Statstek I (B)
Hoofdstuk 8: Steekproefverdelingen
1. Steekproeven
In de realiteit onderzoeken we geen volledige populatess aar beperken we ons tot een
steekproef uit die populate.
Aselecte of lukrake steekproef van X:
Bestaat uit een aantal onafankeliike trekkingen uit dezelfde verdeling
o Deze trekkingen ziin op hun beurt kansvariabelen: �1,�2s…,��
Op erking:
Kansvariabelen ��hebben dezelfde verdeling als �
2. Steekproefge iddelde
Het steekproefge iddelde is ook een kansvariabele:
�=1�∙�=1���
Verwachtngswaarde van het steekproefge iddelde: ��=�
Variante van het steekproefge iddelde:
����=�2�
Standaardafwiiking van het steekproefge iddelde:
��
Verdeling van steekproefge iddelde:
Voor een voldoende grote aselecte steekproef is het steekproefge iddelde � bii
benadering nor aal verdeeld:
�~��,�2�s �→∞
Op erking: de benadering is exact als kansvariabele � nor aal verdeeld is
3. Steekproefproporte
Bii een aselecte steekproef van een Bernoulli verdeelde kansvariabele � is:
Aantal successen in de steekproef:
�=1���
Proporte successen in de steekproef:
1�∙�=1���
o De steekproefproporte is dus geliik aan het steekproefge iddelde
Verwachtngswaarde van de steekproef et ��=�: ��=�
Variante van de steekproef et ����=�∙1−�:
����=�∙1−��
, Hoofdstuk 9: Schaters
Schaters worden gebruikt voor het schaten van populatepara eters o.b.v. een steekproef
1 Puntschaters
Onbekende para eter �s dan is de functe �=ℎ�1,�2s…,�� een (punt)schater van �.
De schater is een kansvariabele
De functewaarde ℎ�1,�2s…,�� o.b.v. waarne ingen �1,�2s…,�� is een schatng
2 Schaters vergeliiken
O de beste schater te kunnen kiezen oeten enkele criteria vastgelegd worden
2.1 Zuivere schater
Eerste criteriu : verwachtngswaarde van de schater
Zuivere of onvertekende schater �:
��=�
Vertekening of bias:
��=��−�
Asy ptotsch zuivere schater �:
lim�→∞��=0
2.2 Efficiënte schater
Tweede criteriu : variante van de schater
Relateve efficiënte van �2 t.o.v. �1s beide zuivere schaters:
����1����2
De eest efficiënte schater: absoluut efficiënte of beste zuivere schater
Vergeliiken van vertekende schaters:
Gebruik van de MSE: ����=��−�2
Relateve efficiënte van �2 t.o.v. �1:
����1����2
Voor een zuivere schater geldt: ����=����
2.3 Consistente schater
Schater �� is consistent als
lim�→∞���−�≥�=0s ∀�>0
Notate: ����
3 Schaters opstellen
3.1 Mo entenschater
Populate o enten:
k-de populate o ent �� van een kansvariabele �:
��=���
�1 = populatege iddelde
Steekproef o enten:
k-de steekproef o ent �� van een steekproef �1,�2s…,��:
��=1�∙�=1����
�1 = steekproefge iddelde
Hoofdstuk 8: Steekproefverdelingen
1. Steekproeven
In de realiteit onderzoeken we geen volledige populatess aar beperken we ons tot een
steekproef uit die populate.
Aselecte of lukrake steekproef van X:
Bestaat uit een aantal onafankeliike trekkingen uit dezelfde verdeling
o Deze trekkingen ziin op hun beurt kansvariabelen: �1,�2s…,��
Op erking:
Kansvariabelen ��hebben dezelfde verdeling als �
2. Steekproefge iddelde
Het steekproefge iddelde is ook een kansvariabele:
�=1�∙�=1���
Verwachtngswaarde van het steekproefge iddelde: ��=�
Variante van het steekproefge iddelde:
����=�2�
Standaardafwiiking van het steekproefge iddelde:
��
Verdeling van steekproefge iddelde:
Voor een voldoende grote aselecte steekproef is het steekproefge iddelde � bii
benadering nor aal verdeeld:
�~��,�2�s �→∞
Op erking: de benadering is exact als kansvariabele � nor aal verdeeld is
3. Steekproefproporte
Bii een aselecte steekproef van een Bernoulli verdeelde kansvariabele � is:
Aantal successen in de steekproef:
�=1���
Proporte successen in de steekproef:
1�∙�=1���
o De steekproefproporte is dus geliik aan het steekproefge iddelde
Verwachtngswaarde van de steekproef et ��=�: ��=�
Variante van de steekproef et ����=�∙1−�:
����=�∙1−��
, Hoofdstuk 9: Schaters
Schaters worden gebruikt voor het schaten van populatepara eters o.b.v. een steekproef
1 Puntschaters
Onbekende para eter �s dan is de functe �=ℎ�1,�2s…,�� een (punt)schater van �.
De schater is een kansvariabele
De functewaarde ℎ�1,�2s…,�� o.b.v. waarne ingen �1,�2s…,�� is een schatng
2 Schaters vergeliiken
O de beste schater te kunnen kiezen oeten enkele criteria vastgelegd worden
2.1 Zuivere schater
Eerste criteriu : verwachtngswaarde van de schater
Zuivere of onvertekende schater �:
��=�
Vertekening of bias:
��=��−�
Asy ptotsch zuivere schater �:
lim�→∞��=0
2.2 Efficiënte schater
Tweede criteriu : variante van de schater
Relateve efficiënte van �2 t.o.v. �1s beide zuivere schaters:
����1����2
De eest efficiënte schater: absoluut efficiënte of beste zuivere schater
Vergeliiken van vertekende schaters:
Gebruik van de MSE: ����=��−�2
Relateve efficiënte van �2 t.o.v. �1:
����1����2
Voor een zuivere schater geldt: ����=����
2.3 Consistente schater
Schater �� is consistent als
lim�→∞���−�≥�=0s ∀�>0
Notate: ����
3 Schaters opstellen
3.1 Mo entenschater
Populate o enten:
k-de populate o ent �� van een kansvariabele �:
��=���
�1 = populatege iddelde
Steekproef o enten:
k-de steekproef o ent �� van een steekproef �1,�2s…,��:
��=1�∙�=1����
�1 = steekproefge iddelde
