Samenvatting optimaliseren (deel 2)

Optimaliseren
H13: Decision making under uncertainty
1. Deal or no deal?
→ Quizshow met koffertjes en geldbedragen  koffertje kiezen
→ andere koffertjes elimineren  bank doet bod  deal or no deal?
→ Beslissingsboom: kans dat bank een bod doet van  300.000 = 2/3
→ Keuze? Risico-attitude van de deelnemer
2 1
- Bod aanvaarden: 𝑢(𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛) > 𝑢(𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡) + 𝑢(𝑔𝑒𝑒𝑛)
3 3
2 1
- Bod verwerpen: 𝑢(𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛) < 𝑢(𝑔𝑟𝑜𝑜𝑡) + 𝑢(𝑔𝑒𝑒𝑛)
3 3
→ Nutsfunctie vb: 𝑈(𝑥) = 1 − 𝑒 𝑥/𝑅  R = risico-tolerantie
→ Bank doet bod gelijk aan verwachte waarde?
→ verlies is dubbel zo groot als potentiële extra winst

2. Decision criteria
2.1 Introductie
→ Vb: reserveren in de faculty club
- De situatie: registratie van 120 mensen  rond 12u doorgeven hoeveel mensen komen eten
- De overwegingen: doorgegeven aantal > werkelijk aantal  verlies geld
doorgegeven aantal < werkelijk aantal  mensen geen eten
→ Actieverzameling
- Mogelijke acties: actieverzameling = A = {120, 110, 100, 90, 80, 70}
- We gaan ervanuit dat #mensen dat komt = states/toestanden = S = {70, 80, 90, 100, 110, 120}
- In dit geval: S = A (niet altijd zo)
→ Kost van verschil tussen actie en toestand
- Kwantificeren van de overwegingen?
- 1 maaltijd = €10 vs. niet beschikbaar hebben van een maaltijd = €1000

2.2 Kostentabel
→ = elke rij correspondeert met een mogelijke actie, elke kolom met een mog toestand
→ Een cel geeft kosten weer van de corresponderende actie en toestand
→ kosten ve cel = (actie x 100) + max(toestand – actie, 0) x 1000
Vb: a5 en s4  80 mensen doorgegeven = 10 geen eten
→ 4 criteria voor oplossing te kiezen
1) Verwachte waarde = beschikt over kansverdeling vd toestanden
→ Kies de actie met de beste verwachte waarde (laagste kost)
2) Maximin = actie kiezen waarvan hoogste kosten minimaal zijn
- Voor elke mogelijke actie, de slechtst mogelijke uitkomst aanduiden
- Kies nu de minst slechte situatie = oplossing = a1  120 maaltijden bestellen
3) Maximax = actie kiezen waarvan laagste kosten minimaal zijn
- Voor elke mogelijke actie, de best mogelijke uitkomst aanduiden
- Kies nu de beste situatie = oplossing = a6  70 maaltijden bestellen
4) Minimax regret = bepaal voor elke toestand, actie met laagste kosten
- Bepaal voor elke kolom de rij met de laagste kosten = vermijd spijt achteraf
- Stel regret matrix op = kosten – laagste kosten
→ spijt = 0 = geen spijt (beste actie gekozen)
- Pas minimax principe toe: actie waar grootste spijt min is
→ oplossing = a1  120 maaltijden bestellen

1

, 3. Utility theory
3.1 Nutsfuncties en loterijen
→ Beslisser is een optimist (maximax) of pessimist (maximin)  heeft een nutsfunctie
→ Nutsfunctie opstellen door loterijen met elkaar te vergelijken
→ Voorbeeld nutsfunctie: 𝐿 = (𝑝1 , 𝑟1 ; 𝑝2 , 𝑟2 )
→ Lotterij L met reward 𝑟𝑖 en probability 𝑝𝑖
→ Vb: 2 lotterijen 𝐿1 en 𝐿2  welke prefereer je?
- 𝐸𝑉(𝐿1 ) = 10.000 < 𝐸𝑉(𝐿2 ) = 15.000
- Toch kiezen de meeste 𝐿1  verwachte opbrengst lager maar minder onzekerheid
 Als je 𝐿1 prefereert over 𝐿2  𝐿1 𝑝𝐿2
 Als je 𝐿2 prefereert over 𝐿1  𝐿2 𝑝𝐿1
 Als je indifferent bent tussen 𝐿1 en 𝐿2  𝐿1 𝑖𝐿2  𝐿1 en 𝐿2 zijn equivalent
→ Hoe kunnen we 4 loterijen rangschikken?
- Aan elk van de uitkomsten (r), een nut toekennen (u(r))
→ Nutsfunctie kent aan elke uitkomst een getal tss 0 (slecht) en 1 (goed) toe
- Eerst best (30.000) en slechtst mogelijke (-10.000) uitkomst vinden
- Daarna voor andere uitkomst kans p bepalen zodat beslisser indifferent tav
→ u(r) = p  niet bekend, maar gevraagd aan de persoon (voorkeur)
→ Simple vs compound lottery  herformuleren loterijen ifv laagste/hoogste uitkomst




→ Het verwachte nut van een loterij (voor persoon met deze voorkeuren)  L1 p L2 p L4 p L3
- E(U van L1)= p x u(10.000) = 1 x 0,90 = 0,90
- E(U van L2)= p x u(30.000) + (1-p) x u(0) = (1/2 x 1) + (1/2 x 0,60 )= 0,80
- E(U van L3)= p x u(0) = 1 x 0,60 = 0,60
- E(U van L4)= p x u(-10.000) + (1-p) x u(500) = 0,02 x 0 + 0,98 x 0,62 = 0,6076

3.2 5 axioma’s van Neumann en Morgenstern
→ Aan welke voorwaarden moeten de preferenties ve persoon voldoen
→ opdat kiezen van loterijen kan gebeuren op basis van het verwachte nut?
→ 5 axioma’s zijn hiervoor voldoende (niet vanbuiten  begrijpen + interpreteren)
1) Complete ordening  transitiviteit: als 𝑟1 > 𝑟2 𝑒𝑛 𝑟2 < 𝑟3 → 𝑟1 > 𝑟3
2) Continuïteit: als 𝑟1 (ℎ𝑜𝑜𝑔𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡) > 𝑟2 (𝑡𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑠𝑡) en 𝑟2 > 𝑟3 (𝑙𝑎𝑎𝑔𝑠𝑡𝑒)
→ dan is er een p (0 < p < 1) zodanig dat 𝐿1 𝑖𝐿2
3) Onafhankelijkheid: stel indifferent tss 𝑟1 en 𝑟2 en 𝑟3 andere opbrengst  𝐿1 𝑖𝐿2
4) Ongelijke kansen: stel 𝑟1 > 𝑟2  2 loterijen met enige uitkomsten 𝑟1 en 𝑟2  keuze voor 𝑟1
5) Samengestelde loterij (compound lottery): kans 𝑝𝑖 op opbrengst 𝑟𝑖
→ L’ = (p1, r1; p2, r2; … ; pn, rn)  L i L’

3.3 Zekerheid en risico
→ Het zekerheidsequivalent van een loterij L = ZE(L)
- Beslisser is indifferent tussen de loterij L en het gewoon krijgen vd opbrengst ZE(L)
- Stel 𝐿1 𝑖𝐿2  𝑍𝐸(𝐿1 ) = −3400
→ De risicopremie = E(L) – ZE(L) met E(L) = verwachte opbrengst van loterij L
→ RP(L1) = E(L1) – ZE(L1) = 10000 – (- 3400) = 13400
→ Risicopreferenties
- Risico-avers: RP(L) > 0  nutsfunctie = strikt concaaf
- Risico-neutraal: RP(L) = 0  nutsfunctie = lineair
- Risico-zoekend: RP(L) < 0  nutsfunctie = strikt convex

2