LET OP
In deze samenvatting staat
enkel de theorie beschreven.
Vergeet niet de oefenopgaven
uit het boek te maken!
Richelle van Leijen
VERBANDEN METEN EN
MEETKUNDE
KENNISTOETS
,Samenhang meten en meetkunde
Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Meten: bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op 'eigenschappen' van de wereld: lengte,
oppervlakte, inhoud, gewicht, tijdsduur, etc. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van
meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maat. Een meting - al dan niet met een
meetinstrument - levert een meetgetal (kwantitatief) of een weergave van een verhouding
op (kwalitatief).
Meetkunde: bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte:
plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren, projecties, schaduwen,
symmetrieën, patronen en om twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is
op te vatten als ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat: meetkunde. De inhoud van deze bouwplaat: meten.
Bij het bereken van de inhoud gaat het om het kwantificeren (ergens een getal aan toekennen). In
gedachten een doos vullen: ruimtelijk redeneren, een meetkundige handeling. In een situatie waarbij de
leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud verschillende ruimtelijke vormen kan aannemen, raken
meetkunde en meten elkaar: het gaat om de grootheid inhoud (het domein meten dus), maar het
onderzoeken van de vormen valt onder meetkunde. Een meetkundige activiteit als het omvormen van
figuren kan worden toegepast bij het meten van oppervlaktes. Het werken met vlakvulling ligt ook op het
snijvlak van meten en meetkunde: een oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen. De
oppervlakte is uit te drukken in (bijvoorbeeld) het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te
bedekken.
In de Stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen. Deze stelling beschrijft de vaste relatie
tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a² + b² = c². Het inzicht dat het
kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van een vierkant met bijvoorbeeld
zijde 3, is nodig om de relatie tussen getallen en meetkunde te begrijpen.
De gulde snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste
verhouding die er bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei meetkundige figuren
zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de
verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste
deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulde snede te pakken (zie voorbeeld op pagina 21).
Meten en meetkunde op de basisschool
Overeenkomsten:
- Komen beiden vanaf de kleutergroepen aanbod.
- Blijven dicht bij de waarneembare werkelijkheid.
- Bieden kinderen mogelijkheden zelf ervaringen op te doen.
- Biedt kinderen het wiskundige gereedschap (liniaal of maatbeker om greep te krijgen op de
grootheden lengte en inhoud bijvoorbeeld) om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en
beschrijven.
- Beheersen van wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks leven (brede zin) zoals hoog, laag,
smal en richtingen.
- Het redeneren en het ontwikkelingen van een onderzoekende houding (wiskundige attitude).
- Levert een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid.
, Verschillen: bij meten gaat het om andere (mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten.
- Bij meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat, kinderen zijn aan het
doen (uitvoeren van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen (de maten van het
metriek stelsel bijvoorbeeld) en begrijpen (optreden van meetfouten, kiezen van de juiste maat).
- Bij meetkundeactiviteiten gaat het m het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met: waarnemen, beschouwen, stellen en
beantwoorden van de ‘waarom-vraag’.
Samenhang in activiteiten
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde geïntegreerd aan bod te laten komen samen met andere
reken-wiskundedomeinen en vakgebieden. Voorbeeld hiervan: inrichten van een winkelhoek waarin ook
meet-en meetkundige vragen aan bod kunnen komen. In reken-wiskunde methodes is deze samenhang
regelmatig te herkennen: activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid) vallen binnen meetkunde, maar rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om
meetactiviteiten: vaststellen van de inhoud of oppervlakte. Andere activiteiten waarin beide aan bod
kunnen komen:
- Plattengronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen en et bepalen van locaties
behoren tot meetkunde; oppervlaktes en afstanden bij meten.
- Tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling valt onder meetkunde, tijdmeting onder meten.
- Het maken van een zonnewijzer: voorspellen van de schaduw valt onder meetkunde, tijdmeting
onder meten.
Meten
Meten en meetgetallen zijn overal
In het dagelijks leven kom je voortdurend in aanraking met meetgetallen: etiketten, snelheidsmeter,
temperatuur, kijken op je horloge, etc. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud,
temperatuur en snelheid. Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die
afhankelijk van de situatie worden gebruikt. Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. In het
dagelijks leven gebruik je dus veel meetreferenties; een voorbeeld van een referentiegetal is 365, ook
zonder de maat denk je waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaar.
Meetinstrumenten
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (maatbeker). Andere
meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat (rolmaat). Bij weer andere
instrumenten is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen (digitale weegschaal: je ziet direct
het resultaat). Een unster (een weeghaak) is een voorbeeld van indirect meten: de ene grootheid (lengte)
wordt gemeten om een andere grootheid (gewicht) te bepalen. Op meetinstrumenten staat een
schaalverdeling.
Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Een afstand van twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, wordt
een meetinterval genoemd. De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een
meetonnauwkeurigheid. In die zin treden bij meten per definitie meetfouten op, deze meetfout valt
binnen het meetinterval, dat in dit geval wordt aangeduid als foutenmarge. Meetfouten kunnen ontstaan
bij de meethandeling zelf, om het effect van zo’n fout te verkleinen kun je een meting herhaald uitvoeren
en vervolgens het gemiddelde van de resultaten meenemen.
In deze samenvatting staat
enkel de theorie beschreven.
Vergeet niet de oefenopgaven
uit het boek te maken!
Richelle van Leijen
VERBANDEN METEN EN
MEETKUNDE
KENNISTOETS
,Samenhang meten en meetkunde
Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Meten: bij meten gaat het om het getalsmatig greep krijgen op 'eigenschappen' van de wereld: lengte,
oppervlakte, inhoud, gewicht, tijdsduur, etc. Dergelijke eigenschappen heten grootheden. De essentie van
meten is dat een grootheid wordt afgepast met een maat. Een meting - al dan niet met een
meetinstrument - levert een meetgetal (kwantitatief) of een weergave van een verhouding
op (kwalitatief).
Meetkunde: bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte:
plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren, projecties, schaduwen,
symmetrieën, patronen en om twee- en driedimensionale weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is
op te vatten als ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin.
Het in gedachten in elkaar zetten van een bouwplaat: meetkunde. De inhoud van deze bouwplaat: meten.
Bij het bereken van de inhoud gaat het om het kwantificeren (ergens een getal aan toekennen). In
gedachten een doos vullen: ruimtelijk redeneren, een meetkundige handeling. In een situatie waarbij de
leerlingen ervaren dat een bepaalde inhoud verschillende ruimtelijke vormen kan aannemen, raken
meetkunde en meten elkaar: het gaat om de grootheid inhoud (het domein meten dus), maar het
onderzoeken van de vormen valt onder meetkunde. Een meetkundige activiteit als het omvormen van
figuren kan worden toegepast bij het meten van oppervlaktes. Het werken met vlakvulling ligt ook op het
snijvlak van meten en meetkunde: een oppervlakte wordt volgelegd met meetkundige vormen. De
oppervlakte is uit te drukken in (bijvoorbeeld) het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te
bedekken.
In de Stelling van Pythagoras komen meten en meetkunde samen. Deze stelling beschrijft de vaste relatie
tussen de lengtes van de drie zijden van een rechthoekige driehoek: a² + b² = c². Het inzicht dat het
kwadraat van een getal voorgesteld kan worden als de oppervlakte van een vierkant met bijvoorbeeld
zijde 3, is nodig om de relatie tussen getallen en meetkunde te begrijpen.
De gulde snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de mooiste
verhouding die er bestaat. Ook hierin gaat het om meten en meetkunde: in allerlei meetkundige figuren
zijn afmetingen volgens deze verhouding terug te vinden. Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de
verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste
deel tot het hele lijnstuk, heb je de gulde snede te pakken (zie voorbeeld op pagina 21).
Meten en meetkunde op de basisschool
Overeenkomsten:
- Komen beiden vanaf de kleutergroepen aanbod.
- Blijven dicht bij de waarneembare werkelijkheid.
- Bieden kinderen mogelijkheden zelf ervaringen op te doen.
- Biedt kinderen het wiskundige gereedschap (liniaal of maatbeker om greep te krijgen op de
grootheden lengte en inhoud bijvoorbeeld) om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen en
beschrijven.
- Beheersen van wiskundetaal die van pas komt in het dagelijks leven (brede zin) zoals hoog, laag,
smal en richtingen.
- Het redeneren en het ontwikkelingen van een onderzoekende houding (wiskundige attitude).
- Levert een belangrijke bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid.
, Verschillen: bij meten gaat het om andere (mentale) handelingen dan bij meetkundeactiviteiten.
- Bij meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat, kinderen zijn aan het
doen (uitvoeren van metingen, aflezen van meetinstrumenten), kennen (de maten van het
metriek stelsel bijvoorbeeld) en begrijpen (optreden van meetfouten, kiezen van de juiste maat).
- Bij meetkundeactiviteiten gaat het m het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan; kinderen zijn bezig met: waarnemen, beschouwen, stellen en
beantwoorden van de ‘waarom-vraag’.
Samenhang in activiteiten
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde geïntegreerd aan bod te laten komen samen met andere
reken-wiskundedomeinen en vakgebieden. Voorbeeld hiervan: inrichten van een winkelhoek waarin ook
meet-en meetkundige vragen aan bod kunnen komen. In reken-wiskunde methodes is deze samenhang
regelmatig te herkennen: activiteiten rondom construeren (bouwen) en representeren (afbeelden van de
werkelijkheid) vallen binnen meetkunde, maar rondom een bouwwerk kan het tegelijkertijd gaan om
meetactiviteiten: vaststellen van de inhoud of oppervlakte. Andere activiteiten waarin beide aan bod
kunnen komen:
- Plattengronden, landkaarten en routes: coördinaten, windrichtingen en et bepalen van locaties
behoren tot meetkunde; oppervlaktes en afstanden bij meten.
- Tijdzones: lokaliseren of plaatsbepaling valt onder meetkunde, tijdmeting onder meten.
- Het maken van een zonnewijzer: voorspellen van de schaduw valt onder meetkunde, tijdmeting
onder meten.
Meten
Meten en meetgetallen zijn overal
In het dagelijks leven kom je voortdurend in aanraking met meetgetallen: etiketten, snelheidsmeter,
temperatuur, kijken op je horloge, etc. Meetgetallen zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud,
temperatuur en snelheid. Bij elke grootheid bestaan verschillende maten of maateenheden, die
afhankelijk van de situatie worden gebruikt. Tijdstippen en bedragen zijn ook meetgetallen. In het
dagelijks leven gebruik je dus veel meetreferenties; een voorbeeld van een referentiegetal is 365, ook
zonder de maat denk je waarschijnlijk aan het aantal dagen in een jaar.
Meetinstrumenten
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar (maatbeker). Andere
meetinstrumenten liggen in het verlengde van afpassen met een maat (rolmaat). Bij weer andere
instrumenten is het afpassen verder naar de achtergrond verdwenen (digitale weegschaal: je ziet direct
het resultaat). Een unster (een weeghaak) is een voorbeeld van indirect meten: de ene grootheid (lengte)
wordt gemeten om een andere grootheid (gewicht) te bepalen. Op meetinstrumenten staat een
schaalverdeling.
Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hangt af van de
gehanteerde maat en de precisie. Een afstand van twee getallen waarbinnen het meetresultaat ligt, wordt
een meetinterval genoemd. De meetnauwkeurigheid van metingen impliceert ook een
meetonnauwkeurigheid. In die zin treden bij meten per definitie meetfouten op, deze meetfout valt
binnen het meetinterval, dat in dit geval wordt aangeduid als foutenmarge. Meetfouten kunnen ontstaan
bij de meethandeling zelf, om het effect van zo’n fout te verkleinen kun je een meting herhaald uitvoeren
en vervolgens het gemiddelde van de resultaten meenemen.
