Wiskunde
basis
natuurlijke getallen ℕ ={0, 1, 2, 3, … }
gehele getallen ℤ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
rationale getallen ℚ zijn getallen met breuken erbij
reële getallen ℝ = ℕ ℤ ℚ, bij elkaar alles behalve i getallen
soorten functies:
algebraïsche functies
- constante functie f(x) = a
- lineaire functie f(x) = ax + b
2
- kwadratische functie 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑝(𝑥)
- rationale functies 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)
- irrationale functies, rationale en wortels samen
transcendente functies
𝑥
- exponentiële functies 𝑓(𝑥) = 𝑏 met b > 0 en b ≠ 1
1
- logaritmische functies 𝑓(𝑥)
= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥)
- goniometrische functies met sin (x), tan (x) , cos (x)
, vergelijkingen oplossen
kwadratische vergelijking
2
- discriminant gebruiken 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐, bij D < 0, geen oplossing, D =0, 1 oplossing
D>0, 2 oplossingen
- gelijke noemer maken
- merkwaardige producten
2
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑝 + 𝑞)(𝑔 + ℎ)
2
- 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑝 − 𝑞)(𝑔 − ℎ)
2 2
- 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 − 𝑐 𝑂𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑐 = (𝑝 − 𝑞)(𝑔 + ℎ)
2 2
- 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
2 2 2
- (𝑎 ± 𝑏) = 𝑎 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏
- regel van Horner 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) = 0
3 2
voorbeeld: 𝑇(𝑥) = 𝑥 + 4𝑥 − 3𝑥 − 18 = 0
a = x bij 0-punt zoeken door met 1 te beginnen, dan 2 etc. → x=a=2
Q Q Q R
1 4 -3 -18
a=2 0 2 12 18
1 6 9 0 (betekent dat het klopt!!!)
2
T(x) invullen → 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 6𝑥 + 9) + 0 = 0
2
T(x) uitwerken → 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 0 → x = 2 en x=3
(grootste macht is gelijk aan aantal oplossingen)
2
- substitutie van 𝑡 = 𝑥 bij bikwadratische formules
4 2 2
voorbeeld: 𝑥 + 4𝑥 + 6 = 0 → 𝑡 − 5𝑡 + 6 = 0 → (𝑡 − 2)(𝑡 − 3) = 0
2 2
t = 2 en t=3 → 𝑥 = 2 𝑒𝑛 𝑥 = 3 → 𝑥 =± 2 𝑒𝑛 𝑥 =± 3
rationale vergelijking (breuk)
- altijd rekening houden met bestaansvoorwaarden BV want noemer ≠ 0
- alles vermenigvuldigen met beide noemers
- kruis som gebruiken
irrationale vergelijking
- onbekende staat onder wortel
- BV is geen negatief getal onder wortel, behalve bij oneven machtswortels
2 2 2
- kwadrateringsvoorwaarde, zoals (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏
rekenregels ongelijkheden
- optellen of aftrekken blijft ongelijkheid hetzelfde
- vermenigvuldigen of delen met positief getal, blijft alles hetzelfde
- vermenigvuldigen of delen met negatief getal, ongelijkheid keert om
basis
natuurlijke getallen ℕ ={0, 1, 2, 3, … }
gehele getallen ℤ = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }
rationale getallen ℚ zijn getallen met breuken erbij
reële getallen ℝ = ℕ ℤ ℚ, bij elkaar alles behalve i getallen
soorten functies:
algebraïsche functies
- constante functie f(x) = a
- lineaire functie f(x) = ax + b
2
- kwadratische functie 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑝(𝑥)
- rationale functies 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)
- irrationale functies, rationale en wortels samen
transcendente functies
𝑥
- exponentiële functies 𝑓(𝑥) = 𝑏 met b > 0 en b ≠ 1
1
- logaritmische functies 𝑓(𝑥)
= 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥)
- goniometrische functies met sin (x), tan (x) , cos (x)
, vergelijkingen oplossen
kwadratische vergelijking
2
- discriminant gebruiken 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐, bij D < 0, geen oplossing, D =0, 1 oplossing
D>0, 2 oplossingen
- gelijke noemer maken
- merkwaardige producten
2
- 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑝 + 𝑞)(𝑔 + ℎ)
2
- 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑝 − 𝑞)(𝑔 − ℎ)
2 2
- 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 − 𝑐 𝑂𝐹 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 − 𝑐 = (𝑝 − 𝑞)(𝑔 + ℎ)
2 2
- 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
2 2 2
- (𝑎 ± 𝑏) = 𝑎 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏
- regel van Horner 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) = 0
3 2
voorbeeld: 𝑇(𝑥) = 𝑥 + 4𝑥 − 3𝑥 − 18 = 0
a = x bij 0-punt zoeken door met 1 te beginnen, dan 2 etc. → x=a=2
Q Q Q R
1 4 -3 -18
a=2 0 2 12 18
1 6 9 0 (betekent dat het klopt!!!)
2
T(x) invullen → 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 6𝑥 + 9) + 0 = 0
2
T(x) uitwerken → 𝑇(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = 0 → x = 2 en x=3
(grootste macht is gelijk aan aantal oplossingen)
2
- substitutie van 𝑡 = 𝑥 bij bikwadratische formules
4 2 2
voorbeeld: 𝑥 + 4𝑥 + 6 = 0 → 𝑡 − 5𝑡 + 6 = 0 → (𝑡 − 2)(𝑡 − 3) = 0
2 2
t = 2 en t=3 → 𝑥 = 2 𝑒𝑛 𝑥 = 3 → 𝑥 =± 2 𝑒𝑛 𝑥 =± 3
rationale vergelijking (breuk)
- altijd rekening houden met bestaansvoorwaarden BV want noemer ≠ 0
- alles vermenigvuldigen met beide noemers
- kruis som gebruiken
irrationale vergelijking
- onbekende staat onder wortel
- BV is geen negatief getal onder wortel, behalve bij oneven machtswortels
2 2 2
- kwadrateringsvoorwaarde, zoals (𝑎 − 𝑏) = 𝑎 − 2𝑎𝑏 + 𝑏
rekenregels ongelijkheden
- optellen of aftrekken blijft ongelijkheid hetzelfde
- vermenigvuldigen of delen met positief getal, blijft alles hetzelfde
- vermenigvuldigen of delen met negatief getal, ongelijkheid keert om
