LKT-samenvatting rekenen-wiskunde
Kerninzichten
Kerninzichten hoofdstuk 1 tellen en getallen
Bij tellen en getallen verwerven kinderen het inzicht dat:
bij het tellen van een aantal voorwerpen het opzeggen van de telrij gelijkloopt met het
aanwijzen (kerninzicht synchroon tellen)
het laatste getal bij tellen van een aantal objecten de hoeveelheid aanduidt (kerninzicht
resultatief tellen)
je hoeveelheden kunt representeren met behulp van materialen, schema’s en cijfersymbolen
(kerninzicht representeren)
Synchroon tellen
Als je voorwerpen wilt tellen, moet je elk voorwerp precies één keer aanwijzen. Je mag geen
voorwerpen overslaan of dubbel tellen. Bij elk voorwerp dat je aanwijst, moet je precies één
telwoord noemen en wel steeds het volgende telwoord. Het precies gelijk aanwijzen en noemen van
het volgende telwoord noemen we synchroon tellen. Het inzicht dat je synchroon moet tellen, is een
kerninzicht dat kinderen moeten ontwikkelen om later een aantal objecten goed te kunnen tellen.
Resultatief tellen
Resultatief tellen is het tellen van een aantal voorwerpen om te weten hoeveel het er zijn. Daarvoor
moeten kinderen synchroon kunnen tellen, maar dat is nog niet genoeg. Het kind moet ook begrijpen
dat het laatste telwoord dat het noemt, de hoeveelheid aangeeft. ‘Een, twee, drie: samen zijn het er
drie.’ Bij het resultatief tellen zijn twee getalfuncties in het geding:
Hoeveelheidsgetallen: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
Telgetallen: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen waarmee je telt. Ook:
bladzijde 5, huisnummer 37.
Getallen kunnen nog drie andere functies hebben:
Meetgetallen zijn resultaten van een meting: 7 meter, 3 kilogram, 2 jaar.
Naamgetallen zijn getallen die als het ware een naam aangeven, zoals bij ‘bus 15’.
Rekengetallen zijn (abstracte) getallen om mee te rekenen, zoals in: 5 + 3 = 8.
Representeren van getallen
Een getal is een abstractie. Volwassenen zijn gewend om een getal aan te geven met een
cijfersymbool. Kinderen moeten dat nog leren. Voordat zij vertrouwd zijn met de cijfers, kunnen ze
getallen ook op andere manieren representeren of uitbeelden. Bij vier kunnen kinderen denken aan:
de vier stippen op de dobbelsteen, vier poppen of vier fiches op een rijtje of het cijfer vier op
bijvoorbeeld de kalender. Als leerkrachten in de onderbouw kinderen uitdagen om zelf
representaties te bedenken en daarmee hoeveelheden en getallen weer te geven, dan leren
kinderen verschillende mogelijkheden kennen. Uiteindelijk zullen kinderen, omdat ze meerdere
mogelijkheden leren kennen om getallen te representeren, de cijfersymbolen accepteren als
gezamenlijke afspraak voor het representeren van getallen.
Leerlijn tellen en getallen
Leren tellen begint niet op school. Jonge kinderen kunnen voordat ze naar groep 1 gaan al tellen en
hoeveelheden herkennen. Vanaf ongeveer 2 jaar kunnen kinderen de hoeveelheid twee en drie,
soms ook vier en vijf benoemen op basis van herkenning.
Structuur speelt hierbij een grote rol. Een peuter die zegt dat ze drie auto’s voor haar verjaardag
heeft gekregen, zal de auto’s misschien nog niet kunnen tellen, maar ziet in één oogopslag dat het
,drie autootjes zijn. Een bekend voorbeeld van hoeveelheden herkennen is het herkennen van
hoeveelheden in een dobbelsteenstructuur.
Akoestisch tellen
De meeste kinderen kennen al een aantal telwoorden als ze in groep 1 beginnen. Op school wordt de
telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van de telrij, zonder besef van wat de telwoorden
betekenen, noemen we akoestisch tellen. Regelmatig herhalen is belangrijk. Er zijn veel eenvoudige
telspelletjes, rijmpjes en liedjes om de telwoorden te leren.
Synchroon tellen
Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en tegelijkertijd in hetzelfde tempo objecten
aanwijzen, heet synchroon tellen. Synchroon tellen is pas betekenisvol voor kinderen als zij de
noodzaak zien om de getallen goed op rij op te zeggen en om daarbij en tegelijkertijd ook nog de
voorwerpen aan te wijzen. Dat is bijvoorbeeld het geval bij het racebaanspel of bij het tellen van
hoeveelheden. De vaardigheid van het synchroon tellen krijgen kinderen door veel voor- en nadoen.
Daarom is het goed als kinderen vaak moeten tellen en telspelletjes doen.
Van synchroon tellen naar resultatief tellen
Het vaardig synchroon tellen vormt de opstap naar het resultatief tellen. De leerkracht stimuleert de
kinderen op zoek te gaan naar hoeveel er van iets zijn. Het is goed om situaties te nemen, waarin de
hoeveelheid betekenisvol is voor kinderen. Een goede context helpt kinderen het kerninzicht te
ontwikkelen, dat het laatste telgetal de hoeveelheid aangeeft. Het tellen van een klein aantal
voorwerpen in een rijtje is relatief makkelijk. Moeilijker zijn telopdrachten waarbij de te tellen
voorwerpen niet geordend zijn.
Verkort tellen
Wie wil weten hoeveel objecten er zijn, hoeft die niet altijd één voor één te tellen. Kinderen, die
twee aan twee in de rij lopen, tel je als volgt: 2, 4, 6, 8, 10. Als je het fruit in een fruitschaal wilt
tellen, en je ziet in een oogopslag drie grote groene appels liggen, begin je bij 3 en tel je het andere
fruit erbij: 4, 5, 6. Ook bij een worp met twee dobbelstenen begin je te tellen bij een van de worpen
die je herkent, bijvoorbeeld de 5, en tel je de ogen van de tweede dobbelsteen daarbij: 6, 7, 8. Het
tellen op deze manier, waarbij niet alle voorwerpen meer één voor één geteld worden, heet verkort
tellen. Tellen met twee tegelijk wordt ook wel tellen met sprongen genoemd, in dit geval dus met
sprongen van twee. Je kunt ook tellen met sprongen van vijf of van tien. Het tellen met sprongen is
een vorm van verkort tellen en is een voorbereiding op het leren vermenigvuldigen.
Getalbeelden
Getalbeelden zijn mentale voorstellingen, plaatjes, van getallen. Als plaatje bij het getal vijf kunnen
kinderen in hun hoofd hebben: het dobbelsteenpatroon, een hele hand met vijf vingers, een rijtje
van vijf eieren in een eierdoos van tien stuks of de vijf rode kralen op de bovenste stang van het
rekenrek. Getalbeelden helpen het één voor één tellen los te laten en daadwerkelijk te gaan
optellen.
, Kerninzichten hoofdstuk 2 tientallig systeem
Het getalsysteem dat wij gebruiken is een decimaal positioneel getalsysteem. Kinderen moeten het
inzicht verwerven dat:
het efficiënt is om aantallen te bundelen in bundels van tien, honderd, duizend enzovoort
(kerninzicht tientallige bundeling)
de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat (kerninzicht
plaatswaarde of positiewaarde)
Tientallige bundeling
Bij het tellen van grotere hoeveelheden is het handig om te bundelen, om groepjes te maken. Het
bundelen in groepjes van tien (of honderd bij grote hoeveelheden) is het handigst, omdat dit precies
aansluit bij ons tientallige getalsysteem. Veel kinderen ontdekken spontaan dat het handig is om
gelijke groepjes te maken, als je ze de opdracht geeft een grote hoeveelheid te tellen. Toch is de
overstap van het tellen van eenheden naar het tellen van groepjes van tien een moeilijke stap voor
sommige leerlingen.
De opbouw van onze getallen is tientallig, dat wil zeggen dat we grotere hoeveelheden bundelen in
tientallen, honderdtallen, duizendtallen enzovoort. Als we 10 ‘lossen’ of eenheden geteld hebben,
maken we daar als het ware één bundel van en noteren dat als 1 tiental, en tellen we verder met
eenheden tot we 2 tientallen hebben enzovoort. Na 10 tientallen noteren we dat als 1 honderdtal en
zo gaat het bundelen alsmaar door. Het bundelen van tien leidt tot een tientallig of decimaal
talstelsel.
Positiewaarde
Bij het schrijven van getallen moet je weten dat de plaats waarop een cijfer staat bepalend is voor de
waarde die het heeft. Als je 1001 opschrijft, dan is het cijfersymbool 1 aan de rechterkant precies één
waard, maar hetzelfde symbool links is een duizendtal waard, doordat zijn positie anders is. De plaats
waar een cijfer staat bepaalt wat dat cijfer waard is; we noemen dat plaatswaarde of positiewaarde.
Omdat de positie waarop het cijfer staat bepalend is voor de waarde die het heeft, noemen we dit
een ‘positioneel getalsysteem’.
Ons getalsysteem heet een decimaal positioneel getalsysteem. Er zijn ook andere mogelijkheden. De
Babyloniërs gebruikten een zestigtallig talstelsel; computers rekenen tweetallig. De Romeinse
getallen zijn niet positioneel: de X betekent altijd tien en de C betekent altijd honderd.
Leerlijn tientallig stelsel
Bij het vertrouwd raken met ons decimaal positioneel getalsysteem, start je met het principe van de
bundeling. Als het gaat om getallen tot 100 (meestal groep 4) komt daarnaast aandacht voor
plaatswaarde aan de orde.
Systematiek in de telrij
Bij het leren van de telwoorden tot 20 in groep 1 en 2, en tot 100 in groep 3 en 4 ontdekken kinderen
dat daarin een systematiek zit: na elk volgend tiental komt de korte telrij van 1 tot en met 9 terug en
de grote telrij 10, 20, 30, 40 is net zo opgebouwd als de korte telrij.
Tientallige bundeling
Bundeling is efficiënt bij grotere hoeveelheden. In de groepen 1, 2 en 3 kunnen kinderen al
kennismaken met het nut van bundelen of groeperen bij het tellen met vijf tegelijk en bij het
zogenaamde turven. Als er gewerkt wordt met hoeveelheden groter dan 20, dat is meestal in groep
4, wordt het zinvol om te bundelen in groepjes van tien.
Kerninzichten
Kerninzichten hoofdstuk 1 tellen en getallen
Bij tellen en getallen verwerven kinderen het inzicht dat:
bij het tellen van een aantal voorwerpen het opzeggen van de telrij gelijkloopt met het
aanwijzen (kerninzicht synchroon tellen)
het laatste getal bij tellen van een aantal objecten de hoeveelheid aanduidt (kerninzicht
resultatief tellen)
je hoeveelheden kunt representeren met behulp van materialen, schema’s en cijfersymbolen
(kerninzicht representeren)
Synchroon tellen
Als je voorwerpen wilt tellen, moet je elk voorwerp precies één keer aanwijzen. Je mag geen
voorwerpen overslaan of dubbel tellen. Bij elk voorwerp dat je aanwijst, moet je precies één
telwoord noemen en wel steeds het volgende telwoord. Het precies gelijk aanwijzen en noemen van
het volgende telwoord noemen we synchroon tellen. Het inzicht dat je synchroon moet tellen, is een
kerninzicht dat kinderen moeten ontwikkelen om later een aantal objecten goed te kunnen tellen.
Resultatief tellen
Resultatief tellen is het tellen van een aantal voorwerpen om te weten hoeveel het er zijn. Daarvoor
moeten kinderen synchroon kunnen tellen, maar dat is nog niet genoeg. Het kind moet ook begrijpen
dat het laatste telwoord dat het noemt, de hoeveelheid aangeeft. ‘Een, twee, drie: samen zijn het er
drie.’ Bij het resultatief tellen zijn twee getalfuncties in het geding:
Hoeveelheidsgetallen: het gaat om de hoeveelheid of kardinale functie.
Telgetallen: het gaat om de volgorde of ordinale functie, de getallen waarmee je telt. Ook:
bladzijde 5, huisnummer 37.
Getallen kunnen nog drie andere functies hebben:
Meetgetallen zijn resultaten van een meting: 7 meter, 3 kilogram, 2 jaar.
Naamgetallen zijn getallen die als het ware een naam aangeven, zoals bij ‘bus 15’.
Rekengetallen zijn (abstracte) getallen om mee te rekenen, zoals in: 5 + 3 = 8.
Representeren van getallen
Een getal is een abstractie. Volwassenen zijn gewend om een getal aan te geven met een
cijfersymbool. Kinderen moeten dat nog leren. Voordat zij vertrouwd zijn met de cijfers, kunnen ze
getallen ook op andere manieren representeren of uitbeelden. Bij vier kunnen kinderen denken aan:
de vier stippen op de dobbelsteen, vier poppen of vier fiches op een rijtje of het cijfer vier op
bijvoorbeeld de kalender. Als leerkrachten in de onderbouw kinderen uitdagen om zelf
representaties te bedenken en daarmee hoeveelheden en getallen weer te geven, dan leren
kinderen verschillende mogelijkheden kennen. Uiteindelijk zullen kinderen, omdat ze meerdere
mogelijkheden leren kennen om getallen te representeren, de cijfersymbolen accepteren als
gezamenlijke afspraak voor het representeren van getallen.
Leerlijn tellen en getallen
Leren tellen begint niet op school. Jonge kinderen kunnen voordat ze naar groep 1 gaan al tellen en
hoeveelheden herkennen. Vanaf ongeveer 2 jaar kunnen kinderen de hoeveelheid twee en drie,
soms ook vier en vijf benoemen op basis van herkenning.
Structuur speelt hierbij een grote rol. Een peuter die zegt dat ze drie auto’s voor haar verjaardag
heeft gekregen, zal de auto’s misschien nog niet kunnen tellen, maar ziet in één oogopslag dat het
,drie autootjes zijn. Een bekend voorbeeld van hoeveelheden herkennen is het herkennen van
hoeveelheden in een dobbelsteenstructuur.
Akoestisch tellen
De meeste kinderen kennen al een aantal telwoorden als ze in groep 1 beginnen. Op school wordt de
telrij verder geoefend. Het ritmisch opzeggen van de telrij, zonder besef van wat de telwoorden
betekenen, noemen we akoestisch tellen. Regelmatig herhalen is belangrijk. Er zijn veel eenvoudige
telspelletjes, rijmpjes en liedjes om de telwoorden te leren.
Synchroon tellen
Het één voor één de getallen in volgorde opzeggen en tegelijkertijd in hetzelfde tempo objecten
aanwijzen, heet synchroon tellen. Synchroon tellen is pas betekenisvol voor kinderen als zij de
noodzaak zien om de getallen goed op rij op te zeggen en om daarbij en tegelijkertijd ook nog de
voorwerpen aan te wijzen. Dat is bijvoorbeeld het geval bij het racebaanspel of bij het tellen van
hoeveelheden. De vaardigheid van het synchroon tellen krijgen kinderen door veel voor- en nadoen.
Daarom is het goed als kinderen vaak moeten tellen en telspelletjes doen.
Van synchroon tellen naar resultatief tellen
Het vaardig synchroon tellen vormt de opstap naar het resultatief tellen. De leerkracht stimuleert de
kinderen op zoek te gaan naar hoeveel er van iets zijn. Het is goed om situaties te nemen, waarin de
hoeveelheid betekenisvol is voor kinderen. Een goede context helpt kinderen het kerninzicht te
ontwikkelen, dat het laatste telgetal de hoeveelheid aangeeft. Het tellen van een klein aantal
voorwerpen in een rijtje is relatief makkelijk. Moeilijker zijn telopdrachten waarbij de te tellen
voorwerpen niet geordend zijn.
Verkort tellen
Wie wil weten hoeveel objecten er zijn, hoeft die niet altijd één voor één te tellen. Kinderen, die
twee aan twee in de rij lopen, tel je als volgt: 2, 4, 6, 8, 10. Als je het fruit in een fruitschaal wilt
tellen, en je ziet in een oogopslag drie grote groene appels liggen, begin je bij 3 en tel je het andere
fruit erbij: 4, 5, 6. Ook bij een worp met twee dobbelstenen begin je te tellen bij een van de worpen
die je herkent, bijvoorbeeld de 5, en tel je de ogen van de tweede dobbelsteen daarbij: 6, 7, 8. Het
tellen op deze manier, waarbij niet alle voorwerpen meer één voor één geteld worden, heet verkort
tellen. Tellen met twee tegelijk wordt ook wel tellen met sprongen genoemd, in dit geval dus met
sprongen van twee. Je kunt ook tellen met sprongen van vijf of van tien. Het tellen met sprongen is
een vorm van verkort tellen en is een voorbereiding op het leren vermenigvuldigen.
Getalbeelden
Getalbeelden zijn mentale voorstellingen, plaatjes, van getallen. Als plaatje bij het getal vijf kunnen
kinderen in hun hoofd hebben: het dobbelsteenpatroon, een hele hand met vijf vingers, een rijtje
van vijf eieren in een eierdoos van tien stuks of de vijf rode kralen op de bovenste stang van het
rekenrek. Getalbeelden helpen het één voor één tellen los te laten en daadwerkelijk te gaan
optellen.
, Kerninzichten hoofdstuk 2 tientallig systeem
Het getalsysteem dat wij gebruiken is een decimaal positioneel getalsysteem. Kinderen moeten het
inzicht verwerven dat:
het efficiënt is om aantallen te bundelen in bundels van tien, honderd, duizend enzovoort
(kerninzicht tientallige bundeling)
de waarde van een cijfer in een getal afhangt van de plaats waar het cijfer staat (kerninzicht
plaatswaarde of positiewaarde)
Tientallige bundeling
Bij het tellen van grotere hoeveelheden is het handig om te bundelen, om groepjes te maken. Het
bundelen in groepjes van tien (of honderd bij grote hoeveelheden) is het handigst, omdat dit precies
aansluit bij ons tientallige getalsysteem. Veel kinderen ontdekken spontaan dat het handig is om
gelijke groepjes te maken, als je ze de opdracht geeft een grote hoeveelheid te tellen. Toch is de
overstap van het tellen van eenheden naar het tellen van groepjes van tien een moeilijke stap voor
sommige leerlingen.
De opbouw van onze getallen is tientallig, dat wil zeggen dat we grotere hoeveelheden bundelen in
tientallen, honderdtallen, duizendtallen enzovoort. Als we 10 ‘lossen’ of eenheden geteld hebben,
maken we daar als het ware één bundel van en noteren dat als 1 tiental, en tellen we verder met
eenheden tot we 2 tientallen hebben enzovoort. Na 10 tientallen noteren we dat als 1 honderdtal en
zo gaat het bundelen alsmaar door. Het bundelen van tien leidt tot een tientallig of decimaal
talstelsel.
Positiewaarde
Bij het schrijven van getallen moet je weten dat de plaats waarop een cijfer staat bepalend is voor de
waarde die het heeft. Als je 1001 opschrijft, dan is het cijfersymbool 1 aan de rechterkant precies één
waard, maar hetzelfde symbool links is een duizendtal waard, doordat zijn positie anders is. De plaats
waar een cijfer staat bepaalt wat dat cijfer waard is; we noemen dat plaatswaarde of positiewaarde.
Omdat de positie waarop het cijfer staat bepalend is voor de waarde die het heeft, noemen we dit
een ‘positioneel getalsysteem’.
Ons getalsysteem heet een decimaal positioneel getalsysteem. Er zijn ook andere mogelijkheden. De
Babyloniërs gebruikten een zestigtallig talstelsel; computers rekenen tweetallig. De Romeinse
getallen zijn niet positioneel: de X betekent altijd tien en de C betekent altijd honderd.
Leerlijn tientallig stelsel
Bij het vertrouwd raken met ons decimaal positioneel getalsysteem, start je met het principe van de
bundeling. Als het gaat om getallen tot 100 (meestal groep 4) komt daarnaast aandacht voor
plaatswaarde aan de orde.
Systematiek in de telrij
Bij het leren van de telwoorden tot 20 in groep 1 en 2, en tot 100 in groep 3 en 4 ontdekken kinderen
dat daarin een systematiek zit: na elk volgend tiental komt de korte telrij van 1 tot en met 9 terug en
de grote telrij 10, 20, 30, 40 is net zo opgebouwd als de korte telrij.
Tientallige bundeling
Bundeling is efficiënt bij grotere hoeveelheden. In de groepen 1, 2 en 3 kunnen kinderen al
kennismaken met het nut van bundelen of groeperen bij het tellen met vijf tegelijk en bij het
zogenaamde turven. Als er gewerkt wordt met hoeveelheden groter dan 20, dat is meestal in groep
4, wordt het zinvol om te bundelen in groepjes van tien.
