Samenvatting Wiskunde: Matrices

1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


Wiskundige methoden en technieken
Matrices


A. Eigenschappen

Hoofdstuk 1: inleiding

1. Matrices
 Het product van 2 matrices is niet commutatief, er geldt:
A.B≠B.A
=> want (m x n) x (n x k) ≠ (n x k) x (m x n)
 Het product van matrices is associatief, er geldt:
A . (B . C) = (A . B) . C
=> want: (m x k)[(k x l)(l x n)]
= [(m x k)(k x l)](l x n)
 Het product van matrices is distributief t.o.v. de optelling, er geldt:
A . (B + C) = A . B + A . C
=> want: (m x k)[(k x n) + (k x n)]
= [(m x k)(k x n)] + [(m x k)(k x n)]
 De vermenigvuldiging van een matrix met een nulmatrix, er geldt:
A.0=0.A=0
=> ordes van nulmatrices verschillen !
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n)(m x n)
 De vermenigvuldiging van een matrix met een eenheidsmatrix, er geldt:
A.I=I.A=A
=> ordes van eenheidsmatrices verschillen!
(m x n).(n x n) = (m x m) . (m x n) = (m x n)

2. Transponeren
 Idempotentie
T
=A
 Uitsplitsen van getransponeerde matrices
- Voor twee matrices van dezelfde orde geldt:
(A + B)’ = A’ + B’
- Voor elke matrix en elk scalair geldt:
(
 Getransponeerde van een product
(A . B) ‘ = B’ . A’
=> bekijken via orders:
[(m x k).(k x n)]’ = (k x n)’ . (m x k)’
of
(n x m) = (n x m)




1

,1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


3. Speciale producten
 Rij x kolom = getal
 Kolom x rij = matrix
=> (m x 1) . (1 x n) = (m x n)
 Matrix x kolom = kolom
 Kolom x matrix = /
 Rij x matrix = rij
 Matrix x rij = /

Hoofdstuk 2: determinanten

4. Eigenschappen van determinanten
 Wanneer een matrix een nulrij / nulkolom bevat, dan is zijn determinant 0
 Wanneer 2 rijen / kolommen van plaats verwisselen, dan verandert de
determinant van teken (- of +)

 Wanneer een matrix 2 identieke rijen / kolommen bevat, dan is de
determinant 0

 Wanneer een rij of kolom vermenigvuldigd wordt met een factor , dan
wordt ook de determinant met dezelfde factor vermenigvuldigd

 Wanneer alle elementen van een (n x n) matrix vermenigvuldigd worden
met een factor , dan wordt de determinant met factor n vermenigvuldigd

 Determinanten kunnen opgesplitst worden volgens een rij of kolom
Vb;

= +


 Wanneer men in een matrix bij een rij/kolom een aantal keren een andere
rij/kolom optelt, dan blijft de determinant onveranderd

 Wanneer een rij/kolom een lineaire combinatie is van andere rijen of
kolommen van de matrix, dan is de determinant 0.

 De determinant van de getransponeerde matrix = determinant van de
oorspronkelijke matrix
=> Det A = det A’

 De determinant van het product van 2 vierkante matrices met dezelfde orde
= product van de determinanten van de matrices afzonderlijk
=> det (A . B) = det A . det B
= det (B . A)




2

, 1 ba-SEW wiskundige methoden & technieken: B2


Hoofdstuk 3: inverse

5. Definitie van een inverse matrix
 Men noemt een vierkante matrix A regulier als det A ≠ 0
 er bestaat een inverse matrix voor A en omgekeerd
 inverse matrixen zijn uniek
 Men noemt B een inverse matrix van A als B . A = A . B = I

6. Eigenschappen inverse matrix
 Inverse van product van 2 matrices = omgekeerde product van inversen
van de matrix afzonderlijk:
(A . B)-1 = B-1 . A-1

 Determinant van inverse van matrix = omgekeerde van de determinant van
de matrix zelf:



 2x inverteren = nul-operatie
=A

 De volgorde van de operaties ‘inverteren’ en ‘transponeren’ is willekeurig
=

 Wanneer een scalair wordt buiten gebracht uit een inverse, moet hij worden
omgekeerd



 De inverse matrix van een symmetrische matrix is terug symmetrisch

 De inverse matrix van een diagonaalmatrix is terug een diagonaalmatrix
maar met omgekeerde elementen

 De inverse matrix van een bovendriehoeksmatrix is terug een
bovendriehoeksmatrix

 De inverse matrix van een benedendriehoeksmatrix is terug een
benedendriehoeksmatrix

 De inverse van een macht van een matrix = dezelfde macht van de inverse
van de matrix
=> kan ook geschreven worden als

 Twee vierkante nuldelers hebben altijd determinant 0
als A . B = 0 met A ≠ 0 en B ≠ 0
dan is det A = 0 en det B = 0




3