didactiek wiskunde 2 juni
H4: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN
EN VRAAGSTUKKEN
1. INLEIDING
Vakdidactische principe:
Realistische contexten: verkenning nieuwe begrippen en procedures.
Vaardigheden ontwikkelen die kunnen helpen bij het oplossen van
problemen.
Klemtoon bij toepassingen of vraagstukken:
- Wiskundige kennis en vaardigheden
- Ontwikkelen en oefenen probleemoplossende vaardigheden
2. STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
2.1. HET STAPPENPLAN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk
wiskundig benaderen, dan moeten we volgende
stappen uitvoeren:
1. Analyseren van de situatie
2. Kiezen of ontwikkelen van een wiskunde
model
3. Toepassen van wiskundige technieken
4. Controleren en interpreteren van de resultaten
STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
De eerste stap is de opgave analyseren om de probleemsituatie goed
te begrijpen
- We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’
- Belangrijk is dat de leerling tot een goede mentale voorstelling
komt van wat er gegeven is, wat er gezocht wordt en welke
relaties tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens
en het gezochte bestaan. Dus het onderstrepen of markeren wat
belangrijk is.
Het kan helpen om het probleem te laten uitleggen aan elkaar, het na te
vertellen met hun eigen woorden, …
1
,didactiek wiskunde 2 juni
Vaak wordt er gevraagd om de gegevens en de vraag in een kleur aan te
duiden
- Laat ze eerst de vraag aanduiden
- Pas dan weet je welke gegevens je zal nodig hebben om het probleem op
te lossen
STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
In deze stap gaan de leerlingen na welke methode ze zouden
kunnen volgen om het probleem op te lossen
- Dit gebeurt door de initiële probleemrepresentatie om te
zetten naar een nieuwe probleemrepresentatie in termen
van wiskundige symbolen en relaties
De oplosser bouwt dus met wat hij al aan formeel-wiskundige
kennis en vaardigheden verworven heeft een wiskundig model op dat past bij
de initiële voorstelling die hij of zij van de probleemsituatie heeft opgebouwd
STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Tijdens de derde stap passen leerlingen de gekozen
oplossingsstrategie toe
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd: de rekenkundige
operatie(s) die vervat ligt (liggen) in het wiskundig model, wordt
(worden) effectief uitgevoerd
Toch dienen ook in deze fase nog bepaalde beslissingen
genomen te worden
- Rekenwerk kan namelijk op verschillende manieren worden uitgevoerd:
cijferen, tellen, hoofdrekenen, schatten rekenen of zakrekenmachine
- Leerlingen moeten in staat zijn om de meest geschikte rekenwijze te
kiezen
Bij deze stap is de oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan
verdwenen
STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
Uitkomst interpreteren: terugplaatsen in oorspronkelijke
probleemsituatie.
→ Uitkomst uit 3de stap om antwoord te formuleren op
vraag
2
,didactiek wiskunde 2 juni
Klassieke vraagstukken: uitkomst stap 3 oplossing vraagstuk
Rijke wiskundeproblemen: uitkomst van rekenwerk interpreteren
→ Afronden (rekening houdend met situatie)
→ Uitkomst gebruiken om 1/ andere beslissing te nemen als
antwoord op gestelde vraag
Antwoord evalueren/ controleren (STAP 5):
→ Nagaan of alle voorgaande stappen goed doorlopen
werden en of er nergens een fout is binnengeslopen,
oplossing in opgave invullen, berekening controleren op
rekenfouten, realistisch, …
2.2. HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de
leerlingen aan
- Bv met de beertjes van
Meichenbaum
- Het is een letterlijke vertaling van
de vier stappen uit het model
o Elk pictogram beeldt één
specifieke stap uit
o
3. HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
3.1. WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën die in je
broekzak zitten en als je niet meteen het antwoord weet, kan je ze uithalen en
‘ik ga dit proberen, of dit, of dit’
Vb. een tekening maken KAN helpen een oplossing te vinden voor iets, maar
niet altijd.
- Algoritmen geven een vast stappenplan om een probleem aan te
pakken. Wanneer men nauwgezet de stappen volgt, dan komt men
gegarandeerd tot een oplossing
- Trail and error men gaat eerder ‘in het wilde weg’ proberen, eventueel
op basis van intuïtie. Men vindt soms de oplossing door een samenloop
van intuïtie en gelukkig toeval
3
, didactiek wiskunde 2 juni
- Heuristieken zijn gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een
oplossing leiden, maar een systematiek inhouden en meer kracht geven
dan trial and error
3.2. HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
De algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen
bestaat uit vier stappen. Heuristieken of zoekstrategieën worden
gebruikt bij de eerste en tweede stap
3.3. HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
3.3.1. MAAK EEN TEKENING VAN DE PROBLEEMSITUATIE
Op basis van de tekstuele informatie probeert de leerling een aanschouwelijke
voorstelling op te bouwen van de probleemsituatie in de vorm van een schets
of een tekening
3.3.2. HET PROBLEEM HERFORMULEREN EN/OF DRAMATISEREN
Heel wat vraagstukken vormen enkel en alleen maar een probleem voor
sommige leerlingen door het taalgebruik
3.3.3. ONDERSCHEID NOODZAKELIJKE EN OVERBODIGE GEGEVENS
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de
vraag eerst aandachtig wordt bekeken. Daarna selecteren we de
NOODZAKELIJKE informatie.
3.3.4. GEBRUIK JE ERVARINGSKENNIS OF ZOEK ONTBREKENDE INFO
Bij het oplossen van een wiskundig probleem kan het zijn dat niet alle
noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven worden voorbeelde
n in de
cursus!!
4. CONTEXTRIJKE OPGAVEN
4.1. ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
vb van E naar S. Ze krijgen in de ochtend
2 appelen en in de avond 3 appelen hoeveel
appelen zijn er in het totaal nodig
4
H4: PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN
EN VRAAGSTUKKEN
1. INLEIDING
Vakdidactische principe:
Realistische contexten: verkenning nieuwe begrippen en procedures.
Vaardigheden ontwikkelen die kunnen helpen bij het oplossen van
problemen.
Klemtoon bij toepassingen of vraagstukken:
- Wiskundige kennis en vaardigheden
- Ontwikkelen en oefenen probleemoplossende vaardigheden
2. STAPPEN IN HET VAARDIG OPLOSSEN VAN WISKUNDIGE PROBLEMEN
2.1. HET STAPPENPLAN
Als we een wiskundig probleem of vraagstuk
wiskundig benaderen, dan moeten we volgende
stappen uitvoeren:
1. Analyseren van de situatie
2. Kiezen of ontwikkelen van een wiskunde
model
3. Toepassen van wiskundige technieken
4. Controleren en interpreteren van de resultaten
STAP 1: ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
De eerste stap is de opgave analyseren om de probleemsituatie goed
te begrijpen
- We stellen ons de vraag: ‘Wat is het probleem?’
- Belangrijk is dat de leerling tot een goede mentale voorstelling
komt van wat er gegeven is, wat er gezocht wordt en welke
relaties tussen de gegevens onderling en tussen de gegevens
en het gezochte bestaan. Dus het onderstrepen of markeren wat
belangrijk is.
Het kan helpen om het probleem te laten uitleggen aan elkaar, het na te
vertellen met hun eigen woorden, …
1
,didactiek wiskunde 2 juni
Vaak wordt er gevraagd om de gegevens en de vraag in een kleur aan te
duiden
- Laat ze eerst de vraag aanduiden
- Pas dan weet je welke gegevens je zal nodig hebben om het probleem op
te lossen
STAP 2: EEN PASSEND WISKUNDIG MODEL OPSTELLEN
In deze stap gaan de leerlingen na welke methode ze zouden
kunnen volgen om het probleem op te lossen
- Dit gebeurt door de initiële probleemrepresentatie om te
zetten naar een nieuwe probleemrepresentatie in termen
van wiskundige symbolen en relaties
De oplosser bouwt dus met wat hij al aan formeel-wiskundige
kennis en vaardigheden verworven heeft een wiskundig model op dat past bij
de initiële voorstelling die hij of zij van de probleemsituatie heeft opgebouwd
STAP 3: HET OPLOSSINGSPLAN UITVOEREN
Tijdens de derde stap passen leerlingen de gekozen
oplossingsstrategie toe
Het oplossingsplan wordt uitgevoerd: de rekenkundige
operatie(s) die vervat ligt (liggen) in het wiskundig model, wordt
(worden) effectief uitgevoerd
Toch dienen ook in deze fase nog bepaalde beslissingen
genomen te worden
- Rekenwerk kan namelijk op verschillende manieren worden uitgevoerd:
cijferen, tellen, hoofdrekenen, schatten rekenen of zakrekenmachine
- Leerlingen moeten in staat zijn om de meest geschikte rekenwijze te
kiezen
Bij deze stap is de oorspronkelijke probleemsituatie naar het achterplan
verdwenen
STAP 4: ANTWOORD FORMULEREN + CONTROLEREN
Uitkomst interpreteren: terugplaatsen in oorspronkelijke
probleemsituatie.
→ Uitkomst uit 3de stap om antwoord te formuleren op
vraag
2
,didactiek wiskunde 2 juni
Klassieke vraagstukken: uitkomst stap 3 oplossing vraagstuk
Rijke wiskundeproblemen: uitkomst van rekenwerk interpreteren
→ Afronden (rekening houdend met situatie)
→ Uitkomst gebruiken om 1/ andere beslissing te nemen als
antwoord op gestelde vraag
Antwoord evalueren/ controleren (STAP 5):
→ Nagaan of alle voorgaande stappen goed doorlopen
werden en of er nergens een fout is binnengeslopen,
oplossing in opgave invullen, berekening controleren op
rekenfouten, realistisch, …
2.2. HET STAPPENPLAN GESCHEMATISEERD AANBRENGEN
In de praktijk brengt men dit stappenplan meestal geschematiseerd bij de
leerlingen aan
- Bv met de beertjes van
Meichenbaum
- Het is een letterlijke vertaling van
de vier stappen uit het model
o Elk pictogram beeldt één
specifieke stap uit
o
3. HEURISTIEKEN OF ZOEKSTRATEGIEËN
3.1. WAT ZIJN HEURISTIEKEN?
Heuristieken of zoekstrategieën zijn oplossingsstrategieën die in je
broekzak zitten en als je niet meteen het antwoord weet, kan je ze uithalen en
‘ik ga dit proberen, of dit, of dit’
Vb. een tekening maken KAN helpen een oplossing te vinden voor iets, maar
niet altijd.
- Algoritmen geven een vast stappenplan om een probleem aan te
pakken. Wanneer men nauwgezet de stappen volgt, dan komt men
gegarandeerd tot een oplossing
- Trail and error men gaat eerder ‘in het wilde weg’ proberen, eventueel
op basis van intuïtie. Men vindt soms de oplossing door een samenloop
van intuïtie en gelukkig toeval
3
, didactiek wiskunde 2 juni
- Heuristieken zijn gerichte zoektechnieken die niet zeker tot een
oplossing leiden, maar een systematiek inhouden en meer kracht geven
dan trial and error
3.2. HEURISTIEKEN IN HET STAPPENPLAN
De algemene strategie voor het vaardig oplossen van wiskundige problemen
bestaat uit vier stappen. Heuristieken of zoekstrategieën worden
gebruikt bij de eerste en tweede stap
3.3. HEURISTIEKEN DIE HELPEN BIJ HET ANALYSEREN VAN DE SITUATIE
3.3.1. MAAK EEN TEKENING VAN DE PROBLEEMSITUATIE
Op basis van de tekstuele informatie probeert de leerling een aanschouwelijke
voorstelling op te bouwen van de probleemsituatie in de vorm van een schets
of een tekening
3.3.2. HET PROBLEEM HERFORMULEREN EN/OF DRAMATISEREN
Heel wat vraagstukken vormen enkel en alleen maar een probleem voor
sommige leerlingen door het taalgebruik
3.3.3. ONDERSCHEID NOODZAKELIJKE EN OVERBODIGE GEGEVENS
Vooraleer gegevens aan te duiden in het vraagstuk, is het belangrijk dat de
vraag eerst aandachtig wordt bekeken. Daarna selecteren we de
NOODZAKELIJKE informatie.
3.3.4. GEBRUIK JE ERVARINGSKENNIS OF ZOEK ONTBREKENDE INFO
Bij het oplossen van een wiskundig probleem kan het zijn dat niet alle
noodzakelijke of relevante gegevens meegegeven worden voorbeelde
n in de
cursus!!
4. CONTEXTRIJKE OPGAVEN
4.1. ENKELVOUDIGE EN SAMENGESTELDE VRAAGSTUKKEN
vb van E naar S. Ze krijgen in de ochtend
2 appelen en in de avond 3 appelen hoeveel
appelen zijn er in het totaal nodig
4
