Samenvatting Theorie wiskunde (bedrijfs)economische toepassingen (TEW), boek 2

WISKUNDE MET
(BEDRIJFS)ECONOMISCHE
TOEPASSINGEN (TEW)

DEEL IV: INLEIDING
HOOFDSTUK 10: INLEIDING



1. Complexe getallen
1.1.Definities

Complexe getallen We definiëren i als het “getal” waarvoor geldt: i 2=−1
Met deze definitie wordt de verzameling van een
complexe getallen dan gedefinieerd als de verzameling
van alle lineaire combinaties van reële getallen en dit
getal i, of
C={ a+ b∗i|a ,b ∈ R }
In de notatie a+b*i noem men a het reële deel en b*i het
imaginaire deel.
Toegevoegd Men difinieert het toegevoegd complex getak van a+b*i
complex getal als
a+ b∗i=a−b∗i
Goniometrische of Een complex getal a+b*i kan in het complexe vlak
polaire vorm meetkundig voorgesteld worden door het punt met
 Cartesische coördinaten (a,b), of
 Poolcoördinaten ( r , φ ) bepaald door

{a=r cos φ met r ≥0 en 0 ≤ φ<2 π
b=r sin φ
Er geldt
a+ b∗i=r ( cos φ+i∗sin φ ) ;
Het rechterlid noemt men de goniometrische of polaire
vorm van het complexe getal.


1.2.Eigenschappen

Machten van i Voor de machten van i geldt:
 2
i =−1
 i 3=−i
 4
i =+ 1
 5
i =+i
 …
Voor het omgekeerde van i geldt:
1
 =−i
i

1

, Formule van De Voor elk complex getal met modulus 1 geldt
Moivre (cos φ+i∗sin φ)n =cos( nφ)+i∗sin ( nφ ) (n ∈ Z )
Vierkantsvergelijkin Een vierkantsvergelijking
gen met complexe a x +bx+ c=0
2

wortels Met negatieve discriminant, Δ=b 2−4 ac< 0
Heeft twee toegevoegde complexe wortels:



{
−b+ √ −∆∗i
x 1=
2a
−b− √−∆∗i
x2 =
2a


1.3.Regels/methodes

Bewerkingen met  Optelling:
complexe getallen ( a+ b∗i ) + ( c+ d∗i )=( a+ c )+ ( b+d )∗i
 Vermenigvuldiging
( a+ b∗i )∗( c +d∗i ) =( a c−bd ) + ( ad +bc )∗i
 Machtsverheffing
(a+ b∗i) =⏟
n
( a+b∗i )∗( a+ b∗i )∗…∗( a+b∗i) (n∈ N 0)
n factoren
Toepassing De Om de n-de macht te bepalen van een willekeurig
Moivre complex getal, stap je best over op de goniometrische
vorm.
Als
a+ b∗i=r (cos φ+i∗sin φ)
Dan is
n n
(a+ b∗i) =r ∗¿


2. Getallenrijen (10.4)
2.1.Definities

Getallenrij Een getallenrij is een geordende (oneindige) verzameling
van getallen.
Notatie: { u n } staat voor u1 ,u 2 , u3 , … ,u n , …
Gedrag van een Men noemt een getallenrij { u n }
getallenrij
 Convergent, indien nlim
→∞
un bestaat en eindig is

 Divergent, indien nlim
→∞
un=±∞

 Onbepaald, indien nlim
→∞
un niet bestaat
Rekenkundige Men noemt een getallenrij { u n } rekenkunidg, indien het
getallenrij verschil tussen opeenvolgende elementen van de rij
constant is.
Notatie: d=un−un −1 (n≥ 2)
Meetkundige Men noemt een getallenrij { u n } meetkundig, indien de
getallenrij verhouding tussen opeenvolgende elementen van de rij
cosntant is.



2

, un
Notatie: q= ( n ≥ 2 ) (rede )
un−1
Hyperharmonische Men noemt een getallenrij { u n } harmonisch, indien elk
getallenrij element van de rij een vaste negatieve macht is van de
index.
1
Notatie: un = p
, met p> 0.
n
Bij p = 1 spreekt men van een “harmonische” rij.


2.2.Eigenschappen

Rekenkundige De algemene term van een rekenkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
un =u1+ ( n−1 ) d
Een rekenkundige rij is
 Convergent indien d=0 ;er geldt dan nlim
→∞
un=u 1

 Divergent indien d ≠ 0; er geldt dan nlim
→∞
un=± ∞

Meetkundige De algemene term van een meetkundige getallenrij { u n }
getallenrij kan gevonden worden als
n−1
un =u1∗q
Een meetkundige rij is
 Convergent indien -1 < q < +1 ; er geldt dan
lim un=0 ;
n→∞

 Convergent indien q = +1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=u 1 ;

 Divergent indien q > 1 ; er geldt dan nlim
→∞
un=±∞ ;

 Onbepaald indien q  -1 ; nlim
→∞
un bestaat dan niet

Hyperharmonische Een hyperharmonische rij { u n } met
getallenrij 1
un = ( p >0 )
np
Is steeds convergent.
Er geldt immers nlim
→∞
un=0




DEEL V: INTEGRALEN
H O O F D S T U K 1 1 : O N B E P A A L D E E N B E PA A L D E I N T E G R A L E N



1. Kernbegrippen
1.1.definities


3