisonnements
Fiche d’exercices Logique, ensembles, raisonnements
Quelques motivations
• Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure
l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de
15 euros ?
• Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est
souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en un point
x0 ∈ I :
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (|x − x 0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x 0 )| < ε).
C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique.
• Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation
de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ? ». Vous pouvez penser « oui »
ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement.
Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer — une
hypothèse et de l’expliquer à autrui.
, LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 1. LOGIQUE 2
1. Logique
1.1. Assertions
Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
Exemples :
• « Il pleut. »
• « Je suis plus grand que toi. »
• «2+2=4»
• «2×3=7»
• « Pour tout x ∈ R, on a x 2 > 0. »
• « Pour tout z ∈ C, on a |z| = 1. »
Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir de P et de Q.
L’opérateur logique « et »
L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est fausse sinon.
On résume ceci en une table de vérité :
P \Q V F
V V F
F F F
F I G U R E 1.1 – Table de vérité de « P et Q »
Par exemple si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion
« P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte.
L’opérateur logique « ou »
L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une (au moins) des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou
Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses.
On reprend ceci dans la table de vérité :
P \Q V F
V V V
F V F
F I G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q »
Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P ou Q »
est vraie si la carte est un as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs « ou », « et » on fait appel à une phrase en français utilisant les mots ou, et ! Les
tables de vérités permettent d’éviter ce problème.
La négation « non »
L’assertion « non P » est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie.
raisonnements
Vidéo partie 1. Logique
Vidéo partie 2. Raisonnements
Fiche d’exercices Logique, ensembles, raisonnements
Quelques motivations
• Il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue française est souvent ambigüe. Prenons
l’exemple de la conjonction « ou » ; au restaurant « fromage ou dessert » signifie l’un ou l’autre mais pas
les deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche « les as ou les cœurs » alors il ne faut pas exclure
l’as de cœur. Autre exemple : que répondre à la question « As-tu 10 euros en poche ? » si l’on dispose de
15 euros ?
• Il y a des notions difficiles à expliquer avec des mots : par exemple la continuité d’une fonction est
souvent expliquée par « on trace le graphe sans lever le crayon ». Il est clair que c’est une définition peu
satisfaisante. Voici la définition mathématique de la continuité d’une fonction f : I → R en un point
x0 ∈ I :
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (|x − x 0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x 0 )| < ε).
C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C’est la logique.
• Enfin les mathématiques tentent de distinguer le vrai du faux. Par exemple « Est-ce qu’une augmentation
de 20%, puis de 30% est plus intéressante qu’une augmentation de 50% ? ». Vous pouvez penser « oui »
ou « non », mais pour en être sûr il faut suivre une démarche logique qui mène à la conclusion. Cette
démarche doit être convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle de raisonnement.
Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes,
qui rend les calculs exacts et vérifiables. Le raisonnement est le moyen de valider — ou d’infirmer — une
hypothèse et de l’expliquer à autrui.
, LOGIQUE ET RAISONNEMENTS 1. LOGIQUE 2
1. Logique
1.1. Assertions
Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps.
Exemples :
• « Il pleut. »
• « Je suis plus grand que toi. »
• «2+2=4»
• «2×3=7»
• « Pour tout x ∈ R, on a x 2 > 0. »
• « Pour tout z ∈ C, on a |z| = 1. »
Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons définir de nouvelles assertions construites à
partir de P et de Q.
L’opérateur logique « et »
L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est fausse sinon.
On résume ceci en une table de vérité :
P \Q V F
V V F
F F F
F I G U R E 1.1 – Table de vérité de « P et Q »
Par exemple si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion
« P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte.
L’opérateur logique « ou »
L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une (au moins) des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou
Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses.
On reprend ceci dans la table de vérité :
P \Q V F
V V V
F V F
F I G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q »
Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P ou Q »
est vraie si la carte est un as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur).
Remarque.
Pour définir les opérateurs « ou », « et » on fait appel à une phrase en français utilisant les mots ou, et ! Les
tables de vérités permettent d’éviter ce problème.
La négation « non »
L’assertion « non P » est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie.
