Hoofdstuk 1
1
, Hoofdstuk 1
Formularium
Merkwaardige producten
(a + b)(a – b) = a² - b²
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
Functies
ax = ex.ln a
ln 𝑥
eln x = x Loga x = ln 𝑎
ln ex = x Loga (xy) = loga x + loga y
ln x = loge x 𝑥
Loga 𝑦 = loga x – loga y
loga 1 = 0
Loga xy = y.loga x
loga a = 1
Loga ax = x
log 𝑏 𝑋
loga x =
log 𝑏 𝐴
Ontbinden in factoren
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Breuken op 1 breuk zetten:
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 2 + 𝑦²
𝑦
+𝑥 =𝑦.𝑥+𝑥.𝑦= 𝑥𝑦
2
, Hoofdstuk 1
Goniometrische formules
Goniometrische grondformules:
Cos² x + sin² x = 1
1
1 + tan² x = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
1
Cot² x + 1 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Goniometrische verdubbelingsformules:
sin (2x) = 2 sin x . cos x en cos (2x) = cos² x – sin² x
1+cos 2𝑥 1−cos 2𝑥
cos² x = 2
en sin² x = 2
Hieruit volgt:
2 cos2 x = 1 + cos (2x ) 2 sin² x = 1 – cos (2x)
cos (2x) = 2.cos² x – 1 cos (2x) = 1 – 2.sin² x
𝑥 𝑥
2 cos² 2 = 1 + cos x 2 sin² 2 = 1 – cos x
3
, Hoofdstuk 3
Kegelsneden
Cirkel:
+ (x-a)² + (y-b)² = r²
Middelpunt(a,b) en straal r
Bij een cirkel zijn de tekens voor de haakjes 2 keer
hetzelfde: 2 keer + of 2 keer -
Ellipsen:
𝑥−𝑎 2 𝑦−𝑏 2
( 𝑐
) +( 𝑑
) =1
Middelpunt (a,b) en toppen (a+c, b) ; (a-c, b) ; (a, b+d) ; (a, b-d)
Als c = d hebben we te maken met een cirkel met straal r = c = d.
X-parabolen:
X = ay² + by + c
De symmetrieas (en asymptoot) is een horizontale rechte door de
top en evenwijdig met de x-as.
Nulpunten (op Y-as): berekenen met discriminant.
Snijpunt X-as: (c, 0)
−𝑏 −𝑏
TOP: (f( 2𝑎 ) ; 2𝑎
)
Hyperbool type I
(x-a)(y-b) = k met k > 0
Middelpunt (a,b) en toppen (a+√𝑘, b+√𝑘) en (a-√𝑘, b-√𝑘)
Asymptoten: x = a en y = b
Hyperbool type II
(x-a)² - (y-b)² = k met k > 0
Middelpunt (a,b) en toppen (a+√𝑘 , b) en (a-√𝑘 , b)
Asymptoten: y – b = x – a en y – b = a - x
Bij een hyperbool type I is het teken van 1 haakje verschillende: 1 keer + en 1
keer – of omgekeerd.
4
, Hoofdstuk 3
Hoofdstuk 3: Kegelsneden
1. Cirkels OF Ellipsen
De vergelijking van een cirkel wordt gegeven door: (x - xa)² + (y - ya)² = r²
Voor de vergelijking van een cirkel met middelpunt (a, b) en straal r wordt dit: (x - a)² + (y - b)² = r²
Indien we de algemene vergelijking uitwerken krijgen we: x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
We kunnen cirkels herkennen doordat de coördinaten van x² en y² gelijk zijn.
Oefening 5.2 bepaal middelpunt en straal:
36x² + 36y² - 24x + 36y – 23 = 0
Stap 1) Merkwaardig product opstellen
36x² - 24x + 36y² + 36y – 23 = 0
A² = 36x² A = 6x
−24𝑥
2AB = -24x 2.6x.B = -24x B = = -2
12𝑥
A² = 36y² A = 6y
36𝑦
2AB = 36y 2.6y.B = 36y B = 12𝑦 = 3
Stap 2) Merkwaardig product vervolledigen
36x² - 24x + (-2)² - (-2)² + 36y² + 36y + 3² - 3² - 23 = 0
(6x – 2)² + (6y + 3)² - 4 - 9 – 23 = 0
(6x – 2)² + (6y + 3)² = 36
Stap 3) Coëfficiënt wegdelen bij x en y + het rechterlid gelijkstellen aan 1
(6𝑥−2)² (6𝑦+3)²
+ =1
36 36
6𝑥−2 2 6𝑦+3
( ) +( )=1
6 6
1 2 1 2
(𝑥 − 3) + (𝑦 + 2) = 1
1 1
Middelpunt (3 , − 2) en r = √1 = 1
Bij ellipsen wordt dezelfde methode gebruikt maar is c niet gelijk aan d.
Hier is c = d (1 = 1).
5
1
, Hoofdstuk 1
Formularium
Merkwaardige producten
(a + b)(a – b) = a² - b²
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
Functies
ax = ex.ln a
ln 𝑥
eln x = x Loga x = ln 𝑎
ln ex = x Loga (xy) = loga x + loga y
ln x = loge x 𝑥
Loga 𝑦 = loga x – loga y
loga 1 = 0
Loga xy = y.loga x
loga a = 1
Loga ax = x
log 𝑏 𝑋
loga x =
log 𝑏 𝐴
Ontbinden in factoren
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Breuken op 1 breuk zetten:
𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 2 + 𝑦²
𝑦
+𝑥 =𝑦.𝑥+𝑥.𝑦= 𝑥𝑦
2
, Hoofdstuk 1
Goniometrische formules
Goniometrische grondformules:
Cos² x + sin² x = 1
1
1 + tan² x = 𝑐𝑜𝑠2 𝑥
1
Cot² x + 1 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
Goniometrische verdubbelingsformules:
sin (2x) = 2 sin x . cos x en cos (2x) = cos² x – sin² x
1+cos 2𝑥 1−cos 2𝑥
cos² x = 2
en sin² x = 2
Hieruit volgt:
2 cos2 x = 1 + cos (2x ) 2 sin² x = 1 – cos (2x)
cos (2x) = 2.cos² x – 1 cos (2x) = 1 – 2.sin² x
𝑥 𝑥
2 cos² 2 = 1 + cos x 2 sin² 2 = 1 – cos x
3
, Hoofdstuk 3
Kegelsneden
Cirkel:
+ (x-a)² + (y-b)² = r²
Middelpunt(a,b) en straal r
Bij een cirkel zijn de tekens voor de haakjes 2 keer
hetzelfde: 2 keer + of 2 keer -
Ellipsen:
𝑥−𝑎 2 𝑦−𝑏 2
( 𝑐
) +( 𝑑
) =1
Middelpunt (a,b) en toppen (a+c, b) ; (a-c, b) ; (a, b+d) ; (a, b-d)
Als c = d hebben we te maken met een cirkel met straal r = c = d.
X-parabolen:
X = ay² + by + c
De symmetrieas (en asymptoot) is een horizontale rechte door de
top en evenwijdig met de x-as.
Nulpunten (op Y-as): berekenen met discriminant.
Snijpunt X-as: (c, 0)
−𝑏 −𝑏
TOP: (f( 2𝑎 ) ; 2𝑎
)
Hyperbool type I
(x-a)(y-b) = k met k > 0
Middelpunt (a,b) en toppen (a+√𝑘, b+√𝑘) en (a-√𝑘, b-√𝑘)
Asymptoten: x = a en y = b
Hyperbool type II
(x-a)² - (y-b)² = k met k > 0
Middelpunt (a,b) en toppen (a+√𝑘 , b) en (a-√𝑘 , b)
Asymptoten: y – b = x – a en y – b = a - x
Bij een hyperbool type I is het teken van 1 haakje verschillende: 1 keer + en 1
keer – of omgekeerd.
4
, Hoofdstuk 3
Hoofdstuk 3: Kegelsneden
1. Cirkels OF Ellipsen
De vergelijking van een cirkel wordt gegeven door: (x - xa)² + (y - ya)² = r²
Voor de vergelijking van een cirkel met middelpunt (a, b) en straal r wordt dit: (x - a)² + (y - b)² = r²
Indien we de algemene vergelijking uitwerken krijgen we: x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
We kunnen cirkels herkennen doordat de coördinaten van x² en y² gelijk zijn.
Oefening 5.2 bepaal middelpunt en straal:
36x² + 36y² - 24x + 36y – 23 = 0
Stap 1) Merkwaardig product opstellen
36x² - 24x + 36y² + 36y – 23 = 0
A² = 36x² A = 6x
−24𝑥
2AB = -24x 2.6x.B = -24x B = = -2
12𝑥
A² = 36y² A = 6y
36𝑦
2AB = 36y 2.6y.B = 36y B = 12𝑦 = 3
Stap 2) Merkwaardig product vervolledigen
36x² - 24x + (-2)² - (-2)² + 36y² + 36y + 3² - 3² - 23 = 0
(6x – 2)² + (6y + 3)² - 4 - 9 – 23 = 0
(6x – 2)² + (6y + 3)² = 36
Stap 3) Coëfficiënt wegdelen bij x en y + het rechterlid gelijkstellen aan 1
(6𝑥−2)² (6𝑦+3)²
+ =1
36 36
6𝑥−2 2 6𝑦+3
( ) +( )=1
6 6
1 2 1 2
(𝑥 − 3) + (𝑦 + 2) = 1
1 1
Middelpunt (3 , − 2) en r = √1 = 1
Bij ellipsen wordt dezelfde methode gebruikt maar is c niet gelijk aan d.
Hier is c = d (1 = 1).
5
