samenvatting: ruimtemeetkunde, volume omwentelingslichamen, statistiek, normale verdeling

Wiskunde samenvatting juni
1.Toepassingen van de integraalrekening
1.1 volume van omwentelingslichamen
1.1.1 algemeen
- definitie: Een omwentelingslichaam ontstaat door het wentelen
van een vlak deel rond een rechte (omwentelingsas)

f is continu in [a , b]
Wat is het volume van het omwentelingslichaam dat ontstaat door het wentelen
ronde x-as van het vlak deel begrensd door de x−as , de grafiek van f , de rechte
x=a en de rechte x=b ?
b−a
- Verdeel [a , b] in n gelijke deelintervallen met breedte Δx =
n
- Kies in elk deelinterval een willekeurige x -waarde x i en construeer een rechthoek met breedte Δx en
hoogte f (x ¿¿ i) ¿ op dat deelinterval.
- Bij wentelen van zo’n rechthoek rond de x-as ontstaat er een cilinder met volume
2
V i=( f ( x i ) ) . π . Δx
n n
- De som V n van de volumes van al deze cilinders: V n= ∑ (V n )=∑ (( f ( xi ) )¿ ¿ 2 ¿ ⋅ Δx ⋅ π)¿ ¿
i=1 i=1
- Exacte volume V van gegeven omwentelingslichaam door # deelintervallen n →+∞

n b
V = lim ∑ (( f ( x i ) ) ¿ ¿ 2¿ ⋅ Δx ⋅π ) ¿ ¿ = π ∫ ( f ( x ) ) ⅆx
n→+ ∞ i=1
2

a



1.1.2 Volume van een cilinder


h
V =¿ π ∫ r 2 ⅆx
0

2 h 2
¿ π [r x ]0 =π . r . h (¿ G . h)




1.1.3 Volume van een Kegel


V =¿


[ ]
h h h

π∫
0
( ) r 2
h
r2
h 0
2 r2 x3
x ⅆx =π . 2 . ∫ x ⅆx =π . 2 .
h 3 0

, r ² h³ 1 2 1
¿π. . = .π .r .h (¿ . G .h)
h² 3 3 3




1.1.4 Volume van een afgeknotte kegel
h R R

( )
2
R−r 2 h . dt π .h
V =¿ π ∫ x+ r ⅆx =¿ π ∫ (t . ) ⅆx = .∫ t ⅆ x
2

0 h r R−r R−r r

R−r
t= x+ r ¿
h

[]
3 R
π .h t
.
R−r 3 r



( )
3 3
R−r π .h R r
dt = dx ¿ . −
h R−r 3 3
1 2 2
¿ . π . h .( R +rR +r )
3
1
¿ . h .(G+ √ GB+ B)
3
1.1.5 Volume van een torus (=donut)
r r
2 2
V =π ∫ ( √ r −x ²+ R ) ⅆx −π ∫ ( −√ r −x ² + R ) ⅆx
2 2

−r −r

r
2
¿ π ∫ ( ( √ r −x + R ) −(¿ √ r −x + R)²)dx ¿
2 2 2 2

−r

r
¿ π ∫ ( √r 2−x 2+ R+ √ r 2 −x2 −R )( √ r 2−x 2 + R− √ r 2 −x2 + R ) dx
−r

r
¿ ∫ (2. √ r −x ² ¿ .2 . R) dx ¿
2

−r

r
¿ 4. π . R . ∫ ( √ r −x ¿ )dx ¿
2 2

−r

π .r ² 2 2
¿ 4. π . R . =2 π R r
2


1.1.6 Volume van een bol

, r r
2 2
V =π ∫ ( √ r −x ) ⅆx =π ∫ ( r −x ) dx
2 2 2

−r −r

r r
¿ π ∫ r ⅆx −π ∫ x ⅆx
2 2

−r −r

r
2 rx³
¿ π .[r . x ] −π . [ ]
−r
3 −r

2. π 3
¿ π . ( r 3+ r 3 )−π .
3
4
3 2. π 4. π . r ³
¿ 2. π . r − =
3 3




2.Beschrijvende statistiek
2.1 begrippen uit de beschrijvende statistiek
2.1.1 voorbeelden
- populatie: alle appels van alle appelbomen
- steekproef: het n-aantal gewogen appels
- enkelvoudige aselecte steekproef: het n-aantal gewogen willekeurig geplukte appels
Definitie: Een EAS met grootte n is een steekproef met grootte n die uit de populatie gekozen
is, zodat elke andere steekproef met grootte n uit die populatie evenveel kans heeft om
gekozen te worden
- waarneming: de n-aantal metingen van de massa’s van de appels (x 1 , x 2 , x 3 , … , x n )
(alle waarnemingen vormen de data(set) van de steekproef)

2.1.2 Histogram en ogief
- absolute frequentie (ni ): Het aantal keer dat een
waarneming voorkomt
absolute frequentie
- relatieve frequentie ( f i):
steekproef grootte n
- Histogram: een staafdiagram met staafjes aaneengeplakt

- Frequentiekromme (rechte lijn) of frequentiepolygoon
(gebroken lijn):
De middens van de bovenzijde van de rechthoeken van het
histogram verbinden + beide uiteinden klasse met
frequentie 0 toegevoegd zodat het begint op de x-as