Inleiding:
Dia 3: Menselijk redeneren gebeurt via gevolgtrekkingen: Trekken van conclusies op basis van reeds
bestaande kennis.
Natuurlijke taal: Onnauwkeurig, dubbelzinnig en geeft op die manier aanleiding tot foute redeneringen.
Eerste hoofdstuk:
Theorie (Eerste HOC)
Proposities(beweringen) zijn atomair (= elementair). We kunnen daar niet verder inkijken, we kunnen
dat niet verder analyseren.
Om te vermijden dat je conclusies trekt puur gebaseerd op de propositie
De letters verhinderen dat we die beweringen analyseren (De proposities zijn atomair en we willen ze
niet analyseren!)
Aannames zijn dingen waarvan we ervan uit gaan dat ze waar zijn (veronderstellingen dus.)
Een propositie: Een uitspraak die, gegeven een situatie, waar of onwaar kan zijn (maar nooit zowel waar
als onwaar, ook nooit ‘ik weet het niet’. Propositielogica laat ons alleen maar toe om over een propositie
te zeggen of die waar is of onwaar.)
Bvb. Het regent
Proposities kunnen verbonden worden met de logische connectieven: en, of, niet, als-dan, dan-en-
slechts-dan-als tot logische formules (samengestelde uitspraken)
Niet ¬
En ∧
Of ∨
Als-dan →
Dan-en-slechts-dan- ↔
als
Bij een formele taal zijn er drie belangrijke aspecten:
- Het alfabet: Welke symbolen je mag gebruiken.
- De syntaxis (grammatica): Geheel van regels die aangeeft op welke manier uitdrukkingen in de
taal gevormd mogen worden.
Geeft dus aan hoe je uitdrukkingen kan maken in de taal op basis van de gegeven
symbolen.
- De semantiek (de betekenis): De betekenis van syntactisch correcte uitdrukkingen in een taal.
Als je syntactisch correcte uitdrukkingen hebt, wat is dan hun betekenis.
,De definitie van het alfabet in de propositielogica
• Een verzameling propositieletters:
o Propositie: bewering of uitspraak, uitgedruk in een zin.
Notatie: kleine letters
Bvb. h voor “Jan huilt”
Propositieletters noemen we ook atomaire formules of atomen.
• De logische symbolen (De logische connectieven)
• De hulpsymbolen: ) en (
De definitie van de syntaxis in de propositielogica
De symbolen uit het alfabet combineren via regels tot formules (uitdrukkingen).
!!BELANGRIJK!! De definitie van de formules:
De formules in de propositielogica zijn als volgt gedfinieerd:
1. Elke propositieletter is een formule (basisstap)
2. Als 𝝋 en 𝝍 formules zijn dan zijn ¬𝝋. (𝝋 ∧ 𝝍). (𝝋 ∨ 𝝍). (𝝋 → 𝝍)𝒆𝒏 (𝝋 ↔ 𝝍) ook
formules. (bouwstappen)
3. Niet anders is een formule (afsluitende stap)
Kleine griekse letters stellen abstracte (willekeurige) formules voor, ook formumevariabelen genoemd.
Terminologie:
Negatie ¬𝜑 Niet
Conjunctie (𝜑 ∧ 𝜓) Phi en psi
Disjunctie (𝜑 ∨ 𝜓) Phi of psi
Implicatie (𝜑 → 𝜓) Als phi dan psi
Equivalentie (𝜑 ↔ 𝜓) Phi dan-en-slechts-
dan-als psi
Opgelet: “en” uit onze natuurlijke taal en de logische ‘en’ zijn niet 100% equivalent. Idem voor ‘of’ (zie
dia 16)
Niet klakkeloos vertalen uit de natuurlijke taal (ze hebben niet altijd dezelfde betekenis.)
Rond een negatie mag je geen haakjes zetten!
De manier waarop de formules gedfinieerd zijn noemt men een inductieve definitie.
Eerst ga je zeggen wat het kleinste ding dat je kan hebben (hier voor formules is dat propositieletters.)
Dan ga je zeggen hoe je grotere dingen kan opbouwen (de regels).
Ten slotte: niets anders is een formule.
, Inductieve definitie:
1- 1 of meerdere basisstappen
2- 1 of meerdere opbouwstappen
3- Afsluitende stap
Oefeningen (Eerste deel eerste WPO)
Oefening 6
a) - enkel “constructies” gevormd door stap 1 en 2 zijn geldig.
- Andere constructies zijn niet geldig.
De derde stap sluit dus de niet geldige consutrcties uit.
b) Elke subformule in de constructieboom moet ook een geldige formule zijn.
i. ja
ii. Nee
iii. Ja
Oefening 7
b = “de bus komt”, e = “de trein komt”, a = “de tram komt”
a) (¬𝑏 → ( 𝑒 ∧ 𝑎))
b) ((¬𝑒 → 𝑎) → ¬(𝑒 ∧ 𝑏))
Oefening 10
Rij gebalanceerde haakjes(r.g.h.): Rijen waarvan elk haakje dat open wordt ook gesloten wordt.
Bvb. ( )( )( ), ((( ))), ..
a) De inductieve definitie:
o De basisstap: de meest eenvoudige r.g.h.
▪ () is een r.g.h.
o Opbouwende stap(pen):
▪ als H r.g.h -> (H) r.g.h.
▪ als H r.g.h -> ( )H r.g.h
▪ als H1, H2 -> (H1)H2 r.g.h.
o Afsluitende stap: Niets anders is een r.g.h.
Alternatief: zie opname.
Dia 3: Menselijk redeneren gebeurt via gevolgtrekkingen: Trekken van conclusies op basis van reeds
bestaande kennis.
Natuurlijke taal: Onnauwkeurig, dubbelzinnig en geeft op die manier aanleiding tot foute redeneringen.
Eerste hoofdstuk:
Theorie (Eerste HOC)
Proposities(beweringen) zijn atomair (= elementair). We kunnen daar niet verder inkijken, we kunnen
dat niet verder analyseren.
Om te vermijden dat je conclusies trekt puur gebaseerd op de propositie
De letters verhinderen dat we die beweringen analyseren (De proposities zijn atomair en we willen ze
niet analyseren!)
Aannames zijn dingen waarvan we ervan uit gaan dat ze waar zijn (veronderstellingen dus.)
Een propositie: Een uitspraak die, gegeven een situatie, waar of onwaar kan zijn (maar nooit zowel waar
als onwaar, ook nooit ‘ik weet het niet’. Propositielogica laat ons alleen maar toe om over een propositie
te zeggen of die waar is of onwaar.)
Bvb. Het regent
Proposities kunnen verbonden worden met de logische connectieven: en, of, niet, als-dan, dan-en-
slechts-dan-als tot logische formules (samengestelde uitspraken)
Niet ¬
En ∧
Of ∨
Als-dan →
Dan-en-slechts-dan- ↔
als
Bij een formele taal zijn er drie belangrijke aspecten:
- Het alfabet: Welke symbolen je mag gebruiken.
- De syntaxis (grammatica): Geheel van regels die aangeeft op welke manier uitdrukkingen in de
taal gevormd mogen worden.
Geeft dus aan hoe je uitdrukkingen kan maken in de taal op basis van de gegeven
symbolen.
- De semantiek (de betekenis): De betekenis van syntactisch correcte uitdrukkingen in een taal.
Als je syntactisch correcte uitdrukkingen hebt, wat is dan hun betekenis.
,De definitie van het alfabet in de propositielogica
• Een verzameling propositieletters:
o Propositie: bewering of uitspraak, uitgedruk in een zin.
Notatie: kleine letters
Bvb. h voor “Jan huilt”
Propositieletters noemen we ook atomaire formules of atomen.
• De logische symbolen (De logische connectieven)
• De hulpsymbolen: ) en (
De definitie van de syntaxis in de propositielogica
De symbolen uit het alfabet combineren via regels tot formules (uitdrukkingen).
!!BELANGRIJK!! De definitie van de formules:
De formules in de propositielogica zijn als volgt gedfinieerd:
1. Elke propositieletter is een formule (basisstap)
2. Als 𝝋 en 𝝍 formules zijn dan zijn ¬𝝋. (𝝋 ∧ 𝝍). (𝝋 ∨ 𝝍). (𝝋 → 𝝍)𝒆𝒏 (𝝋 ↔ 𝝍) ook
formules. (bouwstappen)
3. Niet anders is een formule (afsluitende stap)
Kleine griekse letters stellen abstracte (willekeurige) formules voor, ook formumevariabelen genoemd.
Terminologie:
Negatie ¬𝜑 Niet
Conjunctie (𝜑 ∧ 𝜓) Phi en psi
Disjunctie (𝜑 ∨ 𝜓) Phi of psi
Implicatie (𝜑 → 𝜓) Als phi dan psi
Equivalentie (𝜑 ↔ 𝜓) Phi dan-en-slechts-
dan-als psi
Opgelet: “en” uit onze natuurlijke taal en de logische ‘en’ zijn niet 100% equivalent. Idem voor ‘of’ (zie
dia 16)
Niet klakkeloos vertalen uit de natuurlijke taal (ze hebben niet altijd dezelfde betekenis.)
Rond een negatie mag je geen haakjes zetten!
De manier waarop de formules gedfinieerd zijn noemt men een inductieve definitie.
Eerst ga je zeggen wat het kleinste ding dat je kan hebben (hier voor formules is dat propositieletters.)
Dan ga je zeggen hoe je grotere dingen kan opbouwen (de regels).
Ten slotte: niets anders is een formule.
, Inductieve definitie:
1- 1 of meerdere basisstappen
2- 1 of meerdere opbouwstappen
3- Afsluitende stap
Oefeningen (Eerste deel eerste WPO)
Oefening 6
a) - enkel “constructies” gevormd door stap 1 en 2 zijn geldig.
- Andere constructies zijn niet geldig.
De derde stap sluit dus de niet geldige consutrcties uit.
b) Elke subformule in de constructieboom moet ook een geldige formule zijn.
i. ja
ii. Nee
iii. Ja
Oefening 7
b = “de bus komt”, e = “de trein komt”, a = “de tram komt”
a) (¬𝑏 → ( 𝑒 ∧ 𝑎))
b) ((¬𝑒 → 𝑎) → ¬(𝑒 ∧ 𝑏))
Oefening 10
Rij gebalanceerde haakjes(r.g.h.): Rijen waarvan elk haakje dat open wordt ook gesloten wordt.
Bvb. ( )( )( ), ((( ))), ..
a) De inductieve definitie:
o De basisstap: de meest eenvoudige r.g.h.
▪ () is een r.g.h.
o Opbouwende stap(pen):
▪ als H r.g.h -> (H) r.g.h.
▪ als H r.g.h -> ( )H r.g.h
▪ als H1, H2 -> (H1)H2 r.g.h.
o Afsluitende stap: Niets anders is een r.g.h.
Alternatief: zie opname.
