BLOK 0: T-toets
Twisk: HS 3.7-3.8, 4.1 t/m 4.3 (niet meer 4.3.1)
A.d.h.v. de T-verdeling kunnen we de T-toets uitvoeren, waar 3 'smaken' van zijn:
• Eén steekproef T-toets (one-sample t-test)
• Gepaarde T-toets (paired samples t-test)
• T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven (independent samples t-test)
T-verdeling
Van de Z-verdeling naar de t-verdeling
Z-verdeling:
- Kunnen we gebruiken als gemiddelde en variantie van de populatie bekend zijn
- Bij een grote steekproef: variantie van de steekproef benadert variantie van de populatie
o Volgens CLS
In veel gevallen weten we niet de variantie van de populatie en is onze steekproef klein. Er is veel
onzekerheid in het schatten van de populatie variantie.
Student ’s T-verdeling → Houdt rekening met onzekerheid in variantie bij kleine steekproef
De t-verdeling wordt gebruikt zodra gegevens over de populatie onbekend zijn. De standaarddeviatie van
het gemiddelde in de populatie wordt geschat op basis van onze steekproefgegevens; dit noemen we de
'geschatte standaardfout'. In een werkelijke onderzoeksopzet is dat veel vaker het geval dan dat je de
standaarddeviatie in de populatie kent, want: we gebruiken een steekproef om uitspraken te doen over de
populatie.
De geschatte standaardfout hebben we eigenlijk al leren kennen: FORMULE, waarbij sd2 de variantie is in
de steekproef (en sd de standaarddeviatie).
T-waardes volgen een eigen verdeling, namelijk de t-verdeling. De t-verdeling wijkt af van een normale
verdeling, maar, hoe groter de steekproef is, hoe meer de t-verdeling de normale verdeling volgt. Afwijking
van een normale verdeling is er dus vooral bij kleine steekproeven (bij weinig vrijheidsgraden):
Hoe groter de steekproef, hoe meer de t-verdeling een normale verdeling volgt
Net zoals bij een z-verdeling (normale verdeling) kunnen we bij
een t-verdeling proporties/ kansen in een tabel opzoeken. Nu
moeten we hier echter ook nog het aantal vrijheidsgraden voor
weten, want de kritieke waarde is afhankelijk van het aantal
vrijheidsgraden. Voor een uitleg over wat vrijheidsgraden zijn, zie
video's. Om te zien hoe zo'n t-tabel eruit ziet, neem een kijkje in
Tabel A3 (Appendix, boek Twisk).
T-verdeling en vrijheidsgraden
De vorm van de t-verdeling wordt bepaald door het aantal
vrijheidsgraden
Vrijheidsgraden = df = degrees of freedom
Het aantal waarden in een steekproef dat vrij en onafhankelijk mag varieren, zonder de waarde van de
statistiek te veranderen
,Df = n -1
Als we gaan toetsen aan de hand van de t-verdeling, moeten we het aantal vrijheidsgraden weten om de
kritieke t-waarde waartegen we toetsen op te zoeken.
T-toetsen
One-sample t-test
Gebruik je als je te maken hebt met:
- Kwantitatieve uitkomstvariabelen
- Om een steekproef te vergelijken met een bepaalde verwachtingswaarde
BV: Volgens het RIVM hebben NL-vrouwen tussen 30-39 jaar een gemiddeld BMI van 24,4. Heeft de
patiëntenpopulatie vrouwen 30-39 jaar van huisartsenpraktijk X een gemiddeld BMI van 24,4
De one-sample t-test beantwoordt de vraag → Is het verschil tussen het gemiddelde in de steekproef en
het verwachte gemiddelde (in de populatie) groter dan we op basis van kans zouden verwachten? Zie
voorbeeld.
Ander voorbeeld: Stel je docent statistiek vertelt aan het begin van de cursus dat het gemiddelde
tentamencijfer MTB1 vorig jaar een 7 was. Jij denkt dat jouw docent je probeert e motiveren en een veel te
positief beeld schetst.
Je trekt een steekproef om te weten te komen of het verschil tussen het gemiddelde tentamencijfer in je
steekproef en het door de docent aangegeven tentamencijfer groter is dan je op basis van kans zou
verwachten. Welke hypothese formuleer je?
H0: µ = 7 H1: µ ≠ 7
Je vraagt 30 studenten die vorig jaar MTB1 volgden naar hun tentamencijfer:
- Je vindt een gemiddelde van M= 6.3 met een variantie van s2= 1.96.
- Zijn deze gegevens genoeg bewijs om te concluderen dat de docent een veel te positief beeld heeft
geschetst van de tentamencijfers van vorig jaar?
- Onze informatie op een rijtje:
o Steekproefomvang n = 30
o Steekproef gemiddelde M = 6.3
o Variantie s2 = 1.96
, o Verwachte µ in de populatie = 7 We gaan handmatig de one-sample t-test berekenen.
T-tabel gebruiken
Kritieke waarde: Minimale t-waarde om H0 af te
mogen wijzen.
Opzoeken in tabel. Op basis van df en gekozen p-
waarde
In ons voorbeeld:
Df = 29
P-waarde = 0,05
T-test resultaat
Kritike t-waarde (df=30): +/- 2,042
Berekende t-waarde: -2,745
De berekende t-waarde valt in het kritieke gebied.
De kans op ons steekproefgemiddelde, gegeven een
(verwachte populatie) gemiddelde van 7, is kleiner dan
a = 0,05 → Ofwel p>a of p< 0,05
Conclusie
Op basis hiervan mogen we de nulhypothese afwijzen. H0: µ = 7
En we kunnen de alternatieve hypothese aannemen: H1: µ ≠ 7
Het verschil tussen het steekproefgemiddelde en het verwachte gemiddelde in de populatie is groter dan
we op basis van kans zouden mogen verwachten.
De statistiekdocent heeft inderdaad een te rooskleurig beeld geschetst.
One sample t-test in SPSS: BMI
Via ANALYZE > compare means . One-Sample T test
, Voorbeeld: De laatste decennia hebben we een stijging gezien van het aantal mensen emt overgewicht.
Hoe kunnen we erachter komen of het gemiddelde BMI van NL-volwassenen anders is dan, 25?
Steekproef van n = 718
Gemiddelde BMI M = x = 23,77, s = 2,149
Resultaten SPSS
ANALYZE > COMPARE MEANS > OneSample
T Test test value: 25
Eerste tabel: N, Gemiddelde, SD en standaardfout
Tweede tabel: uitkomst van de t-toets t-waarde, df en
daarbij horende p-waarde (sig. 2-tailed = tweezijdig)
Mean difference: verschil tussen gemiddelde en test value 95% BI horende bij het gemiddelde verschil
Conclusie SPSS
We vinden: t (df = 717) = -15.31, p < 0.001
De kans een gemiddelde BMI van 23.77 te vinden, gegeven een (populatie-) gemiddelde van 25, is kleiner
dan 5% (p < 0.05)
→ Dus, waarschijnlijk zal het gemiddelde BMI van Nederlandse volwassenen lager liggen dan 25.
Two-sample t-test/ Independent samples t-test
Gebruik je als je te maken hebt met:
- Kwantitatieve uitkomstvariabelen
- Om twee groepen (samples te vergelijken: dichotome determinant
BV: Is er een verschil in bloeddruk tussen de interventiegroep en controlegroep?
→ Independent samples t-test = Two samples t-test = t-toets voor onafhankelijke steekproeven
- Assumptie: Twee onafhankelijke steekproeven / groepen, bijvoorbeeld:
- Interventiegroep en controlegroep
- Zieken en niet-zieken
- Rokers en niet-rokers
- mannen en vrouwen (niet mannen en vrouwen uit stellen: dat zijn paired data!)
Assumptie: Varianties van de twee steekproeven moeten in de populatie gelijk zijn.
- In SPSS automatisch Levene’s test om deze assumptie te toetsen
- Als niet is voldaan aan assumptie, dan ‘aanpassing van Welch’
Dit laten we SPSS voor ons doen
Hebben vrouwen gemiddeld een hogere BMI dan mannen?
Twisk: HS 3.7-3.8, 4.1 t/m 4.3 (niet meer 4.3.1)
A.d.h.v. de T-verdeling kunnen we de T-toets uitvoeren, waar 3 'smaken' van zijn:
• Eén steekproef T-toets (one-sample t-test)
• Gepaarde T-toets (paired samples t-test)
• T-toets voor twee onafhankelijke steekproeven (independent samples t-test)
T-verdeling
Van de Z-verdeling naar de t-verdeling
Z-verdeling:
- Kunnen we gebruiken als gemiddelde en variantie van de populatie bekend zijn
- Bij een grote steekproef: variantie van de steekproef benadert variantie van de populatie
o Volgens CLS
In veel gevallen weten we niet de variantie van de populatie en is onze steekproef klein. Er is veel
onzekerheid in het schatten van de populatie variantie.
Student ’s T-verdeling → Houdt rekening met onzekerheid in variantie bij kleine steekproef
De t-verdeling wordt gebruikt zodra gegevens over de populatie onbekend zijn. De standaarddeviatie van
het gemiddelde in de populatie wordt geschat op basis van onze steekproefgegevens; dit noemen we de
'geschatte standaardfout'. In een werkelijke onderzoeksopzet is dat veel vaker het geval dan dat je de
standaarddeviatie in de populatie kent, want: we gebruiken een steekproef om uitspraken te doen over de
populatie.
De geschatte standaardfout hebben we eigenlijk al leren kennen: FORMULE, waarbij sd2 de variantie is in
de steekproef (en sd de standaarddeviatie).
T-waardes volgen een eigen verdeling, namelijk de t-verdeling. De t-verdeling wijkt af van een normale
verdeling, maar, hoe groter de steekproef is, hoe meer de t-verdeling de normale verdeling volgt. Afwijking
van een normale verdeling is er dus vooral bij kleine steekproeven (bij weinig vrijheidsgraden):
Hoe groter de steekproef, hoe meer de t-verdeling een normale verdeling volgt
Net zoals bij een z-verdeling (normale verdeling) kunnen we bij
een t-verdeling proporties/ kansen in een tabel opzoeken. Nu
moeten we hier echter ook nog het aantal vrijheidsgraden voor
weten, want de kritieke waarde is afhankelijk van het aantal
vrijheidsgraden. Voor een uitleg over wat vrijheidsgraden zijn, zie
video's. Om te zien hoe zo'n t-tabel eruit ziet, neem een kijkje in
Tabel A3 (Appendix, boek Twisk).
T-verdeling en vrijheidsgraden
De vorm van de t-verdeling wordt bepaald door het aantal
vrijheidsgraden
Vrijheidsgraden = df = degrees of freedom
Het aantal waarden in een steekproef dat vrij en onafhankelijk mag varieren, zonder de waarde van de
statistiek te veranderen
,Df = n -1
Als we gaan toetsen aan de hand van de t-verdeling, moeten we het aantal vrijheidsgraden weten om de
kritieke t-waarde waartegen we toetsen op te zoeken.
T-toetsen
One-sample t-test
Gebruik je als je te maken hebt met:
- Kwantitatieve uitkomstvariabelen
- Om een steekproef te vergelijken met een bepaalde verwachtingswaarde
BV: Volgens het RIVM hebben NL-vrouwen tussen 30-39 jaar een gemiddeld BMI van 24,4. Heeft de
patiëntenpopulatie vrouwen 30-39 jaar van huisartsenpraktijk X een gemiddeld BMI van 24,4
De one-sample t-test beantwoordt de vraag → Is het verschil tussen het gemiddelde in de steekproef en
het verwachte gemiddelde (in de populatie) groter dan we op basis van kans zouden verwachten? Zie
voorbeeld.
Ander voorbeeld: Stel je docent statistiek vertelt aan het begin van de cursus dat het gemiddelde
tentamencijfer MTB1 vorig jaar een 7 was. Jij denkt dat jouw docent je probeert e motiveren en een veel te
positief beeld schetst.
Je trekt een steekproef om te weten te komen of het verschil tussen het gemiddelde tentamencijfer in je
steekproef en het door de docent aangegeven tentamencijfer groter is dan je op basis van kans zou
verwachten. Welke hypothese formuleer je?
H0: µ = 7 H1: µ ≠ 7
Je vraagt 30 studenten die vorig jaar MTB1 volgden naar hun tentamencijfer:
- Je vindt een gemiddelde van M= 6.3 met een variantie van s2= 1.96.
- Zijn deze gegevens genoeg bewijs om te concluderen dat de docent een veel te positief beeld heeft
geschetst van de tentamencijfers van vorig jaar?
- Onze informatie op een rijtje:
o Steekproefomvang n = 30
o Steekproef gemiddelde M = 6.3
o Variantie s2 = 1.96
, o Verwachte µ in de populatie = 7 We gaan handmatig de one-sample t-test berekenen.
T-tabel gebruiken
Kritieke waarde: Minimale t-waarde om H0 af te
mogen wijzen.
Opzoeken in tabel. Op basis van df en gekozen p-
waarde
In ons voorbeeld:
Df = 29
P-waarde = 0,05
T-test resultaat
Kritike t-waarde (df=30): +/- 2,042
Berekende t-waarde: -2,745
De berekende t-waarde valt in het kritieke gebied.
De kans op ons steekproefgemiddelde, gegeven een
(verwachte populatie) gemiddelde van 7, is kleiner dan
a = 0,05 → Ofwel p>a of p< 0,05
Conclusie
Op basis hiervan mogen we de nulhypothese afwijzen. H0: µ = 7
En we kunnen de alternatieve hypothese aannemen: H1: µ ≠ 7
Het verschil tussen het steekproefgemiddelde en het verwachte gemiddelde in de populatie is groter dan
we op basis van kans zouden mogen verwachten.
De statistiekdocent heeft inderdaad een te rooskleurig beeld geschetst.
One sample t-test in SPSS: BMI
Via ANALYZE > compare means . One-Sample T test
, Voorbeeld: De laatste decennia hebben we een stijging gezien van het aantal mensen emt overgewicht.
Hoe kunnen we erachter komen of het gemiddelde BMI van NL-volwassenen anders is dan, 25?
Steekproef van n = 718
Gemiddelde BMI M = x = 23,77, s = 2,149
Resultaten SPSS
ANALYZE > COMPARE MEANS > OneSample
T Test test value: 25
Eerste tabel: N, Gemiddelde, SD en standaardfout
Tweede tabel: uitkomst van de t-toets t-waarde, df en
daarbij horende p-waarde (sig. 2-tailed = tweezijdig)
Mean difference: verschil tussen gemiddelde en test value 95% BI horende bij het gemiddelde verschil
Conclusie SPSS
We vinden: t (df = 717) = -15.31, p < 0.001
De kans een gemiddelde BMI van 23.77 te vinden, gegeven een (populatie-) gemiddelde van 25, is kleiner
dan 5% (p < 0.05)
→ Dus, waarschijnlijk zal het gemiddelde BMI van Nederlandse volwassenen lager liggen dan 25.
Two-sample t-test/ Independent samples t-test
Gebruik je als je te maken hebt met:
- Kwantitatieve uitkomstvariabelen
- Om twee groepen (samples te vergelijken: dichotome determinant
BV: Is er een verschil in bloeddruk tussen de interventiegroep en controlegroep?
→ Independent samples t-test = Two samples t-test = t-toets voor onafhankelijke steekproeven
- Assumptie: Twee onafhankelijke steekproeven / groepen, bijvoorbeeld:
- Interventiegroep en controlegroep
- Zieken en niet-zieken
- Rokers en niet-rokers
- mannen en vrouwen (niet mannen en vrouwen uit stellen: dat zijn paired data!)
Assumptie: Varianties van de twee steekproeven moeten in de populatie gelijk zijn.
- In SPSS automatisch Levene’s test om deze assumptie te toetsen
- Als niet is voldaan aan assumptie, dan ‘aanpassing van Welch’
Dit laten we SPSS voor ons doen
Hebben vrouwen gemiddeld een hogere BMI dan mannen?
