Samenvatting wiskundige technieken 1

WISKUNDIGE TECHNIEKEN 1 SAMENVATTING

Van Cartesische coördinaten (𝑥, 𝑦) naar poolcoördinaten (𝑟, 𝜙)

𝑥 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜙

𝑦 = 𝑟 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙

Complexe getallen

Algemene notatie 𝑧 =𝑎+𝑏∙𝑖

Polaire representatie 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜙 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑟 ∙ 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙

Geconjugeerde 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏 ∙ 𝑖

Modulus 𝑟 = |𝑧| = √𝑎 2 + 𝑏2
𝑏
Argument ϕ = 𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛⁡ 𝑎

Eulers notatie 𝑒 𝑖𝜙 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜙

Stelling van Moivre (𝑐𝑜𝑠 θ + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 θ)𝑛 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛θ + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑛θ

Goniometrie
𝜋 𝜋
Voor afleiden waardes (co)sinusfuncties 3 en 6 , teken gelijkbenige driehoek en verdeel in tweeën.
𝜋
Voor afleiden waardes (co)sinusfuncties 4 , teken vierkant en verdeel in twee driehoeken.

𝑒 𝑖ϕ − 𝑒 −𝑖ϕ
𝑠𝑖𝑛ϕ =
2𝑖

𝑒 𝑖ϕ + 𝑒 −𝑖ϕ
𝑐𝑜𝑠ϕ =
2
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 1

𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝑠𝑖𝑛(α ± β) = 𝑠𝑖𝑛(α) 𝑐𝑜𝑠 (β) ± 𝑐𝑜𝑠(α) 𝑠𝑖𝑛(β)

𝑐𝑜𝑠(α ± β) = 𝑐𝑜𝑠(α) 𝑐𝑜𝑠(β) ∓ 𝑠𝑖𝑛(α) 𝑠𝑖𝑛(β)

Inverse functies

Een functie is een op een en heeft een inverse als 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 )

𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥

1
𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝑥)) ∙ 𝑓 ′−1 (𝑥) = 1⁡ → ⁡ 𝑓 ′−1 (𝑥) =
𝑓 ′ (𝑓 −1 (𝑥))

Een functie is even als: 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) en oneven als: 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

, Integreren

Hoofdstelling van de integraalrekening

I) Wanneer 𝑓(𝑥) continu is op interval [𝑎, 𝑏], dan:

𝑑 𝑥
∫ 𝑓(𝑡)⁡𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎

II) Wanneer 𝐹(𝑥) een primitieve is van 𝑓(𝑥), dan:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)⁡𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎

Integratiemethodes

- Standaardintegralen
1 𝑥
o ∫ √𝑎2 −𝑥 2 𝑑𝑥 = ⁡𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑎) + 𝐶
−1 𝑥
o ∫ √𝑎2 −𝑥 2 𝑑𝑥 = ⁡𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (𝑎) + 𝐶
1 1 𝑥
o ∫ 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (𝑎) + 𝐶
𝑎 2 +𝑥 2
o
- Substitutie 𝑢 = 𝑓(𝑥)
- Partieel integreren

∫ 𝑢′ 𝑣 ⋅ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑢 − ∫ 𝑢𝑣 ′ ⋅ 𝑑𝑥

- Inverse substitutie 𝑥 = 𝑓(𝑢)
o Gebruik 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 of 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 bij √𝑎 2 − 𝑥 2 , want 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
o Gebruik 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 bij √𝑥 2 − 𝑎 2, want 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑥
o Gebruik 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛⁡𝑢 bij 𝑎 2 + 𝑥 2 want 𝑡𝑎𝑛2 𝑥⁡ + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥
𝑃(𝑥)
- Functies van de vorm 𝑄(𝑥) waarin 𝑃 en 𝑄 veeltermen zijn, stappen:
o Wanneer graad 𝑃 ≥ 𝑄, eerst uitdelen door middel van staartdelen.
o Verder met graad 𝑃 < 𝑄, verschillende methoden per graad:
▪ Graad 1: substitutie noemer
▪ Graad 2 & geen nulpunten: inverse substitutie of kwadraat afsplitsen
▪ Graad 2 & één nulpunt: noemer in vorm (𝑎𝑥 + 𝑏)2 schrijven
▪ Graad 2 & twee nulpunten: breuksplitsen

2+𝑥 2+𝑥 𝐴 𝐵 𝐴(𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 2) (𝐴 + 𝐵)𝑥 − 3𝐴 − 2𝐵
= = + = =
𝑥2 − 5𝑥 + 6 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) 𝑥 − 2 𝑥 − 3 (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) (𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

𝐴+𝐵 = 1
⁡ → ⁡𝐴 = −4⁡𝑒𝑛⁡𝐵 = 5
−3𝐴 − 2𝐵 = 2
2+𝑥 −4 5
= +
𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥 − 2 𝑥 − 3
Differentiaalvergelijkingen eerste orde

Eerste orde homogene differentiaalvergelijking (beginvoorwaarde 𝑥(0) = 𝑥0 ):