SUJET GRAND ORAL :
En quoi l’architecte Le Corbusier s’inspire-t-il de concepts mathématiques pour concevoir
ses projets ?
INTRODUCTION
En 1876, le psychologue allemand Fechner réalise une expérience : il demande à 250 volontaires
de choisir entre une dizaine de rectangles aux formats di érents celui qu’ils trouvent le plus
plaisant. Un de ces rectangles va se démarquer des autres, le rectangle d’or.
Ainsi, ce rectangle spécial semble avoir une esthétique particulière… Léonard De Vinci va même
jusqu’à appeler ses proportions la proportion divine, et ça, Le Corbusier l’a très bien compris.
Le Corbusier est un architecte français du XXe siècle qui a révolutionné l’architecture moderne.
Pour l’aider à penser ses projets, il va inventer un nouveau système : le Modulor, qui va concilier
proportions humaines et mathématiques.
Dans cette présentation, nous allons nous demander en quoi Le Corbusier s’inspire-t-il de
concepts mathématiques pour réaliser ses projets ?
Dans un premier temps, nous étudierons les fondements mathématiques de ce fameux Modulor,
et, dans un second temps, nous verrons comment Le Corbusier utilise concrètement ce système
lors de la réalisation de ses projets, en nous appuyant sur l’un d’entre eux : la Cité Radieuse.
1. LES FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DU MODULOR
A) Le Nombre d’Or ϕ
Pour comprendre le Modulor, il faut tout d’abord comprendre l’un de ses piliers : le nombre d’or.
Le nombre d’or, caractérisé par la lettre ϕ (/ /) représente une proportion bien particulière :
Lorsqu’on coupe un segment en deux parties, le rapport entre le segment et la plus grande partie
est égal au rapport entre la plus grande partie et la plus petite partie.
Le nombre d’or ϕ est la solution positive de l’équation du second degré : x² - x - 1 = 0, avec a=1,
b=-1, c=-1
On peut facilement calculer le discriminant : Δ = b² - 4ac = 5.
On a ainsi ϕ = (-b- √ Δ)/2a = (1 + √ 5) /2 ≈ 1,618.
fi ff
, Cependant, cette dé nition reste purement algébrique. Or, cette proportion apparaît naturellement
en mathématiques, par exemple, elle a un lien direct avec la célèbre suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est caractérisée par les premiers termes U₀ = 0, U₁ = 1 et par la relation par
récurrence Uₙ₊₂ = Uₙ₊₁ + Uₙ.
Pour comprendre le lien entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci, on ne s'intéresse pas à la
suite elle-même (qui tend vers l’in ni), mais au rapport entre deux termes consécutifs. On pose la
suite auxiliaire Wₙ = Uₙ₊₁/Uₙ.
Si l'on calcule les premiers termes, on observe une oscillation intéressante :
2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 5/3 ≈ 1,66 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625.
Les résultats se rapprochent très vite d'une valeur proche de 1,618.
Pour le prouver rigoureusement, exprimons Wₙ₊₁ en fonction de Wₙ :
Wₙ₊₁ = Uₙ₊₂ / Uₙ₊₁ = (Uₙ₊₁ + Uₙ) / Uₙ₊₁ = 1 + Uₙ / Uₙ₊₁ = 1 + 1 / Wₙ.
Nous obtenons une suite homographique. On sait que cette suite converge vers une limite nie ℓ.
D'après le théorème du point xe, à l'in ni, Wₙ et Wₙ₊₁ tendent vers la même valeur ℓ, ce qui
donne :
ℓ = 1 + 1 / ℓ.
En multipliant par ℓ, on retrouve l'équation du second degré :
ℓ² - ℓ - 1 = 0.
Comme tous les termes de la suite de Fibonacci sont strictement positifs, la limite ℓ est
obligatoirement l'unique solution positive de cette équation : le Nombre d'Or, ϕ.
B) Le Modulor
Pour concevoir ses projets, Le Corbusier va s’éloigner d’un raisonnement basé sur le système
métrique et va concevoir Le Modulor, dont les fondations sont les proportions humaines et le
Nombre d’Or.
Le Modulor est une personne haute de 1,83 m, le bras tendu vers le haut à 2,26 m. Lorsque l’on
divise 2,26 m par 2, on tombe sur 1,13 m, soit exactement la hauteur du nombril ; ainsi, on obtient
les mesures principales de notre Modulor.
À partir de ces mesures, Le Corbusier va imaginer deux séries de mesures. Tout d’abord, la série
rouge qui va prendre appui sur la hauteur du nombril. Pour la construire, il va prendre la mesure
113 cm et la multiplier ou la diviser par le nombre d’or pour obtenir la suivante ou la précédente,
et c’est là qu’on retrouve la magie de ce Modulor. Par exemple, en multipliant 113 par ϕ, on
trouve environ 183, ce qui correspond à la hauteur du Modulor.
fi fi fi fi fi
En quoi l’architecte Le Corbusier s’inspire-t-il de concepts mathématiques pour concevoir
ses projets ?
INTRODUCTION
En 1876, le psychologue allemand Fechner réalise une expérience : il demande à 250 volontaires
de choisir entre une dizaine de rectangles aux formats di érents celui qu’ils trouvent le plus
plaisant. Un de ces rectangles va se démarquer des autres, le rectangle d’or.
Ainsi, ce rectangle spécial semble avoir une esthétique particulière… Léonard De Vinci va même
jusqu’à appeler ses proportions la proportion divine, et ça, Le Corbusier l’a très bien compris.
Le Corbusier est un architecte français du XXe siècle qui a révolutionné l’architecture moderne.
Pour l’aider à penser ses projets, il va inventer un nouveau système : le Modulor, qui va concilier
proportions humaines et mathématiques.
Dans cette présentation, nous allons nous demander en quoi Le Corbusier s’inspire-t-il de
concepts mathématiques pour réaliser ses projets ?
Dans un premier temps, nous étudierons les fondements mathématiques de ce fameux Modulor,
et, dans un second temps, nous verrons comment Le Corbusier utilise concrètement ce système
lors de la réalisation de ses projets, en nous appuyant sur l’un d’entre eux : la Cité Radieuse.
1. LES FONDEMENTS MATHÉMATIQUES DU MODULOR
A) Le Nombre d’Or ϕ
Pour comprendre le Modulor, il faut tout d’abord comprendre l’un de ses piliers : le nombre d’or.
Le nombre d’or, caractérisé par la lettre ϕ (/ /) représente une proportion bien particulière :
Lorsqu’on coupe un segment en deux parties, le rapport entre le segment et la plus grande partie
est égal au rapport entre la plus grande partie et la plus petite partie.
Le nombre d’or ϕ est la solution positive de l’équation du second degré : x² - x - 1 = 0, avec a=1,
b=-1, c=-1
On peut facilement calculer le discriminant : Δ = b² - 4ac = 5.
On a ainsi ϕ = (-b- √ Δ)/2a = (1 + √ 5) /2 ≈ 1,618.
fi ff
, Cependant, cette dé nition reste purement algébrique. Or, cette proportion apparaît naturellement
en mathématiques, par exemple, elle a un lien direct avec la célèbre suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est caractérisée par les premiers termes U₀ = 0, U₁ = 1 et par la relation par
récurrence Uₙ₊₂ = Uₙ₊₁ + Uₙ.
Pour comprendre le lien entre le nombre d’or et la suite de Fibonacci, on ne s'intéresse pas à la
suite elle-même (qui tend vers l’in ni), mais au rapport entre deux termes consécutifs. On pose la
suite auxiliaire Wₙ = Uₙ₊₁/Uₙ.
Si l'on calcule les premiers termes, on observe une oscillation intéressante :
2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 5/3 ≈ 1,66 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625.
Les résultats se rapprochent très vite d'une valeur proche de 1,618.
Pour le prouver rigoureusement, exprimons Wₙ₊₁ en fonction de Wₙ :
Wₙ₊₁ = Uₙ₊₂ / Uₙ₊₁ = (Uₙ₊₁ + Uₙ) / Uₙ₊₁ = 1 + Uₙ / Uₙ₊₁ = 1 + 1 / Wₙ.
Nous obtenons une suite homographique. On sait que cette suite converge vers une limite nie ℓ.
D'après le théorème du point xe, à l'in ni, Wₙ et Wₙ₊₁ tendent vers la même valeur ℓ, ce qui
donne :
ℓ = 1 + 1 / ℓ.
En multipliant par ℓ, on retrouve l'équation du second degré :
ℓ² - ℓ - 1 = 0.
Comme tous les termes de la suite de Fibonacci sont strictement positifs, la limite ℓ est
obligatoirement l'unique solution positive de cette équation : le Nombre d'Or, ϕ.
B) Le Modulor
Pour concevoir ses projets, Le Corbusier va s’éloigner d’un raisonnement basé sur le système
métrique et va concevoir Le Modulor, dont les fondations sont les proportions humaines et le
Nombre d’Or.
Le Modulor est une personne haute de 1,83 m, le bras tendu vers le haut à 2,26 m. Lorsque l’on
divise 2,26 m par 2, on tombe sur 1,13 m, soit exactement la hauteur du nombril ; ainsi, on obtient
les mesures principales de notre Modulor.
À partir de ces mesures, Le Corbusier va imaginer deux séries de mesures. Tout d’abord, la série
rouge qui va prendre appui sur la hauteur du nombril. Pour la construire, il va prendre la mesure
113 cm et la multiplier ou la diviser par le nombre d’or pour obtenir la suivante ou la précédente,
et c’est là qu’on retrouve la magie de ce Modulor. Par exemple, en multipliant 113 par ϕ, on
trouve environ 183, ce qui correspond à la hauteur du Modulor.
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