Hoofdstuk 6: De Zwaartekracht en Synthese van Newton
De derde bewegingswet van Newton stelt dat krachten altijd in actie-
reactiekrachtparen voorkomen, dus ook bijvoorbeeld de aarde en de maan. Uit
hun symmetrie volgt de wet v/d universele zwaartekracht: Elke puntmassa in het
heelal trekt aan elke andere puntmassa in het heelal met een kracht die
evenredig is met het product van beide massa’s en omgekeerd evenredig is met
𝑚1 𝑚2 𝑁∙𝑚2
het kwadraat v/d onderlinge afstand → 𝐹 = 𝐺 met 𝐺 = 6,67 ∙ 10−11 .
𝑟2 𝑘𝑔2
De grootte v/d gravitatieconstante 𝐺 kan experimenteel worden aangetoond
a.d.h.v. de balans van Cavendish, waarbij 2 bollen zijn
bevestigd aan een horizontale stang die in het midden
opgehangen is aan een dunne draad. Wanneer een derde
bol in de buurt van 1 v/d andere bollen wordt gebracht,
veroorzaakt de (universele) zwaartekracht een beweging
van deze laatste bol waardoor de draad iets zal torderen.
Deze kleine beweging kan worden vergroot door een
lichtstraal te richten op een spiegel die op de draad is
bevestigd. De straal wordt weerkaatst en raakt een
schaalverdeling. Uit verschillende experimenten met dit
systeem kan de gravitatieconstante worden bepaald.
Via integratie (een techniek die door Newton werd uitgevonden) kon Newton ook
volgende zaken aantonen:
- De zwaartekracht die op een puntmassa buiten een dunne bolschil wordt
uitgeoefend is dezelfde alsof de hele massa v/d bol geconcentreerd is in het
middelpunt ervan.
- De zwaartekracht die op een puntmassa binnen een dunne bolschil wordt
uitgeoefend is nul.
- We kunnen een volle bol beschouwen als verschillende dunne schillen.
De totale zwaartekracht op een willekeurig voorwerp is de vectorsom v/d
krachten die door alle andere voorwerpen erop worden uitgeoefend (meestal is
het voldoende om 1 of 2 voorwerpen in rekening te brengen). In vectorvorm is de
𝑚 𝑚
kracht op puntmassa 1 uitgeoefend door puntmassa 2 dus ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹12 = −𝐺 𝑟12 2 𝑟̂21 met
21
𝑟̂21 de eenheidsvector (≠ de verplaatsingsvector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟21 , maar ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟21 = 𝑟21 ∙ 𝑟̂21).
𝑚𝑚𝐴
Aan het aardoppervlak is de zwaartekracht 𝐹𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝐺 . Uit deze
𝑟𝐴2
𝑔∙𝑟𝐴2
vergelijking kunnen we de massa v/d aarde berekenen: 𝑚𝐴 = = 5,98 ∙ 1024 𝑘𝑔.
𝐺
1
De derde bewegingswet van Newton stelt dat krachten altijd in actie-
reactiekrachtparen voorkomen, dus ook bijvoorbeeld de aarde en de maan. Uit
hun symmetrie volgt de wet v/d universele zwaartekracht: Elke puntmassa in het
heelal trekt aan elke andere puntmassa in het heelal met een kracht die
evenredig is met het product van beide massa’s en omgekeerd evenredig is met
𝑚1 𝑚2 𝑁∙𝑚2
het kwadraat v/d onderlinge afstand → 𝐹 = 𝐺 met 𝐺 = 6,67 ∙ 10−11 .
𝑟2 𝑘𝑔2
De grootte v/d gravitatieconstante 𝐺 kan experimenteel worden aangetoond
a.d.h.v. de balans van Cavendish, waarbij 2 bollen zijn
bevestigd aan een horizontale stang die in het midden
opgehangen is aan een dunne draad. Wanneer een derde
bol in de buurt van 1 v/d andere bollen wordt gebracht,
veroorzaakt de (universele) zwaartekracht een beweging
van deze laatste bol waardoor de draad iets zal torderen.
Deze kleine beweging kan worden vergroot door een
lichtstraal te richten op een spiegel die op de draad is
bevestigd. De straal wordt weerkaatst en raakt een
schaalverdeling. Uit verschillende experimenten met dit
systeem kan de gravitatieconstante worden bepaald.
Via integratie (een techniek die door Newton werd uitgevonden) kon Newton ook
volgende zaken aantonen:
- De zwaartekracht die op een puntmassa buiten een dunne bolschil wordt
uitgeoefend is dezelfde alsof de hele massa v/d bol geconcentreerd is in het
middelpunt ervan.
- De zwaartekracht die op een puntmassa binnen een dunne bolschil wordt
uitgeoefend is nul.
- We kunnen een volle bol beschouwen als verschillende dunne schillen.
De totale zwaartekracht op een willekeurig voorwerp is de vectorsom v/d
krachten die door alle andere voorwerpen erop worden uitgeoefend (meestal is
het voldoende om 1 of 2 voorwerpen in rekening te brengen). In vectorvorm is de
𝑚 𝑚
kracht op puntmassa 1 uitgeoefend door puntmassa 2 dus ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹12 = −𝐺 𝑟12 2 𝑟̂21 met
21
𝑟̂21 de eenheidsvector (≠ de verplaatsingsvector ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟21 , maar ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟21 = 𝑟21 ∙ 𝑟̂21).
𝑚𝑚𝐴
Aan het aardoppervlak is de zwaartekracht 𝐹𝑧 = 𝑚 ∙ 𝑔 = 𝐺 . Uit deze
𝑟𝐴2
𝑔∙𝑟𝐴2
vergelijking kunnen we de massa v/d aarde berekenen: 𝑚𝐴 = = 5,98 ∙ 1024 𝑘𝑔.
𝐺
1
