Oefenzitting Analyse en Calculus 1 | KU Leuven | 2025/26

Analyse en Calculus
I1, IW1, N1, W1




Oefenzitting 1: Verzamelingen, relaties, functies

Academiejaar 2025 – 2026 Deel 0




1 Herhaling
1.1 Verzamelingen
Zij A een verzameling. Een element x behoort tot A of behoort niet tot de verzameling A.
Notatie: x → A of x →
/A

Een verzameling B is een deelverzameling van de vezameling A als

↑b → B : b → A.

Bewerkingen op verzamelingen: doorsnede, unie, verschil, product (Zie blz. 1-2)

1.2 Relaties
Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is een deelverzameling van de pro-
ductverzameling A ↓ B. De verzameling A is het domein van de relatie. De verzameling B is het
codomein.

1.3 Functies
Een functie f van een verzameling A naar een verzameling B is een relatie waarbij elk element x
uit A in relatie staat met hoogstens één element y uit B.
Notatie: f : A ↔ B : x ↗↔ f (x)
• Het definitiegebied van de functie f is de volgende deelverzameling van het domein A:

def(f ) = {x → A | ↘y → B : y = f (x)}.

• Het beeld van functie f is de volgende deelverzameling van het codomein B:

bld(f ) = {y → B | ↘x → A : y = f (x)}.

Eigenschappen van functies (met f : A ↔ B):
• Een afbeelding is een functie waarvoor het domein en het definitiegebied gelijk zijn aan
elkaar.
↑x → A : ↘!y → B : y = f (x)

• Een functie is injectief als elk element uit het codomein de functiewaarde is van hoogstens
één element uit het domein.

↑x1 , x2 → def(f ) : f (x1 ) = f (x2 ) ≃ x1 = x2

Een injectieve afbeelding noemen we een injectie.
• Een functie is surjectief als het codomein en het beeld gelijk zijn aan elkaar.

↑y → B : ↘x → A : y = f (x)

Een surjectieve afbeelding noemen we een surjectie.



fiR- > /R : K +: Jet, , gar affolding
of dom

, • Een functie is bijectief als ze injectief en surjectief is. Een bijectieve afbeelding noemen we
een bijectie.

De samengestelde functie g ⇐ f : A ↔ C is gedefinieerd door (g ⇐ f )(x) = g(f (x)), waarbij
f : A ↔ B, g : B ↔ C en bld(f ) ⇒ def(g).

Als f : A ↔ B een bijectie is, dan heeft f een inverse functie f →1 : B ↔ A waarvoor geldt

↑x → A : (f →1 ⇐ f )(x) = x en ↑y → B : (f ⇐ f →1 )(y) = y.


2 Oefeningen
Deel 0 - Extra oefeningen - p. 40-42

• Geef bij de figuren op de volgende pagina alle passende namen voor f . Kies uit: relatie,
functie, afbeelding, injectief, surjectief, bijectief.
⇑
• Gegeven de relatie R = {(x, y) → R2 | y 4 = x2 } en de functie f : R ↔ R : x ↗↔ x.
ω Teken de grafiek van de relatie R.
ω Zijn f en R gelijk?
ω Is de functie f een bijectie? Zo niet, hoe kan je hier een bijectie van maken?
• 4 (1,3)
• 6
! 8 (Even en oneven: zie definitie 4.3.3 op p.22 )


3 Extra Oefeningen
Deel 0 - Extra oefeningen - p. 40-42

• 9
! 4.5 (p.22)

! 4.6 (p.22)




Oefenzitting 1: Verzamelingen, relaties, functies
Deel 0 2/49

, A B A B A B




(Junisrelatis)
Opgave a Opgave b Opgave c




sujetig
/
supe
afbeelding relatie
, fot



A B A B A B




super
Opgave d Opgave e Opgave f




eig ingecif
afbeelding bijesie


Oefenzitting 1: Verzamelingen, relaties, functies
Deel 0 3/49

, h

alleelementen wrodam
nietdomein hebben
en

nee

mer-
pas
4)
Forafbeding
surjectief Neem
yz /R willekewig Es zodom Man voor IRI
?

konen dat er KEIRT bestaat




is
we een


Modat f(() y do IR
+




S
=

noor

· bold Maar IB
Stel =
y =, dan fr(x) =
fz(yz)
>



+
= 1)
affolding bred don
=
en : Mat /ht
y (yar 81 +
y x -E
y
+
/R : =
>IR
=
: -




1) geen surjedie beperk beeld Bot /R
Ey =
:




IR : (1)
=

J2 /R +
: >
-




3) injectief stel
+
EIR
y=
:
Neem , en
als
f(kel forz =




= Vo aso = F
y
- =



=> (1) = (2) (1 :
2 2 20
= x2
(n
=




Er
1

4) 1)
f(x) = V 1




↑ >
tanf = (v , +* [
+
ed IR
f =




[
Futdauf : -n
f (1 +0 m
+
:
,
- (R = x+
·




f(x)) f(xz) = = 2 - = kz


·

Fy tref : 7 +
deff x =

vy = -xi =

y
-
(sy
= 22 +

270 (tiR


P f
-1
:
i 12 + - > [1 , + 0) ( +v
+ + 1




checken :
(of-1(( =
=
3) 8 : ++
(f: 08744 x



je tan Wo :, -[ dat dit een
bijdie is



3 :




Su




-
Invery
1

y
=
Ti
Ext =
Ty
Ex =
Fy