Wiskunde
Calculus en Lineaire Algebra
,2
,Inhoudsopgave
I Calculus 1 5
2 Limieten en continuïteit 7
2.1 Snelheid van verandering en limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Limieten berekenen met limietwetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Precieze definitie van een limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Eenzijdige limieten en limieten naar oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Oneindige limieten en verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Raaklijnen en afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Afgeleiden 13
3.1 De afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Regels voor het afleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Afgeleiden als snelheid van verandering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Afgeleiden van trigonometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Kettingregel en parametervergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Impliciete afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 Vraagstukken met snelheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Toepassingen van afgeleiden 21
4.1 Extrema van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 De middelwaardestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Monotone functies en de eerste afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Concaviteit en het schetsen van een grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Onbepaalde vormen en de regel van l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8 Antiafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Integralen 27
Differentiaalvergelijkingen 31
II Calculus 2 39
6 Toepassingen van bepaalde integralen 41
6.3 Booglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Technieken van integratie 43
8.8 Oneigenlijke integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.8.1 Type I oneigenlijke integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.8.2 Type II oneigenlijke integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11 Rijen en reeksen 47
11.1 Rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.2 Reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2.1 Telescopische reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2.2 Meetkundige of geometrische reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
, 4 INHOUDSOPGAVE
11.2.3 Divergente reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.3 Integraaltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.4 Vergelijkingstesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.5 Verhoudings- en worteltesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.6 Alternerende reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Overzicht van convergentietesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Beslissingsboom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11.7 Machtreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.8 Taylor- en Maclaurinreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.9 Convergentie van Taylorreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14 Partiële afgeleiden 69
14.1 Functies met meerdere variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
14.2 Limieten en continuiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
14.3 Partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
14.4 De kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14.5 Functieonderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III Lineaire Algebra 83
1 Stelsels lineaire vergelijkingen 89
2 Matrixalgebra 93
2.1 Matrixbewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Inverse van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Karakteristieken van inverteerbare matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4 Matrixpartities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5 LU Factorisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3 Determinanten 99
3.1 Introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Eigenschappen van Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Regel van Cramer, Volume en Lineaire Transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Vectorruimten 105
4.1 Vectorruimten en deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Nulruimten, kolomruimten en lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Lineair onafhankelijke verzamelingen en basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Coördinaatsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 De dimensie van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Rang van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Verandering van coördinatenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.9 Markov-ketens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Eigenwaarden en eigenvectoren 115
5.1 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 De karakteristieke vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Diagonalizatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A Belangrijkste 2D-transformaties in homogene coördinaten 121
A.1 Translatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 Rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3 Schaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4 Afzonderlijke schaling voor x en y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.5 Reflectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6 Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6.1 Shearing in x-richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Calculus en Lineaire Algebra
,2
,Inhoudsopgave
I Calculus 1 5
2 Limieten en continuïteit 7
2.1 Snelheid van verandering en limieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Limieten berekenen met limietwetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Precieze definitie van een limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Eenzijdige limieten en limieten naar oneindig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Oneindige limieten en verticale asymptoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Continuïteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.7 Raaklijnen en afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Afgeleiden 13
3.1 De afgeleide functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Regels voor het afleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Afgeleiden als snelheid van verandering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Afgeleiden van trigonometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Kettingregel en parametervergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Impliciete afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 Vraagstukken met snelheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Toepassingen van afgeleiden 21
4.1 Extrema van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 De middelwaardestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Monotone functies en de eerste afgeleide test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Concaviteit en het schetsen van een grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Onbepaalde vormen en de regel van l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8 Antiafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Integralen 27
Differentiaalvergelijkingen 31
II Calculus 2 39
6 Toepassingen van bepaalde integralen 41
6.3 Booglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Technieken van integratie 43
8.8 Oneigenlijke integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.8.1 Type I oneigenlijke integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.8.2 Type II oneigenlijke integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11 Rijen en reeksen 47
11.1 Rijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
11.2 Reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2.1 Telescopische reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2.2 Meetkundige of geometrische reeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
, 4 INHOUDSOPGAVE
11.2.3 Divergente reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.3 Integraaltest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.4 Vergelijkingstesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
11.5 Verhoudings- en worteltesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
11.6 Alternerende reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Overzicht van convergentietesten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Beslissingsboom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
11.7 Machtreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11.8 Taylor- en Maclaurinreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
11.9 Convergentie van Taylorreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
14 Partiële afgeleiden 69
14.1 Functies met meerdere variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
14.2 Limieten en continuiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
14.3 Partiële afgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
14.4 De kettingregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
14.5 Functieonderzoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
III Lineaire Algebra 83
1 Stelsels lineaire vergelijkingen 89
2 Matrixalgebra 93
2.1 Matrixbewerkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.2 Inverse van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.3 Karakteristieken van inverteerbare matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.4 Matrixpartities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5 LU Factorisatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3 Determinanten 99
3.1 Introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Eigenschappen van Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Regel van Cramer, Volume en Lineaire Transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4 Vectorruimten 105
4.1 Vectorruimten en deelruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.2 Nulruimten, kolomruimten en lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3 Lineair onafhankelijke verzamelingen en basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Coördinaatsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 De dimensie van een vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Rang van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.7 Verandering van coördinatenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.9 Markov-ketens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5 Eigenwaarden en eigenvectoren 115
5.1 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 De karakteristieke vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Diagonalizatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 Eigenvectoren en lineaire transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A Belangrijkste 2D-transformaties in homogene coördinaten 121
A.1 Translatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.2 Rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3 Schaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.4 Afzonderlijke schaling voor x en y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.5 Reflectie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6 Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.6.1 Shearing in x-richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
