Zusammenfassung Lineare Gleichungssysteme

I Lineare Gleichungssysteme
Ein LGS ist ein System aus zwei oder mehreren Gleichungen (kein Quadrat „x 2 ", kein „hoch 3",…).
Die Lösung eines LGS mit n Variablen, die man n-Tupel (Zahlenpaar, Zahlentripel,…) nennt, muss alle Gleichungen des
LGS erfüllen.
Lösungsverfahren:
1 Gleichsetzungs- und 2 Zeichnerisches Verfahren 3 Additionsverfahren
Einsetungsverfahren Beispiel: Die einzelnen Gleichungen
Beispiel: (I)4x + 2y
=
21 -

4x dürfen als Gesamtes addiert
2y =
2 -

441 :
2
werden, um eine Variable zu
(I)4x 2y 2
=
+
2x +1
y
= -




(I) X -


2y = -
2 eliminieren.
(I)4x +
2y
=
2 (I)X
-


2y = -

21 x
Beispiel:
-




(1)ax = -
2 + 24
-

2y
= -
x
-

2) : ( -

2)
(I)4x 2y 2
=
+
y
=

Ex + 1
(I) a in (1) :
(I) X -


2y = -
2



( 2y) 2y 2
=
.
4 -
2 + +
(I) + (I)5x + 0 =
0
y 1
E(0 : 1)3
=
4 =


X =
0

1y
y
= 1 in (1) a in (1) :




X
=
2 + 2 1 0 (II) 0 2y
- -
= =
2
- -




44 =
E(0 1)3 : y
=
1


-
1
4 =
E(0 : 1)3



-



(I)




Stufenform:
Ist ein LGS in Stufenform, so lässt sich durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
Beispiel:
Problem:
Exe
+
2xa-X-
Die meisten LGS sind nicht in Stufenform
x2 +
3xz =
0


(II) 2x
z
=
2 Losung: Das Gauß-Verfahren (bei 3 Gleichungen mit 3 Variablen)
.




#
Xz
=
1 1 Die erste Gleichung bleibt unverändert, wenn sie x 1 enthält
in II :




3 0
2 Eliminieren von x1 in der 2. und 3. Gleichung durch Äquivalenzumformungen
x2 + =




X2
= -

3 3 Mithilfe der 2. Gleichung wird in der 3. Gleichung x2 eliminiert
in I :



4 Rückwärtseinsetzen
Xy -
b -

1 = -


1

6
x,
=


Beispiel:
44 E(6i 3 1)}
=
:
-




Rückwärtseinsetzen:

S
+
7X2
-


Xz
=
5 1 .

4 1 .

5-
addieren
-> Stufenform -
addieren in II :




& 27x2 -

6 =
21

1
X2
=




I X1 +
7x2 5 in I :

xz
- -
=




X1 7 5




-
-
+ -
2
=


27X2 3xz - =
21 1 .
32
subtrahieren Xy
= 0

32x2 4X3 24 1 27
- =
.




↳ X =
&(0 : 1 : 2)3

27x2 21
=

3xz
-




=
24
12xz
Xz =
2