Wiskunde
Samenvatting
Didactische krachtlijnen
Uit de les:
- Oefeningen kangoeroewedstrijd koala en walabi
- Onechte breuk = teller gelijk of groter is dan de noemer
- Vermenigvuldigde x vermenigvuldigtal = product
- 2 getallen in een vermenigvuldiging = factoren
- 2 getallen in een aftrekking = termen
Didactische principes (algemene Wiskundige wegwijzers (wiskundige
principes) principes)
Motivatieprincipe Betekenisvolle situaties
Aanschouwelijkheidsprincipe Concreet – schematisch – abstract
Geleidelijkheidsprincipe Handelingsniveaus van Galperin
Realiteitsprincipe Inzichtelijke aanpak
Activiteitsprincipe Wiskundige verwoording
Herhalingsprincipe Automatiseren – memoriseren
Diff erentiatieprincipe Inductief werken
1. Betekenisvolle situaties
Door wiskunde, verschijnselen uit leefwereld beter begrijpen
Wiskundig denkproces :
1. Je komt in een situatie terecht die je wiskundig kunt/ moet doorgronden
2. Analyseren = de essentiële elementen + relaties uit de situatie voorstellen
3. Wiskundig model opbouwen/ kiezen = elementen + relaties op een
passende wijze erin
4. Wiskundige technieken toepassen op het model vb. cijferen, meten…
Leidt tot resultaten vb. som, maat, fi guur…
5. Resultaten interpreteren op verschillende manieren
Wanneer heb je inzicht in de bewerking?
1. Problemen uit dagelijks leven kunnen omzetten in een rekenkundige formule
2. Berekening omzetten in levensecht voorbeeld => bewerking krijgt meer
betekenis
Vb. 3x6 = 3x 6 appelen
Verwiskundigen = kinderen het verband leren zien tussen wiskunde en de realiteit
waarop wiskunde van toepassing is => er gaat altijd info verloren
Vb. hoeveel bananen heeft deze tros?
Dat een banaan krom en geel is maakt niet uit => gaat verloren
Vb. hoeveel bussen van 30 pers. bestellen met 115 leerlingen?
, 115 : 30 = 3,83
3,83 bussen => relatie met realiteit kwijt => 0,83 bus?
Indien mogelijk uit te voeren in de klas (met concreet materiaal, 3- of 2-dimensioneel)
Voordelen van leefwereld van kinderen te betrekken:
- Motivatie
- Probleem leren analyseren door levensechte situaties te betrekken
Belangrijk! => dagelijks leven kom je veel wiskunde tegen zonder dat je het
merkt
- Praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde ontdekken
Wanneer betekenisvolle situaties gebruiken?
- Inzicht bieden
- Inoefenen
- Evaluatie
2. Concreet – schematisch – abstract
C-S-A = concreet, schematisch, abstract
Geleidelijke opbouw
Combinaties mogelijk
Bij remediëren = terug gaan van abstract naar concreet
Dit proces moeten de leerlingen persoonlijk doormaken, voor leerkracht dus
moeilijk om te helpen ook al heb je vele concrete materialen en schema’s
Concrete fase = concrete voorbeelden + tastbare materialen
Vaak bij aanleren van nieuwe inhoud
Zoveel mogelijk zintuigen inzetten
1 zo herkenbaar mogelijke voorwerpen
2 voorwerpen met enkel nadruk op wat je wil aanleren
!!! wanneer je een dobbelsteen hebt met 6 bollen = geen concreet materiaal
maar schematisch
Je kijkt niet naar de dobbelsteen maar naar de bollen
Verschillende keuzes van materiaal:
1. Het materiaal bestaat uit natura
o Verschillende materialen meebrengen, anders denken de kinderen dat het
enkel geldt voor dat voorwerp
o Vb. knopen, lego…
2. Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid
o Meer gestructureerde voorstellingen
o Vb. 1 koe = 1 kubus
Hoeveelheidsaspect benadrukken
= situatie verwiskundigen
3. Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
o Materiaal speciaal ontworpen voor specifi eke leerinhouden
o Vb. MAB-materiaal = Multiple aritmitic based material
o Vb. Montessori materiaal => eerst dit gebruiken dan pas MAB-materiaal
omdat je echt nog aparte bollen ziet
o Vb. Telraam, breukschijven…
Schematische fase = schema’s, tabellen, tekenen
Link met het concrete = tekeningen met concreet materiaal op
Verschillende keuze van afbeeldingen altijd abstracter en abstracter:
o Afbeeldingen van de werkelijkheid
, o Afbeeldingen die in plaats staan van de werkelijkheid vb. 10 bolletjes = 10
auto’s
o Afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal vb. van MAB-materiaal
o Gewoon het getal
Honderdveld = vierkant waarbij de getallen van 1-100 in een raster staan
- Benadrukt de verticale en horizontale rangorde
- Ontstaat door een hokjesgetallenlijn door te knippen na elk tiental
- = nuttig want zo zien ze dat je getallen op verschillende manieren kan
ordenen
- Nadelen:
o Lineaire structuur van de maaltafels = er niet in te zien, enkel voor de
tafels van 2, 5, 10
o Hoe groter het getal, hoe lager op het veld => = tegennatuurlijk
o Van 10 naar 11 is een grote stap
Van 1 naar 11 is even veel als van 1 naar 2 maar dat is niet zo
o 0 heeft geen plaats
o Kinderen gaan hiermee vaak tellend rekenen
Een veelgemaakte fout = 100 – 3 = 98 => 100 mee tellen
- Voordeel:
o De vaste opvolging (rangorde) van de getallen bij de eenheden en
tientallen is op dezelfde manier
Abstracte fase = zonder hulpmiddelen
Symbolen, tekens, getallen
1 Tiental = 1 groepje van 10
o Leerjaar 1 = zakjes van 10 blokjes
o Leerjaar 2 = zakjes combineren tot 100
Vb. 100 + 90 = .
Gebruik je niet pas als de vorige 2 zijn verworven!
Je gebruikt deze 3 bij hetzelfde aanleermoment (kan in verschillende volgorde)
DUS 1 oef. leg je uit in de 3 manieren (woord, symbool, aantal/hoeveelheid)
Pas wanneer het inzicht verworven is vallen de andere 2 weg
= triple code model
Uitgevonden door Stanislas Dehaene = neurowetenschapper = richten zich
op de hersenen en de impact ervan op gedrag en cognitieve functies
Streefdoel = vlot kunnen rekenen met getallen/ symbolen zonder schema’s of
concreet materiaal
Voordat je gewoon een oef. geeft op abstract niveau => elke stap aanleren +
inoefenen:
1. Correct interpreteren van een opgave
2. Omzetten naar rekenhandeling
3. Uitrekenen
4. Resultaat terugkoppelen aan opgave
, = triple code model
3 principes in het triple code model:
1. Wiskundige verwoording (= woord)
2. Concreet- schematisch (= hoeveelheid) – abstract ( = symbool)
Concreet materiaal is niet altijd hoeveelheid
3. Materieel handelen (= hoeveelheid)
4. Perceptueel handelen (= hoeveelheid)
5. Verbaal handelen (= woord)
6. Mentaal handelen (= symbool)
Getalkaarten horen bij geen 1 van de 3 => maria montessori heeft het uitgevonden
= combinatie van schematisch en abstract WANT kaarten hebben de kleuren van
het MAB-materiaal van bij schematisch
De kaarten helpen bij het uitspreken van eerst de eenheid en dan het tiental
Eerst 90 => 90 zit al in hun hoofd => dan 8 => 98 i.p.v. 89 schrijven
Aandachtspunten
1. Als leerkracht kijken of alle 3 de niveaus gekend zijn
Hoe? = vragen om oef. uit te leggen => lukt dit niet => vragen om de stappen te
tekenen
= diff erentiëren + remediëren
2. Opletten met de abacus!
Inzicht nodig in het positiesysteem
Als je 1 kraal ziet als 1 eenheid en nog niet vb. als 1 tiental =
niet gebruiken
3. Kinderen kunnen altijd bij een abstracte oefening een tekening…
maken
= geen minderwaardig niveau
Wanneer ze dit uit zichzelf doen = top => zelfredzaamheid tonen
3. Handelingsniveaus van Galperin (voorbeelden per niveau in boek)
Bij het inzichtelijk verwerven moeten kinderen zelf handelen!
Om ervoor te zorgen dat ze niet in de materiële voorstelling blijven hangen =>
niveaus
Bij elk niveau alles verwoorden!
1. Materieel handelen
- Kinderen gaan manipuleren
- Met concreet/ schematisch materiaal verwoorden wat je doet
Op schematisch niveau = handelen op gematerialiseerd niveau
- Je kan ook vb. blokjes gebruiken als auto’s
- Afbeeldingen enkel gebruiken als de leerling vb. tekent => niet enkel naar
kijken
Nu veel minder gedaan want in corona deden ze het niet dus kunnen het
nu ook zonder MA AR wel nog nodig om dit te doen
2. Perceptueel handelen
- Handelen via waarneming + verwoorden wat je ziet/ wat je doet als leerkracht
bij demonstratie
- Enkel kijken naar de voorstellingen = kijkhandelingen
- Met bordschema kijkhandeling ondersteunen
- Leerkracht kan wel nog demonstreren
Samenvatting
Didactische krachtlijnen
Uit de les:
- Oefeningen kangoeroewedstrijd koala en walabi
- Onechte breuk = teller gelijk of groter is dan de noemer
- Vermenigvuldigde x vermenigvuldigtal = product
- 2 getallen in een vermenigvuldiging = factoren
- 2 getallen in een aftrekking = termen
Didactische principes (algemene Wiskundige wegwijzers (wiskundige
principes) principes)
Motivatieprincipe Betekenisvolle situaties
Aanschouwelijkheidsprincipe Concreet – schematisch – abstract
Geleidelijkheidsprincipe Handelingsniveaus van Galperin
Realiteitsprincipe Inzichtelijke aanpak
Activiteitsprincipe Wiskundige verwoording
Herhalingsprincipe Automatiseren – memoriseren
Diff erentiatieprincipe Inductief werken
1. Betekenisvolle situaties
Door wiskunde, verschijnselen uit leefwereld beter begrijpen
Wiskundig denkproces :
1. Je komt in een situatie terecht die je wiskundig kunt/ moet doorgronden
2. Analyseren = de essentiële elementen + relaties uit de situatie voorstellen
3. Wiskundig model opbouwen/ kiezen = elementen + relaties op een
passende wijze erin
4. Wiskundige technieken toepassen op het model vb. cijferen, meten…
Leidt tot resultaten vb. som, maat, fi guur…
5. Resultaten interpreteren op verschillende manieren
Wanneer heb je inzicht in de bewerking?
1. Problemen uit dagelijks leven kunnen omzetten in een rekenkundige formule
2. Berekening omzetten in levensecht voorbeeld => bewerking krijgt meer
betekenis
Vb. 3x6 = 3x 6 appelen
Verwiskundigen = kinderen het verband leren zien tussen wiskunde en de realiteit
waarop wiskunde van toepassing is => er gaat altijd info verloren
Vb. hoeveel bananen heeft deze tros?
Dat een banaan krom en geel is maakt niet uit => gaat verloren
Vb. hoeveel bussen van 30 pers. bestellen met 115 leerlingen?
, 115 : 30 = 3,83
3,83 bussen => relatie met realiteit kwijt => 0,83 bus?
Indien mogelijk uit te voeren in de klas (met concreet materiaal, 3- of 2-dimensioneel)
Voordelen van leefwereld van kinderen te betrekken:
- Motivatie
- Probleem leren analyseren door levensechte situaties te betrekken
Belangrijk! => dagelijks leven kom je veel wiskunde tegen zonder dat je het
merkt
- Praktisch en maatschappelijk nut van wiskunde ontdekken
Wanneer betekenisvolle situaties gebruiken?
- Inzicht bieden
- Inoefenen
- Evaluatie
2. Concreet – schematisch – abstract
C-S-A = concreet, schematisch, abstract
Geleidelijke opbouw
Combinaties mogelijk
Bij remediëren = terug gaan van abstract naar concreet
Dit proces moeten de leerlingen persoonlijk doormaken, voor leerkracht dus
moeilijk om te helpen ook al heb je vele concrete materialen en schema’s
Concrete fase = concrete voorbeelden + tastbare materialen
Vaak bij aanleren van nieuwe inhoud
Zoveel mogelijk zintuigen inzetten
1 zo herkenbaar mogelijke voorwerpen
2 voorwerpen met enkel nadruk op wat je wil aanleren
!!! wanneer je een dobbelsteen hebt met 6 bollen = geen concreet materiaal
maar schematisch
Je kijkt niet naar de dobbelsteen maar naar de bollen
Verschillende keuzes van materiaal:
1. Het materiaal bestaat uit natura
o Verschillende materialen meebrengen, anders denken de kinderen dat het
enkel geldt voor dat voorwerp
o Vb. knopen, lego…
2. Het materiaal staat in de plaats van een andere werkelijkheid
o Meer gestructureerde voorstellingen
o Vb. 1 koe = 1 kubus
Hoeveelheidsaspect benadrukken
= situatie verwiskundigen
3. Het materiaal is gestructureerd rekenmateriaal
o Materiaal speciaal ontworpen voor specifi eke leerinhouden
o Vb. MAB-materiaal = Multiple aritmitic based material
o Vb. Montessori materiaal => eerst dit gebruiken dan pas MAB-materiaal
omdat je echt nog aparte bollen ziet
o Vb. Telraam, breukschijven…
Schematische fase = schema’s, tabellen, tekenen
Link met het concrete = tekeningen met concreet materiaal op
Verschillende keuze van afbeeldingen altijd abstracter en abstracter:
o Afbeeldingen van de werkelijkheid
, o Afbeeldingen die in plaats staan van de werkelijkheid vb. 10 bolletjes = 10
auto’s
o Afbeeldingen van gestructureerd rekenmateriaal vb. van MAB-materiaal
o Gewoon het getal
Honderdveld = vierkant waarbij de getallen van 1-100 in een raster staan
- Benadrukt de verticale en horizontale rangorde
- Ontstaat door een hokjesgetallenlijn door te knippen na elk tiental
- = nuttig want zo zien ze dat je getallen op verschillende manieren kan
ordenen
- Nadelen:
o Lineaire structuur van de maaltafels = er niet in te zien, enkel voor de
tafels van 2, 5, 10
o Hoe groter het getal, hoe lager op het veld => = tegennatuurlijk
o Van 10 naar 11 is een grote stap
Van 1 naar 11 is even veel als van 1 naar 2 maar dat is niet zo
o 0 heeft geen plaats
o Kinderen gaan hiermee vaak tellend rekenen
Een veelgemaakte fout = 100 – 3 = 98 => 100 mee tellen
- Voordeel:
o De vaste opvolging (rangorde) van de getallen bij de eenheden en
tientallen is op dezelfde manier
Abstracte fase = zonder hulpmiddelen
Symbolen, tekens, getallen
1 Tiental = 1 groepje van 10
o Leerjaar 1 = zakjes van 10 blokjes
o Leerjaar 2 = zakjes combineren tot 100
Vb. 100 + 90 = .
Gebruik je niet pas als de vorige 2 zijn verworven!
Je gebruikt deze 3 bij hetzelfde aanleermoment (kan in verschillende volgorde)
DUS 1 oef. leg je uit in de 3 manieren (woord, symbool, aantal/hoeveelheid)
Pas wanneer het inzicht verworven is vallen de andere 2 weg
= triple code model
Uitgevonden door Stanislas Dehaene = neurowetenschapper = richten zich
op de hersenen en de impact ervan op gedrag en cognitieve functies
Streefdoel = vlot kunnen rekenen met getallen/ symbolen zonder schema’s of
concreet materiaal
Voordat je gewoon een oef. geeft op abstract niveau => elke stap aanleren +
inoefenen:
1. Correct interpreteren van een opgave
2. Omzetten naar rekenhandeling
3. Uitrekenen
4. Resultaat terugkoppelen aan opgave
, = triple code model
3 principes in het triple code model:
1. Wiskundige verwoording (= woord)
2. Concreet- schematisch (= hoeveelheid) – abstract ( = symbool)
Concreet materiaal is niet altijd hoeveelheid
3. Materieel handelen (= hoeveelheid)
4. Perceptueel handelen (= hoeveelheid)
5. Verbaal handelen (= woord)
6. Mentaal handelen (= symbool)
Getalkaarten horen bij geen 1 van de 3 => maria montessori heeft het uitgevonden
= combinatie van schematisch en abstract WANT kaarten hebben de kleuren van
het MAB-materiaal van bij schematisch
De kaarten helpen bij het uitspreken van eerst de eenheid en dan het tiental
Eerst 90 => 90 zit al in hun hoofd => dan 8 => 98 i.p.v. 89 schrijven
Aandachtspunten
1. Als leerkracht kijken of alle 3 de niveaus gekend zijn
Hoe? = vragen om oef. uit te leggen => lukt dit niet => vragen om de stappen te
tekenen
= diff erentiëren + remediëren
2. Opletten met de abacus!
Inzicht nodig in het positiesysteem
Als je 1 kraal ziet als 1 eenheid en nog niet vb. als 1 tiental =
niet gebruiken
3. Kinderen kunnen altijd bij een abstracte oefening een tekening…
maken
= geen minderwaardig niveau
Wanneer ze dit uit zichzelf doen = top => zelfredzaamheid tonen
3. Handelingsniveaus van Galperin (voorbeelden per niveau in boek)
Bij het inzichtelijk verwerven moeten kinderen zelf handelen!
Om ervoor te zorgen dat ze niet in de materiële voorstelling blijven hangen =>
niveaus
Bij elk niveau alles verwoorden!
1. Materieel handelen
- Kinderen gaan manipuleren
- Met concreet/ schematisch materiaal verwoorden wat je doet
Op schematisch niveau = handelen op gematerialiseerd niveau
- Je kan ook vb. blokjes gebruiken als auto’s
- Afbeeldingen enkel gebruiken als de leerling vb. tekent => niet enkel naar
kijken
Nu veel minder gedaan want in corona deden ze het niet dus kunnen het
nu ook zonder MA AR wel nog nodig om dit te doen
2. Perceptueel handelen
- Handelen via waarneming + verwoorden wat je ziet/ wat je doet als leerkracht
bij demonstratie
- Enkel kijken naar de voorstellingen = kijkhandelingen
- Met bordschema kijkhandeling ondersteunen
- Leerkracht kan wel nog demonstreren
