STATESTIEK EN DATA-ANALYSE
KANSREKENEN
ALGEMEEN
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛
𝑃(𝑔𝑒𝑏𝑒𝑢𝑟𝑡𝑒𝑛𝑖𝑠) =
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛
Te gebruiken bij:
- Wanneer alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.
o klassieke kans, typisch bij dobbelstenen, kaarten, loterijen
- Wanneer je telt in plaats van meet.
o discrete situaties, geen continue verdelingen
- Wanneer je geen extra informatie hebt die bepaalde uitkomsten waarschijnlijker maakt.
EIGENSCHAPPEN VAN KANSEN
- De kans is altijd een waarde tussen 0 en 1
o Afgerond tot 0.000
- P = 1, kans is zeker
- P = 0, kans is onbestaand
UNIE (OF)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
= Alle uitkomsten die in A, in B, of in beide zitten
Voorbeelden:
- Wanneer je de kans wil weten dat minstens één van de twee gebeurtenissen optreedt.
o A gebeurt, of B gebeurt, of ze gebeuren samen
- Wanneer je “of”-vragen krijgt in kansrekenen.
o kans op rood of even, kans op slagen of aanwezig zijn
- Wanneer gebeurtenissen elkaar wel of niet kunnen overlappen.
DOORSNEDE (EN)
SLUITEN ELKAAR UIT
𝐴∩𝐵 =∅
Dan hetzelfde als de Unie (of):
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Voorbeelden:
- kop of munt
- een rode kaart of een zwarte kaart trekken zonder jokers
- even of oneven gooien
1
,SLUITEN ELKAAR NIET UIT
𝐴∩𝐵 ≠∅
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
= optellingswet
Te gebruiken bij:
- vaak staat minstens één van beide in de opgave.
Voorbeelden:
- even getal en getal groter dan 3
- student is vrouw en student slaagt
VOORWAARDELIJKE KANS
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) =
𝑃(𝐵)
B gebeurt, indien A zich voordoet.
Je weet altijd wat B is en dat deze zich voordoet, hiermee zoek je A.
Te gebruiken bij:
- A en B zijn onafhankelijke gebeurtenissen
- Als, indien, op voorwaarde dat, in het geval dat,… in de opgave
- Wanneer je de kans op A wil weten, gegeven dat B al gebeurd is.
o je kijkt enkel binnen de wereld waar B waar is
- Wanneer je een deelverzameling van B bekijkt.
o A ∩ B is het deel van A dat binnen B valt
- Wanneer je werkt met boomdiagrammen, tabellen of kruistabellen.
- Wanneer informatie de kansen verandert.
o kans dat iemand ziek is gegeven dat de test positief is
VERMENIGVULDIGINGSWET
AFHANKELIJKE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) ⋅ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∣ 𝐴) ⋅ 𝑃(𝐴)
Te gebruiken bij:
- Wanneer je de kans wil berekenen dat A én B samen gebeuren.
- Wanneer de gebeurtenissen niet noodzakelijk onafhankelijk zijn.
- Wanneer je een boomdiagram of tabel hebt met voorwaardelijke kansen.
- Wanneer je P(A ∩ B) nodig hebt voor de optellingswet of Bayes.
2
,ONAFHANKELIJKE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
Te gebruiken bij:
- Bij dobbelstenen, munten, kaarten trekken met terugleggen,
- Bij situaties waar het ene geen invloed heeft op het andere.
- Wanneer de oefening expliciet zegt: “A en B zijn onafhankelijk”.
COMPLEMENT
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
Te gebruiken bij:
- Wanneer “niet A” makkelijker te berekenen is dan A
- Bij woorden zoals minstens, ten minste één, geen, niet
- Wanneer je kansen wil omdraaien in boomdiagrammen
- Wanneer A en A̅ samen de volledige uitkomstenruimte vormen
EIGENSCHAPPEN
DISTRIBUTIVITEITSWETTEN
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
DE MORGAN-WETTEN
‾ 𝐵 = 𝐴‾ ∩ 𝐵‾
𝐴∪
_
‾ 𝐵 = 𝐴‾ ∪ 𝐵
𝐴∩
Te gebruiken bij:
- Bij “niet (A of B)” of “niet (A en B)” situaties.
KANSREGEL
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴‾) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Te gebruiken bij:
- Wanneer je de kans wil op B maar niet A.
- Wanneer je P(B) kent en ook P(A ∩ B), maar niet rechtstreeks P(B ∩ A̅).
- Bij boomdiagrammen waar je één tak wil uitsluiten.
UITBREIDING NAAR DRIE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∣ 𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐵 ∣ 𝐶) 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
3
, PERMUTATIES
𝑃𝑛 = 𝑛!
Te gebruiken bij:
- Wanneer je dingen in volgorde zet, volgorde van belang!
o plaatsen, stoelen, wachtlijsten, codes, volgordes, rijen)
- Wanneer je een volledige rangschikking zoekt
o bijv. “hoeveel manieren om 5 personen in een rij te zetten?”
COMBINATIES
𝑝 𝑛 𝑛!
𝐶𝑛 = ( ) =
𝑝 𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
Te gebruiken bij:
- Wanneer je p elementen kiest uit n, maar de volgorde speelt geen rol
o teams, groepen, lotingen, selecties)
- Wanneer je geen volgorde moet bepalen
o bv. “kies 3 leerlingen”, “stel een comité samen”
DRIEHOEK VAN PASCAL
Hierbij is n = 5
- 1 = 0 el uit 5
- 5 = 1 el uit 5
- 10 = 2 el uit 5
KANSEN ZONDER TERUGLEG
𝐶(𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔) ∗ 𝐶(𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔) ∗ …
𝑃=
𝐶(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙)
BV:
- 10 knikker is een pot (8 blauw, 2 rood), wat is de kans op 1 blauw en 1 rood?
𝐶18 ∗ 𝐶12
𝑃=
𝐶210
4
KANSREKENEN
ALGEMEEN
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛
𝑃(𝑔𝑒𝑏𝑒𝑢𝑟𝑡𝑒𝑛𝑖𝑠) =
𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑒 𝑔𝑒𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛
Te gebruiken bij:
- Wanneer alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn.
o klassieke kans, typisch bij dobbelstenen, kaarten, loterijen
- Wanneer je telt in plaats van meet.
o discrete situaties, geen continue verdelingen
- Wanneer je geen extra informatie hebt die bepaalde uitkomsten waarschijnlijker maakt.
EIGENSCHAPPEN VAN KANSEN
- De kans is altijd een waarde tussen 0 en 1
o Afgerond tot 0.000
- P = 1, kans is zeker
- P = 0, kans is onbestaand
UNIE (OF)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
= Alle uitkomsten die in A, in B, of in beide zitten
Voorbeelden:
- Wanneer je de kans wil weten dat minstens één van de twee gebeurtenissen optreedt.
o A gebeurt, of B gebeurt, of ze gebeuren samen
- Wanneer je “of”-vragen krijgt in kansrekenen.
o kans op rood of even, kans op slagen of aanwezig zijn
- Wanneer gebeurtenissen elkaar wel of niet kunnen overlappen.
DOORSNEDE (EN)
SLUITEN ELKAAR UIT
𝐴∩𝐵 =∅
Dan hetzelfde als de Unie (of):
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Voorbeelden:
- kop of munt
- een rode kaart of een zwarte kaart trekken zonder jokers
- even of oneven gooien
1
,SLUITEN ELKAAR NIET UIT
𝐴∩𝐵 ≠∅
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
= optellingswet
Te gebruiken bij:
- vaak staat minstens één van beide in de opgave.
Voorbeelden:
- even getal en getal groter dan 3
- student is vrouw en student slaagt
VOORWAARDELIJKE KANS
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) =
𝑃(𝐵)
B gebeurt, indien A zich voordoet.
Je weet altijd wat B is en dat deze zich voordoet, hiermee zoek je A.
Te gebruiken bij:
- A en B zijn onafhankelijke gebeurtenissen
- Als, indien, op voorwaarde dat, in het geval dat,… in de opgave
- Wanneer je de kans op A wil weten, gegeven dat B al gebeurd is.
o je kijkt enkel binnen de wereld waar B waar is
- Wanneer je een deelverzameling van B bekijkt.
o A ∩ B is het deel van A dat binnen B valt
- Wanneer je werkt met boomdiagrammen, tabellen of kruistabellen.
- Wanneer informatie de kansen verandert.
o kans dat iemand ziek is gegeven dat de test positief is
VERMENIGVULDIGINGSWET
AFHANKELIJKE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∣ 𝐵) ⋅ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵 ∣ 𝐴) ⋅ 𝑃(𝐴)
Te gebruiken bij:
- Wanneer je de kans wil berekenen dat A én B samen gebeuren.
- Wanneer de gebeurtenissen niet noodzakelijk onafhankelijk zijn.
- Wanneer je een boomdiagram of tabel hebt met voorwaardelijke kansen.
- Wanneer je P(A ∩ B) nodig hebt voor de optellingswet of Bayes.
2
,ONAFHANKELIJKE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)
Te gebruiken bij:
- Bij dobbelstenen, munten, kaarten trekken met terugleggen,
- Bij situaties waar het ene geen invloed heeft op het andere.
- Wanneer de oefening expliciet zegt: “A en B zijn onafhankelijk”.
COMPLEMENT
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
Te gebruiken bij:
- Wanneer “niet A” makkelijker te berekenen is dan A
- Bij woorden zoals minstens, ten minste één, geen, niet
- Wanneer je kansen wil omdraaien in boomdiagrammen
- Wanneer A en A̅ samen de volledige uitkomstenruimte vormen
EIGENSCHAPPEN
DISTRIBUTIVITEITSWETTEN
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
DE MORGAN-WETTEN
‾ 𝐵 = 𝐴‾ ∩ 𝐵‾
𝐴∪
_
‾ 𝐵 = 𝐴‾ ∪ 𝐵
𝐴∩
Te gebruiken bij:
- Bij “niet (A of B)” of “niet (A en B)” situaties.
KANSREGEL
𝑃(𝐵 ∩ 𝐴‾) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Te gebruiken bij:
- Wanneer je de kans wil op B maar niet A.
- Wanneer je P(B) kent en ook P(A ∩ B), maar niet rechtstreeks P(B ∩ A̅).
- Bij boomdiagrammen waar je één tak wil uitsluiten.
UITBREIDING NAAR DRIE GEBEURTENISSEN
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴 ∣ 𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃(𝐵 ∣ 𝐶) 𝑃(𝐶)
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
3
, PERMUTATIES
𝑃𝑛 = 𝑛!
Te gebruiken bij:
- Wanneer je dingen in volgorde zet, volgorde van belang!
o plaatsen, stoelen, wachtlijsten, codes, volgordes, rijen)
- Wanneer je een volledige rangschikking zoekt
o bijv. “hoeveel manieren om 5 personen in een rij te zetten?”
COMBINATIES
𝑝 𝑛 𝑛!
𝐶𝑛 = ( ) =
𝑝 𝑝! (𝑛 − 𝑝)!
Te gebruiken bij:
- Wanneer je p elementen kiest uit n, maar de volgorde speelt geen rol
o teams, groepen, lotingen, selecties)
- Wanneer je geen volgorde moet bepalen
o bv. “kies 3 leerlingen”, “stel een comité samen”
DRIEHOEK VAN PASCAL
Hierbij is n = 5
- 1 = 0 el uit 5
- 5 = 1 el uit 5
- 10 = 2 el uit 5
KANSEN ZONDER TERUGLEG
𝐶(𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔) ∗ 𝐶(𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔) ∗ …
𝑃=
𝐶(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑎𝑙)
BV:
- 10 knikker is een pot (8 blauw, 2 rood), wat is de kans op 1 blauw en 1 rood?
𝐶18 ∗ 𝐶12
𝑃=
𝐶210
4
