3 Maatstaven voor ligging en spreiding
Maatstaven voor ligging, gemiddelden of centrummaten geven aan rond welke waarde op
meetschaal van variabele frequentieverdeling zich concentreert
Centrummaten: maten die aangeven hoe onderzoekseenheden (respondenten)
geconcentreerd zijn. We zoeken naar centrale tendens van frequentieverdeling van bepaalde
variabele. We zoeken naar meest representatieve waarde.
Spreidingsmaten: vertellen ons meer over wijze van spreiding (rond centrummaten) van
onderzoekseenheden over verschillende mogelijke waarden van bepaalde variabele.
Verschil: aantonen door volgende 2 grafieken van leeftijdsverdelingen. Beide verdelingen
worden gekenmerkt door dezelfde centrale tendens (zwaartepunt=6). In linkse grafiek is
spreiding groter dan in rechtse.
Spreidingsmaten geven variabiliteit of spreiding van waarnemingsuitkomsten over
meetschaal van variabele weer.
3.1 Centrummaten
We bespreken volgende centrummaten:
- het rekenkundig gemiddelde
- de mediaan
- de modus
Doen dit bij niet-gegroepeerde waarnemingen en bij gegroepeerde waarnemingen of
frequentieverdelingen.
3.1.1 Centrummaten voor ongegroepeerde gegevens
Rekenkundiggemiddelde
𝑛
Rekenkundig gemiddelde ( 𝑋 ) berekenen we door alle resultaten op te tellen ( ∑ 𝑋𝑖)
𝑖=1
vervolgens te delen door aantal waarnemingen (n).
1
,
Rekenkundig gemiddelde is belangrijkste en meest gebruikte centrummaat.
Voorbeeld: Punten van een student voor zijn examens
Vakken Resultaat studiepunten
op 10
Economie 5 6
Statistiek 7 3
Recht 9 4
Rekenkundig gemiddelde:
Als niet aan alle waarnemingen eenzelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt
men elke waarde met wegingsfactor en bepaalt men pas dan rekenkundig gemiddelde.
Gewogen rekenkundig gemiddelde:
2
, Eigenschappen van rekenkundig gemiddelde:
1. Vermindert men alle waarnemingen met zelfde getal, dan wordt rekenkundig gemiddelde
verminderd met dat getal
men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren
n=7: 176, 173, 179, 184, 177, 190, 171 dus alle resultaten worden verminderd met 170:
6 + 3 + 9 + 14 + 7 + 20 + 1
X= = 8,6
7
X n = 170 + 8,6 = 178,6
2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met zelfde getal, dan wordt rekenkundig gemiddelde
met dit getal vermenigvuldigd (idem delen)
men mag alle resultaten vereenvoudigen
n=7: 105, 35, 50, 55, 80, 45, 15 dus alle resultaten worden gedeeld door 5:
21 + 7 + 10 + 11 + 16 + 9 + 3
X= = 11,0
7
X n = 11,0 × 5 = 55,0
3. Som van afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig
gemiddelde is nul.
n=4: 104, 38, 74, 60
276
X= = 69,0
4
alle resultaten worden verminderd met het rekenkundig gemiddelde:
104 – 69 = 35
38 – 69 = - 31 Σ = 40 – 40 = 0
74 – 69 = 5
60 – 69 = - 9
3
Maatstaven voor ligging, gemiddelden of centrummaten geven aan rond welke waarde op
meetschaal van variabele frequentieverdeling zich concentreert
Centrummaten: maten die aangeven hoe onderzoekseenheden (respondenten)
geconcentreerd zijn. We zoeken naar centrale tendens van frequentieverdeling van bepaalde
variabele. We zoeken naar meest representatieve waarde.
Spreidingsmaten: vertellen ons meer over wijze van spreiding (rond centrummaten) van
onderzoekseenheden over verschillende mogelijke waarden van bepaalde variabele.
Verschil: aantonen door volgende 2 grafieken van leeftijdsverdelingen. Beide verdelingen
worden gekenmerkt door dezelfde centrale tendens (zwaartepunt=6). In linkse grafiek is
spreiding groter dan in rechtse.
Spreidingsmaten geven variabiliteit of spreiding van waarnemingsuitkomsten over
meetschaal van variabele weer.
3.1 Centrummaten
We bespreken volgende centrummaten:
- het rekenkundig gemiddelde
- de mediaan
- de modus
Doen dit bij niet-gegroepeerde waarnemingen en bij gegroepeerde waarnemingen of
frequentieverdelingen.
3.1.1 Centrummaten voor ongegroepeerde gegevens
Rekenkundiggemiddelde
𝑛
Rekenkundig gemiddelde ( 𝑋 ) berekenen we door alle resultaten op te tellen ( ∑ 𝑋𝑖)
𝑖=1
vervolgens te delen door aantal waarnemingen (n).
1
,
Rekenkundig gemiddelde is belangrijkste en meest gebruikte centrummaat.
Voorbeeld: Punten van een student voor zijn examens
Vakken Resultaat studiepunten
op 10
Economie 5 6
Statistiek 7 3
Recht 9 4
Rekenkundig gemiddelde:
Als niet aan alle waarnemingen eenzelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt
men elke waarde met wegingsfactor en bepaalt men pas dan rekenkundig gemiddelde.
Gewogen rekenkundig gemiddelde:
2
, Eigenschappen van rekenkundig gemiddelde:
1. Vermindert men alle waarnemingen met zelfde getal, dan wordt rekenkundig gemiddelde
verminderd met dat getal
men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren
n=7: 176, 173, 179, 184, 177, 190, 171 dus alle resultaten worden verminderd met 170:
6 + 3 + 9 + 14 + 7 + 20 + 1
X= = 8,6
7
X n = 170 + 8,6 = 178,6
2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met zelfde getal, dan wordt rekenkundig gemiddelde
met dit getal vermenigvuldigd (idem delen)
men mag alle resultaten vereenvoudigen
n=7: 105, 35, 50, 55, 80, 45, 15 dus alle resultaten worden gedeeld door 5:
21 + 7 + 10 + 11 + 16 + 9 + 3
X= = 11,0
7
X n = 11,0 × 5 = 55,0
3. Som van afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig
gemiddelde is nul.
n=4: 104, 38, 74, 60
276
X= = 69,0
4
alle resultaten worden verminderd met het rekenkundig gemiddelde:
104 – 69 = 35
38 – 69 = - 31 Σ = 40 – 40 = 0
74 – 69 = 5
60 – 69 = - 9
3
