Hoofdstuk 3: Kinematica in twee en drie Dimensies; Vectoren
Vector = Grootheid met zowel een grootte als een richting.
Scalair = Grootheid met enkel een grootte.
Optellen van vectoren a.d.h.v. grafische voorstelling door pijlen:
- Kopstaartmethode: Beginpunt van elke volgende pijl in eindpunt v/d vorige
pijl tekenen (grootte en hoek behouden) → De resultante is de pijl vanuit
het beginpunt v/d eerste pijl tot aan het eindpunt v/d laatste pijl.
- Parallellogrammethode: Beginpunten van 2 pijlen in zelfde punt → De
resultante is de diagonaal v/e parallellogram (met de 2 pijlen als zijden)
vertrekkende van hetzelfde beginpunt als de 2 pijlen.
- Analytische methode: Opdelen van elke pijl in componenten van gekozen
assen m.b.v. goniometrische functies
o 𝑉𝑥 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃.
o 𝑉𝑦 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜃.
Na optellen van x- en y-componenten berekenen we de resultante
o Grootte: 𝑉 = √𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦2 (Pythagoras).
𝑉𝑦
o Richting: 𝑡𝑎𝑛𝜃 = .
𝑉𝑥
- Een vector aftrekken van een andere vector is hetzelfde als optellen met
zijn tegengestelde vector (richting negatieve vector 180° omdraaien geeft
positieve vector).
- Vector 𝑉⃗ vermenigvuldigen met een scalair c → Resultante behoudt
oorspronkelijke richting en heeft grootte c· 𝑉
⃗.
Eenheidsvector = Vector met grootte gelijk aan 1 die langs een gekozen
coördinaat-as ligt. (Vector kan dus worden geschreven als 𝑉
⃗ = 𝑉𝑥 ⃗⃗⃗
𝑒𝑥 + 𝑉𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑉𝑧 ⃗⃗⃗
Verplaatsingsvector = Δ𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟1 .
𝑟2 − ⃗⃗⃗
Δ𝑟 𝑑𝑟
Momentane snelheidsvector = 𝑣 = lim = met als richting de raaklijn aan het
Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡
pad van de beweging in de grafiek.
𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
(Opdeling in eenheidsvectoren 𝑣 = = 𝑒
⃗⃗⃗ + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑦 + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗
𝑒𝑧 = 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗
𝑒𝑥 + 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑣𝑧 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥
⃗
Δ𝑣 ⃗
𝑑𝑣
Momentane versnellingsvector = 𝑎 = lim = met als richting Δ𝑣 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 .
𝑣2 − ⃗⃗⃗⃗
Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡
⃗
𝑑𝑣 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧
(Opdeling in eenheidsvect.n 𝑎 = = 𝑒 + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 = 𝑎𝑥 ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑡
Veralgemeende vergelijkingen voor bewegingen met constante versnelling:
- 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗
𝑣0 + 𝑎𝑡. Opdeling in x- en y-componenten mogelijk.
1
- 𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 .
𝑟0 + ⃗⃗⃗⃗
1
Vector = Grootheid met zowel een grootte als een richting.
Scalair = Grootheid met enkel een grootte.
Optellen van vectoren a.d.h.v. grafische voorstelling door pijlen:
- Kopstaartmethode: Beginpunt van elke volgende pijl in eindpunt v/d vorige
pijl tekenen (grootte en hoek behouden) → De resultante is de pijl vanuit
het beginpunt v/d eerste pijl tot aan het eindpunt v/d laatste pijl.
- Parallellogrammethode: Beginpunten van 2 pijlen in zelfde punt → De
resultante is de diagonaal v/e parallellogram (met de 2 pijlen als zijden)
vertrekkende van hetzelfde beginpunt als de 2 pijlen.
- Analytische methode: Opdelen van elke pijl in componenten van gekozen
assen m.b.v. goniometrische functies
o 𝑉𝑥 = 𝑉𝑐𝑜𝑠𝜃.
o 𝑉𝑦 = 𝑉𝑠𝑖𝑛𝜃.
Na optellen van x- en y-componenten berekenen we de resultante
o Grootte: 𝑉 = √𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦2 (Pythagoras).
𝑉𝑦
o Richting: 𝑡𝑎𝑛𝜃 = .
𝑉𝑥
- Een vector aftrekken van een andere vector is hetzelfde als optellen met
zijn tegengestelde vector (richting negatieve vector 180° omdraaien geeft
positieve vector).
- Vector 𝑉⃗ vermenigvuldigen met een scalair c → Resultante behoudt
oorspronkelijke richting en heeft grootte c· 𝑉
⃗.
Eenheidsvector = Vector met grootte gelijk aan 1 die langs een gekozen
coördinaat-as ligt. (Vector kan dus worden geschreven als 𝑉
⃗ = 𝑉𝑥 ⃗⃗⃗
𝑒𝑥 + 𝑉𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑉𝑧 ⃗⃗⃗
Verplaatsingsvector = Δ𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑟1 .
𝑟2 − ⃗⃗⃗
Δ𝑟 𝑑𝑟
Momentane snelheidsvector = 𝑣 = lim = met als richting de raaklijn aan het
Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡
pad van de beweging in de grafiek.
𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧
(Opdeling in eenheidsvectoren 𝑣 = = 𝑒
⃗⃗⃗ + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑦 + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗
𝑒𝑧 = 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗
𝑒𝑥 + 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑣𝑧 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥
⃗
Δ𝑣 ⃗
𝑑𝑣
Momentane versnellingsvector = 𝑎 = lim = met als richting Δ𝑣 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 .
𝑣2 − ⃗⃗⃗⃗
Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡
⃗
𝑑𝑣 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑧
(Opdeling in eenheidsvect.n 𝑎 = = 𝑒 + 𝑑𝑡 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑒𝑦 + 𝑒𝑧 = 𝑎𝑥 ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑒𝑥 + 𝑎𝑦 ⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑧 .)
𝑒𝑦 + 𝑎𝑧 ⃗⃗⃗
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑑𝑡
Veralgemeende vergelijkingen voor bewegingen met constante versnelling:
- 𝑣 = ⃗⃗⃗⃗
𝑣0 + 𝑎𝑡. Opdeling in x- en y-componenten mogelijk.
1
- 𝑟 = ⃗⃗⃗ 𝑣0 𝑡 + 2 𝑎𝑡 2 .
𝑟0 + ⃗⃗⃗⃗
1
