DEEL II – KRUISTABELLEN (CONTINGENCY
TABLES)
HOOFDSTUK 9 – KRUISTABELLEN
9.1 PARAMETRISCHE EN NIET -PARAMETRISCHE METHODEN
Methoden voor hypothesetoetsing kunnen worden onderverdeeld in parametrische en niet-parametrische methoden.
PARAMETRISCHE METHODEN
Bij parametrische methoden gaan we uit van een bepaalde kansverdeling voor de data (zoals de normale verdeling).
Bijvoorbeeld: in een t-toets wordt aangenomen dat de gegevens normaal verdeeld zijn:
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )
De parameters μ en σ² zijn onbekend, maar moeten worden geschat op basis van de steekproef:
𝜇̂ = 𝑋ˉ 𝜎̂ 2 = 𝑠 2
NIET-PARAMETRISCHE METHODEN
Bij niet-parametrische methoden maken we géén aannames over de verdeling van de data. We gebruiken de orde of rang
van de data in plaats van de exacte waarden. Daardoor maakt het niet uit of de data normaal verdeeld zijn of niet.
Bijvoorbeeld: de Mann-Whitney-U-toets: deze toets vergelijk 2 groepen, maar werkt niet met de werkelijke getallen, enkel
met hun rangen (1 = kleinste, 2 = tweede kleinste, …).
We hoeven dus geen normale verdeling te veronderstellen EN geen parameters zoals μ of σ te schatten.
Χ²-TOETS
Op het eerste gezicht lijkt de χ²-toets niet parametrisch, omdat we enkel frequenties vergelijken in een tabel.
Toch zit er impliciet een parametrische aanname achter: als de celwaarden groot genoeg zijn, kunnen de tellingen
worden beschouwd als normaal verdeeld.
En een χ²-verdeelde variabele is in feite het kwadraat van een standaardnormaal verdeelde variabele.
Dus eigenlijk is de χ²-toets gebaseerd op een parametrische benadering.
FISHER’S EXACTE TOETS
De Fisher’s exact test vertrekt anders:
• We nemen alle mogelijke tabellen met dezelfde randtotalen (marginals).
• Voor elk van die tabellen berekenen we de exacte kans om die te krijgen
onder de nulhypothese van onafhankelijkheid.
• Uit al die kansen berekenen we de p-waarde.
Hierbij zijn geen onbekende parameters nodig, en maken we geen verdelingsaannames.
Daarom is Fisher’s exact test een niet-parametrische methode.
,9.2 KRUISTABELLEN
Een kruistabel beschrijft de samenhang tussen twee categorische variabelen.
Bijvoorbeeld: dieren behoren tot een controlegroep of een behandelde groep, en bij elk dier wordt het resultaat van een
laboratoriumtest geregistreerd als positief of negatief.
In sommige gevallen is het verschil tussen groepen meteen duidelijk, en is geen statistische analyse nodig.
Wanneer het verschil echter niet onmiddellijk te beoordelen is, gebruiken we een formele toetsingsprocedure om te
bepalen of het verschil statistisch significant is of slechts het gevolg van toeval.
• Geen verschil tussen de groepen
• Gen statistische analyse nodig
• Verschil tussen de groepen is meteen duidelijk
• Gen statistische analyse nodig
• Of er een significant verschil is of niet, is niet meteen duidelijk
• Duidelijk verschil tussen de groepen
Verder testen
9.3 VOORBEELD 1 – FLUNARIZINE-ONDERZOEK
Een preklinische studie onderzocht of calciumblokkers (flunarizine) hersenschade kunnen beperken.
Er waren 16 controle-dieren en 8 behandelde dieren.
De onderzoeksvraag: Vermindert flunarizine de kans op hersenschade?
9.4 DE STATISTISCHE VRAAG
“Is er een verschil tussen beide groepen?”
De nulhypothese:
H₀: De kans op hersenschade is gelijk in beide groepen.
H0: Er is geen verband tussen “Behandeling” en “Schade”.
Er zijn dus twee aspecten:
1. Het toetsingsprobleem – is er een verschil?
2. Het schattingsprobleem – hoe groot is het verschil tussen de kans op schade in beide groepen, oftewel: wat is
een geschikte maat voor associatie?
, 9.5 DE Χ²-TOETS VOOR KRUISTABELLEN
Voordeel:
• De berekeningen zijn eenvoudig.
• Er zijn correcties (zoals continuïteitscorrecties) beschikbaar.
Nadeel:
• Ze berust op de benadering dat de tellingen een normale verdeling volgen — dit geldt alleen bij voldoende grote
steekproeven.
9.6 REKENWIJZE EN VRIJHEIDSGRADEN
Voorbeeld:
X²-test:
We gebruiken de volgende symbolen:
• O = de geobserveerde frequenties (de tellingen uit de steekproef)
• E = de verwachte frequenties (de tellingen die we zouden verwachten als er géén verband is)
BEREKENING VAN DE VERWACHTE FREQUENTIES
We willen testen of er een verband is tussen product (Groep) en respons (Succes/Falen).
De nulhypothese:
H0: “Product” en “Respons” zijn onafhankelijk.
H0: De kans op succes is dus dezelfde in beide groepen.
Stap 1 – schat de gemeenschappelijke succeskans onder H₀
totaal aantal successen 16 + 18 34
𝑝= = = = 0,68
totaal aantal observaties 20 + 30 50
Dus: onder H₀ heeft elke groep een succeskans van 0,68 en faalkans van 0,32.
TABLES)
HOOFDSTUK 9 – KRUISTABELLEN
9.1 PARAMETRISCHE EN NIET -PARAMETRISCHE METHODEN
Methoden voor hypothesetoetsing kunnen worden onderverdeeld in parametrische en niet-parametrische methoden.
PARAMETRISCHE METHODEN
Bij parametrische methoden gaan we uit van een bepaalde kansverdeling voor de data (zoals de normale verdeling).
Bijvoorbeeld: in een t-toets wordt aangenomen dat de gegevens normaal verdeeld zijn:
𝑋 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎 2 )
De parameters μ en σ² zijn onbekend, maar moeten worden geschat op basis van de steekproef:
𝜇̂ = 𝑋ˉ 𝜎̂ 2 = 𝑠 2
NIET-PARAMETRISCHE METHODEN
Bij niet-parametrische methoden maken we géén aannames over de verdeling van de data. We gebruiken de orde of rang
van de data in plaats van de exacte waarden. Daardoor maakt het niet uit of de data normaal verdeeld zijn of niet.
Bijvoorbeeld: de Mann-Whitney-U-toets: deze toets vergelijk 2 groepen, maar werkt niet met de werkelijke getallen, enkel
met hun rangen (1 = kleinste, 2 = tweede kleinste, …).
We hoeven dus geen normale verdeling te veronderstellen EN geen parameters zoals μ of σ te schatten.
Χ²-TOETS
Op het eerste gezicht lijkt de χ²-toets niet parametrisch, omdat we enkel frequenties vergelijken in een tabel.
Toch zit er impliciet een parametrische aanname achter: als de celwaarden groot genoeg zijn, kunnen de tellingen
worden beschouwd als normaal verdeeld.
En een χ²-verdeelde variabele is in feite het kwadraat van een standaardnormaal verdeelde variabele.
Dus eigenlijk is de χ²-toets gebaseerd op een parametrische benadering.
FISHER’S EXACTE TOETS
De Fisher’s exact test vertrekt anders:
• We nemen alle mogelijke tabellen met dezelfde randtotalen (marginals).
• Voor elk van die tabellen berekenen we de exacte kans om die te krijgen
onder de nulhypothese van onafhankelijkheid.
• Uit al die kansen berekenen we de p-waarde.
Hierbij zijn geen onbekende parameters nodig, en maken we geen verdelingsaannames.
Daarom is Fisher’s exact test een niet-parametrische methode.
,9.2 KRUISTABELLEN
Een kruistabel beschrijft de samenhang tussen twee categorische variabelen.
Bijvoorbeeld: dieren behoren tot een controlegroep of een behandelde groep, en bij elk dier wordt het resultaat van een
laboratoriumtest geregistreerd als positief of negatief.
In sommige gevallen is het verschil tussen groepen meteen duidelijk, en is geen statistische analyse nodig.
Wanneer het verschil echter niet onmiddellijk te beoordelen is, gebruiken we een formele toetsingsprocedure om te
bepalen of het verschil statistisch significant is of slechts het gevolg van toeval.
• Geen verschil tussen de groepen
• Gen statistische analyse nodig
• Verschil tussen de groepen is meteen duidelijk
• Gen statistische analyse nodig
• Of er een significant verschil is of niet, is niet meteen duidelijk
• Duidelijk verschil tussen de groepen
Verder testen
9.3 VOORBEELD 1 – FLUNARIZINE-ONDERZOEK
Een preklinische studie onderzocht of calciumblokkers (flunarizine) hersenschade kunnen beperken.
Er waren 16 controle-dieren en 8 behandelde dieren.
De onderzoeksvraag: Vermindert flunarizine de kans op hersenschade?
9.4 DE STATISTISCHE VRAAG
“Is er een verschil tussen beide groepen?”
De nulhypothese:
H₀: De kans op hersenschade is gelijk in beide groepen.
H0: Er is geen verband tussen “Behandeling” en “Schade”.
Er zijn dus twee aspecten:
1. Het toetsingsprobleem – is er een verschil?
2. Het schattingsprobleem – hoe groot is het verschil tussen de kans op schade in beide groepen, oftewel: wat is
een geschikte maat voor associatie?
, 9.5 DE Χ²-TOETS VOOR KRUISTABELLEN
Voordeel:
• De berekeningen zijn eenvoudig.
• Er zijn correcties (zoals continuïteitscorrecties) beschikbaar.
Nadeel:
• Ze berust op de benadering dat de tellingen een normale verdeling volgen — dit geldt alleen bij voldoende grote
steekproeven.
9.6 REKENWIJZE EN VRIJHEIDSGRADEN
Voorbeeld:
X²-test:
We gebruiken de volgende symbolen:
• O = de geobserveerde frequenties (de tellingen uit de steekproef)
• E = de verwachte frequenties (de tellingen die we zouden verwachten als er géén verband is)
BEREKENING VAN DE VERWACHTE FREQUENTIES
We willen testen of er een verband is tussen product (Groep) en respons (Succes/Falen).
De nulhypothese:
H0: “Product” en “Respons” zijn onafhankelijk.
H0: De kans op succes is dus dezelfde in beide groepen.
Stap 1 – schat de gemeenschappelijke succeskans onder H₀
totaal aantal successen 16 + 18 34
𝑝= = = = 0,68
totaal aantal observaties 20 + 30 50
Dus: onder H₀ heeft elke groep een succeskans van 0,68 en faalkans van 0,32.
