REW2 Samenvatting colleges
(aangevuld met het boek
Kerninzichten)
College 1 (H1 Tellen en Getallen)
Context vak en ontluikende gecijferdheid
De organisatie van het rekenonderwijs is samen te vatten in:
- Kerndoelen: Door de overheid opgestelde doelen voor het basisonderwijs. Voor rekenen en
wiskunde zijn dit er 11 (te vinden op pagina 37 t/m 45 van het kerndoelenboekje). Deze
kerndoelen worden geconcretiseerd door de TULE.
- Referentieniveau’s: Niveau’s die bepalen wat leerlingen moeten beheersen
o 1F: Het benodigde fundamentele niveau aan het einde van groep 8
o 2F: Het fundamentele niveau waar elke Nederlander aan moet voldoen om als
burger in de samenleving te functioneren
o 1S: Het streefniveau aan het einde van groep 8
o 3S: Het niveau waar leerkrachten op de basisschool over moeten beschikken. Dit
niveau wordt ook getoetst op de Kennisbasistoets.
Vaardigheden waarover een goede wiskundeleerkracht beschikt zijn:
- Professionele gecijferdheid
- Wiskundige attitude: Kenmerken hiervan zijn:
o Algemene houding: Zelfvertrouwen, plezier in rekenen, betrokkenheid
o Reflecterende houding: Terugkijken en anticiperen op eigen denken en handelen
o Onderzoekende houding: Nieuwsgierig, leerlingen diepgaand willen begrijpen
o Communicatieve houding: Actief luisteren, goede wiskunde-taal, kunnen inspelen
o Doelgerichte houding: Passende materialen, schema’s of modellen inzetten en
structuur bieden
In het rekenonderwijs is er grofweg sprake van twee ‘stromingen’:
Traditioneel rekenen vs. Realistisch rekenen
Algoritmisch vs. Op basis van heuristieken (gebeurtenissen)
Cijferen vs. Verschillende oplossingsmethodes
Los van de context vs. Context-gebonden
Weinig materialen vs. Veel materialen
Weinig modellen vs. Veel modellen
Klassikaal aangeboden vs. Gedifferentieerd aangeboden
Het traditioneel rekenen wordt ook wel als het topje van de ijsberg gezien van wat leerlingen moeten
kunnen. Wat echter onder het water zit (het niet-zichtbare deel van de ijsberg) is het realistisch
rekenen en alle verschillende manieren waarmee via die weg wordt gewerkt naar het kunnen
rekenen met abstracte (traditionele) sommen.
,Boek kerninzichten: H1 Tellen en getallen
In dit hoofdstuk gaat het erom dat leerlingen (onderbouw) het inzicht verwerven dat:
- Kerninzicht synchroon tellen: Het opzeggen van een telrij synchroon loopt met het aanwijzen
- Kerninzicht resultatief tellen: Het laatste getal bij het tellen de hoeveelheid aanduidt
- Kerninzicht representeren van getallen : Je hoeveelheden kunt representeren met behulp van
materialen schema’s en cijfersymbolen
Sluiten aan bij de kerndoelen 23 (wiskundetaal gebruiken) en 26 (structuur en samenhang
van aantallen en gehele getallen leren te doorzien en er in praktische situaties mee rekenen).
Voor jonge kinderen bestaan er verschillende manieren om tellen aan te leren. Dit gaat op
verschillende volgorde:
1. Akoestisch tellen: Het ritmisch opzeggen van de telrij, zonder het besef van wat de
telwoorden betekenen. Ritme is hierbij voor kinderen belangrijk.
2. (A)-synchroon tellen: Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en gelijk in
hetzelfde tempo objecten kunnen aanwijzen. Dit laat het besef zien dat elk dingetje dat je
aan het tellen bent iets opzichzelfstaand is (één): de één op één relatie is duidelijk.. Het
opzeggen van de telrij verloopt dan synchroon met het aanwijzen van verschillende
voorwerpen. Vb. het tellen van pionnetjes bij een spel.
Voorwaarde voor resultatief tellen
3. Resultatief tellen: Het tellen van een hoeveelheid met de bedoeling het aantal ( de
hoeveelheid) te tellen. Een kind kan resultatief tellen als:
o De telrij in de juiste volgorde wordt opgezegd
o Een correcte één op één relatie wordt toegepast (synchroon tellen)
o De leerling begrijpt dat het laatstgenoemde getal (ordinaal getal) de hoeveelheid
aangeeft (hoeveelheidsgetal)
Er is hier sprake van een besef voor functies van getallen:
Hoeveelheidsgetallen: Kardinale functie
Telgetallen: Ordinale functie (gaat om volgorde)
Meetgetallen: Er komt een maat achter te staan (meter, liter, jaar etc.)
Naamgetallen: Getal heeft geen andere waarden dan een naam (tramlijn)
Rekengetallen: abstracte getallen, los van een context
4. Representeren van getallen: Hier wordt andersom gewerkt, hoe kun je een bepaald getal
representeren? (Met handen, turven, eieren etc.). Hiervoor heeft een leerling geleerd dat
cijfers een hoeveelheid representeren.
5. Verkort tellen: Tellen hoeft niet meer per sé één voor één plaats te vinden. In één oogopslag
zie je misschien van welk getal er sprake is. Vb. hoeveel appels in een mand
Rekenvoorwaarden van Piaget (fases van rekenvaardigheid):
- Conservatie: Inzien dat hoeveelheid hetzelfde blijft ook al verandert de vorm
- Correspondentie: Kunnen leggen van één-op-één relaties
- Classificatie: Maken van groepen op basis van gemeenschappelijke kenmerken
- Seriatie: Aanbrengen van een volgorde, bijvoorbeeld klein-kleiner-kleinst
College 2 (H2 Tientallig stelsel)
Aanvankelijk rekenen tot honderd
, Leerdoelen voor dit hoofdstuk zijn de volgende:
- Je kunt het belang van tientallige bundeling aangeven
- Je kent de kerninzichten behorend bij tientallige bundeling
- Je kent de kerninzichten behorend bij tientallige bundeling
o Kerninzicht tientallige bundeling: Leerling realiseert zich de efficiëntie van het
bundelen van aantallen in 10, 100 etc.
o Kerninzicht positiewaarde: Leerling realiseert zich dat de waarde van een cijfer in een
getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat.
Dit sluit aan bij kerndoelen: 23 (Leerlingen leren wiskundetaal gebruiken) 24
(Leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te lossen en
redeneringen helder weer te geven) 25 (Leerlingen leren aanpakken bij het oplossen
van reken-wiskunde-problemen te onderbouwen en leren oplossingen te
beoordelen) 26 (Leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen en gehele
getallen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen).
- Je kunt contexten en modellen noemen die ondersteunen bij tientallige bundeling
- Je kunt de leerlijn beschrijven om tot 20 te kunnen tellen
Tientallige bundeling (H2)
Tientallige bundeling is het maken van groepjes van 10. Het is belangrijk voor leerlingen om dit te
kunnen omdat je in groepen van 10 sneller een overzicht creëert op aantallen en je een inzicht geeft
in hoe getallen zijn opgebouwd. In groep 1/2 leren leerlingen verkort te tellen. In groep 3/4 bij
rekenen tot 100 wordt de getallenrij tot 100 verkend. Waarbij bundeling van pas komt.
Het herkennen van systematiek in een telrij betekent nog niet dat een leerling snapt dat je ook
tientallen zelf kunt tellen. Dit is een apart inzicht.
Concrete materialen die men kan gebruiken bij tientallige bundeling zijn voorwerpen die in grote
hoeveelheid voorkomen zoals lucifers, satéprikkers etc. Zodat de leerling het nut gaat inzien van
tellen in bundeling.
Denkmodellen die kunnen worden gebruikt bij tientallige bundeling zijn: MAB materiaal, het DHTE
positieschema (duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden), turven, de getallenlijn, het
rekenrek etc.
Positiewaarde
Wij noteren getallen volgens een positioneel systeem: de waarde van een cijfer (het cijfersymbool)
een getal wordt bepaald door de plaats waar die staat.
De 0 is in een positioneel systeem heel belangrijk. Bij alles wat je keer 10 doet komt er een 0 bij. Alles
wat je keer 100 doet komen er twee nullen bij etc. Dit heet de nulregel.
In ons decimaal positioneel getalsysteem is de tientallige verfijning die wij gebruiken voor kinderen
die symmetrie fijn vinden lastig. De tientallen staan namelijk op de tweede plaats links van de
komma, maar de tienden meteen de eerste plaats rechts naast de komma.
Of een leerling inzicht heeft in positiewaarden kun je bijvoorbeeld gemakkelijk zien aan of een
leerling de logica achter splitsen snapt of wanneer een leerling gelijk ziet dat 8899 links van 8900 ligt
op de getallenlijn.
Kenmerkend voor ons positionele systeem is de analogie: De sommen 5+4 15+4 en 25+4 zijn
bijvoorbeeld gemakkelijk achter elkaar op te lossen doordat de eenheden hier steeds hetzelfde zijn.
Sprongen van 10 veranderen dus niets aan de eenheden.
(aangevuld met het boek
Kerninzichten)
College 1 (H1 Tellen en Getallen)
Context vak en ontluikende gecijferdheid
De organisatie van het rekenonderwijs is samen te vatten in:
- Kerndoelen: Door de overheid opgestelde doelen voor het basisonderwijs. Voor rekenen en
wiskunde zijn dit er 11 (te vinden op pagina 37 t/m 45 van het kerndoelenboekje). Deze
kerndoelen worden geconcretiseerd door de TULE.
- Referentieniveau’s: Niveau’s die bepalen wat leerlingen moeten beheersen
o 1F: Het benodigde fundamentele niveau aan het einde van groep 8
o 2F: Het fundamentele niveau waar elke Nederlander aan moet voldoen om als
burger in de samenleving te functioneren
o 1S: Het streefniveau aan het einde van groep 8
o 3S: Het niveau waar leerkrachten op de basisschool over moeten beschikken. Dit
niveau wordt ook getoetst op de Kennisbasistoets.
Vaardigheden waarover een goede wiskundeleerkracht beschikt zijn:
- Professionele gecijferdheid
- Wiskundige attitude: Kenmerken hiervan zijn:
o Algemene houding: Zelfvertrouwen, plezier in rekenen, betrokkenheid
o Reflecterende houding: Terugkijken en anticiperen op eigen denken en handelen
o Onderzoekende houding: Nieuwsgierig, leerlingen diepgaand willen begrijpen
o Communicatieve houding: Actief luisteren, goede wiskunde-taal, kunnen inspelen
o Doelgerichte houding: Passende materialen, schema’s of modellen inzetten en
structuur bieden
In het rekenonderwijs is er grofweg sprake van twee ‘stromingen’:
Traditioneel rekenen vs. Realistisch rekenen
Algoritmisch vs. Op basis van heuristieken (gebeurtenissen)
Cijferen vs. Verschillende oplossingsmethodes
Los van de context vs. Context-gebonden
Weinig materialen vs. Veel materialen
Weinig modellen vs. Veel modellen
Klassikaal aangeboden vs. Gedifferentieerd aangeboden
Het traditioneel rekenen wordt ook wel als het topje van de ijsberg gezien van wat leerlingen moeten
kunnen. Wat echter onder het water zit (het niet-zichtbare deel van de ijsberg) is het realistisch
rekenen en alle verschillende manieren waarmee via die weg wordt gewerkt naar het kunnen
rekenen met abstracte (traditionele) sommen.
,Boek kerninzichten: H1 Tellen en getallen
In dit hoofdstuk gaat het erom dat leerlingen (onderbouw) het inzicht verwerven dat:
- Kerninzicht synchroon tellen: Het opzeggen van een telrij synchroon loopt met het aanwijzen
- Kerninzicht resultatief tellen: Het laatste getal bij het tellen de hoeveelheid aanduidt
- Kerninzicht representeren van getallen : Je hoeveelheden kunt representeren met behulp van
materialen schema’s en cijfersymbolen
Sluiten aan bij de kerndoelen 23 (wiskundetaal gebruiken) en 26 (structuur en samenhang
van aantallen en gehele getallen leren te doorzien en er in praktische situaties mee rekenen).
Voor jonge kinderen bestaan er verschillende manieren om tellen aan te leren. Dit gaat op
verschillende volgorde:
1. Akoestisch tellen: Het ritmisch opzeggen van de telrij, zonder het besef van wat de
telwoorden betekenen. Ritme is hierbij voor kinderen belangrijk.
2. (A)-synchroon tellen: Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en gelijk in
hetzelfde tempo objecten kunnen aanwijzen. Dit laat het besef zien dat elk dingetje dat je
aan het tellen bent iets opzichzelfstaand is (één): de één op één relatie is duidelijk.. Het
opzeggen van de telrij verloopt dan synchroon met het aanwijzen van verschillende
voorwerpen. Vb. het tellen van pionnetjes bij een spel.
Voorwaarde voor resultatief tellen
3. Resultatief tellen: Het tellen van een hoeveelheid met de bedoeling het aantal ( de
hoeveelheid) te tellen. Een kind kan resultatief tellen als:
o De telrij in de juiste volgorde wordt opgezegd
o Een correcte één op één relatie wordt toegepast (synchroon tellen)
o De leerling begrijpt dat het laatstgenoemde getal (ordinaal getal) de hoeveelheid
aangeeft (hoeveelheidsgetal)
Er is hier sprake van een besef voor functies van getallen:
Hoeveelheidsgetallen: Kardinale functie
Telgetallen: Ordinale functie (gaat om volgorde)
Meetgetallen: Er komt een maat achter te staan (meter, liter, jaar etc.)
Naamgetallen: Getal heeft geen andere waarden dan een naam (tramlijn)
Rekengetallen: abstracte getallen, los van een context
4. Representeren van getallen: Hier wordt andersom gewerkt, hoe kun je een bepaald getal
representeren? (Met handen, turven, eieren etc.). Hiervoor heeft een leerling geleerd dat
cijfers een hoeveelheid representeren.
5. Verkort tellen: Tellen hoeft niet meer per sé één voor één plaats te vinden. In één oogopslag
zie je misschien van welk getal er sprake is. Vb. hoeveel appels in een mand
Rekenvoorwaarden van Piaget (fases van rekenvaardigheid):
- Conservatie: Inzien dat hoeveelheid hetzelfde blijft ook al verandert de vorm
- Correspondentie: Kunnen leggen van één-op-één relaties
- Classificatie: Maken van groepen op basis van gemeenschappelijke kenmerken
- Seriatie: Aanbrengen van een volgorde, bijvoorbeeld klein-kleiner-kleinst
College 2 (H2 Tientallig stelsel)
Aanvankelijk rekenen tot honderd
, Leerdoelen voor dit hoofdstuk zijn de volgende:
- Je kunt het belang van tientallige bundeling aangeven
- Je kent de kerninzichten behorend bij tientallige bundeling
- Je kent de kerninzichten behorend bij tientallige bundeling
o Kerninzicht tientallige bundeling: Leerling realiseert zich de efficiëntie van het
bundelen van aantallen in 10, 100 etc.
o Kerninzicht positiewaarde: Leerling realiseert zich dat de waarde van een cijfer in een
getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat.
Dit sluit aan bij kerndoelen: 23 (Leerlingen leren wiskundetaal gebruiken) 24
(Leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te lossen en
redeneringen helder weer te geven) 25 (Leerlingen leren aanpakken bij het oplossen
van reken-wiskunde-problemen te onderbouwen en leren oplossingen te
beoordelen) 26 (Leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen en gehele
getallen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen).
- Je kunt contexten en modellen noemen die ondersteunen bij tientallige bundeling
- Je kunt de leerlijn beschrijven om tot 20 te kunnen tellen
Tientallige bundeling (H2)
Tientallige bundeling is het maken van groepjes van 10. Het is belangrijk voor leerlingen om dit te
kunnen omdat je in groepen van 10 sneller een overzicht creëert op aantallen en je een inzicht geeft
in hoe getallen zijn opgebouwd. In groep 1/2 leren leerlingen verkort te tellen. In groep 3/4 bij
rekenen tot 100 wordt de getallenrij tot 100 verkend. Waarbij bundeling van pas komt.
Het herkennen van systematiek in een telrij betekent nog niet dat een leerling snapt dat je ook
tientallen zelf kunt tellen. Dit is een apart inzicht.
Concrete materialen die men kan gebruiken bij tientallige bundeling zijn voorwerpen die in grote
hoeveelheid voorkomen zoals lucifers, satéprikkers etc. Zodat de leerling het nut gaat inzien van
tellen in bundeling.
Denkmodellen die kunnen worden gebruikt bij tientallige bundeling zijn: MAB materiaal, het DHTE
positieschema (duizendtallen, honderdtallen, tientallen, eenheden), turven, de getallenlijn, het
rekenrek etc.
Positiewaarde
Wij noteren getallen volgens een positioneel systeem: de waarde van een cijfer (het cijfersymbool)
een getal wordt bepaald door de plaats waar die staat.
De 0 is in een positioneel systeem heel belangrijk. Bij alles wat je keer 10 doet komt er een 0 bij. Alles
wat je keer 100 doet komen er twee nullen bij etc. Dit heet de nulregel.
In ons decimaal positioneel getalsysteem is de tientallige verfijning die wij gebruiken voor kinderen
die symmetrie fijn vinden lastig. De tientallen staan namelijk op de tweede plaats links van de
komma, maar de tienden meteen de eerste plaats rechts naast de komma.
Of een leerling inzicht heeft in positiewaarden kun je bijvoorbeeld gemakkelijk zien aan of een
leerling de logica achter splitsen snapt of wanneer een leerling gelijk ziet dat 8899 links van 8900 ligt
op de getallenlijn.
Kenmerkend voor ons positionele systeem is de analogie: De sommen 5+4 15+4 en 25+4 zijn
bijvoorbeeld gemakkelijk achter elkaar op te lossen doordat de eenheden hier steeds hetzelfde zijn.
Sprongen van 10 veranderen dus niets aan de eenheden.
